1、第九章 重积分 知识总结,二重积分的计算 三重积分的计算 重积分的运用,一. 二重积分的计算,1. 二重积分的性质,被积函数相同, 且非负,解:,由它们的积分域范围可知,例. 比较下列积分值的大小关系:,例. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则,的大小顺序为 ( ),提示: 因 0 y 1, 故,故在D上有,例.,证明,证:左端,= 右端,2. 二重积分的计算,(1) 利用二重积分的基本性质（几何意义、对积分区域可加性、对称性质、坐标轮换性质）,对称性质:,当区域关于 y 轴对称, 函数关于x 有奇偶性时, 仍有类似结果.,(2) 利用直角坐标计算二重积分,若D为 X 型
2、区域,则,若D为Y 型区域,则,(3) 利用极坐标计算二重积分,注：若积分区域为圆域、扇形域、环形域、或由极坐标曲线围成的区域，可考虑选择极坐标;,(4) 分段函数的二重积分计算,非简单域、被积函数为分段函数、含绝对值、最值、取整函数时区域要分块。 将积分区域分为几个子区域的目的是：使被积函数在每个子区域上有唯一的表达式，然后利用积分对区域的可加性。,二. 三重积分的计算,1、投影法 (“先单后重” “先一后二”),2、截面法 (“先重后单” “先二后一”),3、柱坐标代换,4、球坐标代换,5、利用三重积分的对称性,关键：正确的判断上、下曲面;找对投影区域.,1、 投影法 (“先单后重” “先
3、一后二”),方法一: 根据图形:,方法二:根据方程:,投影区域可由含z的某曲面与其它曲面交线的投影曲线所围。 即：可选定一个含z的方程然后再和其它所有方程（包含柱面方程和另一个含z的方程）相交。,利用平行于z轴的直线穿曲面，穿出和穿入点就对应上、下曲面，注：中间所夹立体的边界应为柱面。,投影点的全体即为投影区域。,已给边界曲面方程中含z的若只有两个，则其必分别为上、下曲面,其它不含z的方程必对应柱面。,例. 计算积分,其中由曲面,法一: 积分域为,原式,及平面,所围 .,例. 计算积分,其中由曲面,法二:,原式,及平面,所围 .,找上下半曲面：,找投影区域：,适用范围： 积分区域介于两个平行于
4、坐标面的平面之间; 在平行于坐标面的截面上二重积分易算,典型题目： 被积函数只为某一变量的函数;且截面面积易求,2、 截面法 (“先重后单” “先二后一”),例(截面法): 计算积分,其中是两个球,( R 0 )的公共部分.,提示: 被积函数缺 x , y,原式 =,柱面坐标本质：投影法中的二重积分利用了极坐标计算,3、柱坐标代换,柱面坐标适用范围：,例. 计算三重积分,解: 在柱面坐标系下,所围成 .,与平面,其中由抛物面,原式 =,就称为点M 的球坐标.,4、球坐标代换,确定r, , 的变化范围的方法:,例.,例.,所围立体.,与球面,例.由球面x2+y2+z22Rz=0和圆锥面cot2(
5、x2+y2)=z2围成的立体。,x2+y2+z22Rz=0: r=2Rcos,cot2(x2+y2)=z2: =.,0r2Rcos,02，,0,例.,解:,两球面方程分别为: r=b和r=a,(ab).,例(球坐标法): 计算积分,其中是两个球,( R 0 )的公共部分.,提示:,原式 =,或 =,例(球坐标法),的公共部分.,解: 对称性,或 =,例(球坐标法): 计算积分,例.,解: 在球坐标系下,利用洛必达法则与导数定义,得,其中,5、 利用三重积分的对称性,当区域关于yoz 轴对称, 函数关于x 有奇偶性时, 当区域关于xoz 轴对称, 函数关于y 有奇偶性时, 仍有类似结果.,例.
6、计算,其中,解:,利用对称性,重积分计算的基本方法,1. 选择合适的坐标系,使积分域多为坐标面(线)围成;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.,2. 选择易计算的积分序,积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .,根据图形,根据方程,3. 掌握确定积分限的方法, 累次积分法,小结：,作业,1、利用投影法、截面法、柱坐标、球坐标四种方法计算：,2、P170第5和8题,三、重积分的应用,1. 几何方面,面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心,质量, 转动惯量, 质心, 引力,证明某些结论等,2. 物理方面,3. 其它方面,注：一定要用对称性结论,一、几何方面,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体
7、积为,占有空间有界域 的立体的体积为,例. 求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解: 设,由对称性可知,的面积公式：,曲面,注：如果图不好画则可根据方程： 1先利用对称性：所有方程中若某个变量都是平方形式，则图形一定关于相应坐标面对称，利用对称性后只需考虑正半部分 2求投影区域应利用所求曲面和其它相交,含于球面,例. 求圆柱面,部分的面积.,分析：,找投影区域：,若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,(S为 D 的面积),得D 的形心坐标:,则它的质心坐标为:,其面密度,二、物体的质心,推广: 设物体占有空间域 ,有连续密度函数,则其质心公式:,则得形心坐标：,例5
8、. 求位于两圆,和,的质心.,解: 利用对称性可知,而,之间均匀薄片,例. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线,的方程为,内储有高为 h 的均质钢液,解: 利用对称性可知质心在 z 轴上，,采用柱坐标, 则炉壁方程为,因此,故,自重, 求它的质心.,若炉,不计炉体的,其坐标为,三、物体的转动惯量,设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数,该物体位于(x , y , z) 处的微元,因此物体 对 z 轴 的转动惯量:,对 z 轴的转动惯量为,因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故,连续体的转动惯量可用积分计算.,类似可得:,对 x 轴的转动惯量,对 y 轴的转动惯量,对原点的转动惯量,如果物体是平面薄片,面密度为,则转动惯量的表达式是二重积分.,例.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径,解: 建立坐标系如图,半圆薄片的质量,的转动惯量.,解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,则,球体的质量,例.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.,设球,所占域为,(用球坐标),G 为引力常数,四、物体的引力,设物体占有空间区域 ,物体对位于原点的单位质量质点的引力,利用元素法,在上积分即得各引力分量:,其密度函数,引力元素在三坐标轴上的投影分别为,对 xoy 面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点,的引力分量为,
