1、北师大版,目 录,第36讲 空间几何体的直视图和三视图 第37讲 空间几何体的表面积和体积第38讲 空间点、直线、平面之间的位置关系第39讲 空间中的平行关系 第40讲 空间中的垂直关系 第41讲 空间向量及运算第42讲 空间向量解决线面位置关系第43讲 空间角与距离的求法,第七单元 立体几何,第七单元 立体几何,第七单元 知识框架,第七单元 知识框架,第七单元 考纲要求,1空间几何体(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜
2、二测法画出它们的直观图(3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式),第七单元 考纲要求,2.点、直线、平面之间的位置关系(1)理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过
3、该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补,第七单元 考纲要求,(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理理解以下判定定理： 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直,第七单元 考纲要求,理解以下性质定理，并能够证明：如果一条直线与一个平面平行
4、，那么经过该直线的任何一个平面与此平面的交线和该直线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行垂直于同一个平面的两条直线平行如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直,第七单元 考纲要求,3空间向量及其运算(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直,第七单元 考纲要求,4空间向量的应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂
5、直、平行关系(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用,立体几何是中学数学的主干知识之一，侧重考查空间想象能力和推理计算能力，纵观近三年新课标省市的高考试题中，立体几何部分在题型、题量、分值、难度等方面，均保持相对稳定，其考查的热点内容有以下几个特点：1从考查形式看，一般有两个左右的选择题或填空题和一道解答题，分值为22分左右，约占总分值(150分)的15 % ；涉及立体几何内容的命题形式最为多变，填空题尝试设计成多选填空、完形填空、构造填空等题型，以及
6、开放性问题和多选题,第七单元 命题趋势,2从考查内容看，一是以客观题来考查空间几何体的概念与性质、线面关系的判定、表面积与体积、三视图与直观图等，其中线面位置关系的判定又常与命题、充要条件等有关知识融合在一起进行考查，在几何体表面积与体积为载体的试题中渗透函数、方程等数学思想方法；二是解答题以空间几何体为载体，考查立体几何的综合问题主要是位置关系的判定、空间角与距离的计算，一般都可用几何法和向量法两种方法求解,第七单元 命题趋势,预测2012年新课标高考，对立体几何考查的知识点及试题的难度，会继续保持稳定，着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及几何体的表面积与体积的计算，应用空间向量处理空间
7、角与空间距离；而三视图作为新课标的新增内容，主要形式是在三视图为载体的试题中融入简单几何体的表面积与体积的计算，也可能会出现在解答题中与其他知识点交汇与综合,第七单元 命题趋势,1编写意图立体几何初步的主要内容是空间几何体和空间点、线、面的位置关系，在高考试题中以中、低档题的形式出现，因此，编写时主要考虑以下几方面：(1)本单元公理、定理较多，编写时注重从文字、符号、图形这三方面进行分析，并通过典型例题达到熟练掌握及应用；(2)空间想象能力是学习立体几何的最基本的能力要求，选择例题时注重培养学生识图、作图、理解与应用图的能力；(3)对本单元的重点内容是空间线面的平行与垂直，除第39、40讲专题
8、讲解,第七单元 使用建议,2教学指导立体几何主要是培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，本单元重点是空间的元素之间的平行与垂直关系、空间几何体的表面积与体积，并关注画图、识图、用图的能力的提高，在复习时我们要注重以下几点：(1)立足课标，控制难度新课标对立体几何初步的要求，改变了经典的“立体几何”把推理论证能力放在最突出的位置，从单纯强调几何的逻辑推理转变为合情推理与逻辑推理并重，尤其对文科立体几何的复习，切忌盲目拔高,第七单元 使用建议,(2)注重提高空间想象能力在复习过程中，要注重将文字语言转化为图形，明确已知元素之间的位置关系及度量关系；借助图
9、形来反映并思考未知的空间形状与位置关系；能从复杂图形中分析出基本图形和位置关系，并借助直观感觉展开联想与猜想，进行推理与计算,第七单元 使用建议,(3)归纳总结，规范训练复习中要抓主线，攻重点，针对重点内容加以训练，如平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心的核心；要加强数学思想方法的总结与提炼，立体几何中蕴含着丰富的思想方法，如转化与化归思想，熟悉将空间问题转化成平面图形来解决，以及线线、线面、面面关系的相互转化；要规范例题讲解与作业训练，例题讲解要重视作、证、求三环节，符号语言表达要规范、严谨另外，适度关注对平行、垂直的探究，关注对条件或结论不完备情景下的开放性问题的探究(4)在空间
10、角和距离的求解和位置关系的判定中，体会空间向量这一工具的巨大作用,第七单元 使用建议,3课时安排本单元共8讲和一个滚动基础训练卷，一个单元能力训练卷，每讲建议1课时完成，基础训练卷和单元能力训练卷都建议1课时完成，共需10课时,第七单元 使用建议,第36讲 空间几何体的直视图和三视图,第36讲 空间几何体的直视图和三视图,第36讲 知识梳理,ABCDE ABCDE,AC,SABCDE,SAC,ABCDE ABCDE,AC,1棱柱、棱锥、棱台的结构特征,第36讲 知识梳理,三棱柱,四棱柱,五棱柱,三棱锥,五棱锥,四棱锥,三棱台,四棱台,五棱台,平行,平行四边形,平行,多边形,三角形,底面,截面,
11、第36讲 知识梳理,平行且相等,一点,一点,平行四边形,三角形,梯形,|a|,相同,相反,0,ab,1a2a,第36讲 知识梳理,OO,2.圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征,SO,OO,O,圆,圆面,圆面,第36讲 知识梳理,圆心,垂直,顶点,圆心,垂直,圆心,垂直,球心,垂直,一点,一点,矩形,等腰三角形,等腰梯形,大圆,矩形,扇形,扇环,第36讲 知识梳理,正投影,3.三视图与直观图,完全相同,正前方,正左方,正上方,正视图,侧视图,俯视图,下方,正视图,长度,正视图,高度,宽度,第36讲 知识梳理,斜二测,45或135,平行于,不变,原来的一半,平行于,相等, 探究点1 空间几何体的结构特
12、征,第36讲 要点探究,例1 下列是关于空间几何体的四个命题中， 由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面是矩形的几何体是六棱柱；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥；有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体一定是棱台；棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥 其中正确命题的个数是( ) A0 B1 C2 D3,第36讲 要点探究,思路 要判断几何体的类型，应从各类几何体的结构特征入手，结合棱锥、正棱锥的概念及相关性质，逐一进行考查,答案 B,第36讲 要点探究,图1,图2,第36讲 要点探究,是错误的，有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何
13、体不一定是棱锥(如图2)；是错误的，有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体不一定是棱台(如图3)；,图2,图3,第36讲 要点探究,是错误的，如图4所示，ABBCCDDA，ACBD，棱锥的侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥故选B.,点评 准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键；另外，要断定命题为假时，还可以构造反例，或借助于周围的实物判断下面变式题复习旋转体的结构特征以及其截面的形状,第36讲 要点探究,变式题,第36讲 要点探究,思路 解决平面图形绕轴旋转问题的切入点是，对原平面图形作适当的分割，再根据圆锥、圆柱、圆台、球的结构特征进行判断；解决截面问
14、题的关键是，熟悉旋转体各个方向的截面形状,答案 B,解析 根据球、圆柱、圆锥、圆台的概念不难判出：是正确的，当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面；,第36讲 要点探究,第36讲 要点探究,是错误的，当以直角三角形的一条直角边为轴旋转才可以得到圆锥，如图(1)、(2)所示，若ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；是错误的，只有以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转可得到圆台；是错误的，只有用平行于圆锥底面的平面截圆锥，才可得到一个圆锥和圆台故选B, 探究点2 空间几何体的三视图,第36讲 要点探究,第36讲 要点
15、探究,思路 本题可由实物图画出三视图，画几何体的三视图时，可见的轮廓线和棱用实线画出，不能看见的轮廓线用虚线表示；画图时，先确定几何体中与投影面垂直或平行的线及面的位置,答案 D, 探究点3 空间几何体的直观图,第36讲 要点探究,第36讲 要点探究,第36讲 要点探究,第36讲 要点探究,第36讲 要点探究,变式题,第36讲 要点探究,思路 根据斜二测画法规则，将直观图还原时，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为直观图中对应线段长度的2倍，即得到原来的图形,答案 A, 探究点4 三视图、直视图的综合应用,第36讲 要点探究,第36讲 要点探究,第36讲 要点探究,思路 本题给出
16、的空间几何体是一个正四棱锥和长方体组成的简单组合体，可由直观图得到侧视图的形状；再由已知的正视图和俯视图的数量关系知道，侧视图和正视图是完全相同的，且几何体的数量关系可知，故体积可求,第36讲 要点探究,第36讲 要点探究,第36讲 要点探究,变式题,2010辽宁卷 如图366所示，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为_,第36讲 要点探究,思路 本题可以利用几何体的三视图与直观图之间的关系，解题的切入点可先将三视图还原，画出直观图，再利用网格线给出的长度求解,第36讲 要点探究,第36讲 规律总结,1几类特殊的多面体及它们之间的关系,
17、第36讲 规律总结,2柱体(圆柱与棱柱)、台体(圆台与棱台)、锥体(圆锥与棱锥)的联系,3由几何体的三视图判断原物体的形状由几何体的三视图来判断原物体的形状时的一般规律为：“长对正，高平齐，宽相等”，由此可见，主视图和左视图的形状确定原几何体为柱体、锥体还是台体；俯视图确定原几何体为多面体还是旋转体,第36讲 规律总结,4用斜二测画法画立体图形的直观图用斜二测画法画立体图形的直观图的步骤是：一画轴，二画底，三画高，四成图；其中，关键是要根据图形的特点选取适当的坐标系，尽量把顶点或其他关键点放在轴上或与轴平行的直线上，这样可以简化作图步骤，对于图形中平行于y轴的线段画直观图时要画成原来长度的一半
18、，对于图形中与x轴、y轴和z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决,第37讲 空间几何体的表面积和体积,第37讲 空间几何体的表面积和体积,第37讲 知识梳理,平面图形,平面图形,侧面面积,1柱体、锥体、台体的表面积(1)多面体的表面积我们可以把多面体展成_，利用_求面积的方法，求多面体的表面积；棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的侧面积就是各_之和，表面积是_之和，即_与_之和,各个面的面积,侧面积,底面积,第37讲 知识梳理,2rl,(2)旋转体的表面积公式,2r(rl),第37讲 知识梳理,rl,r2rl,r(rl),第37讲 知识梳理,(rr)l,第37讲 知识梳
19、理,2.柱体、锥体、台体的体积(1)设棱(圆)柱的底面积为S，高为h，则体积V_； (2)设棱(圆)锥的底面积为S，高为h，则体积V_； (3)设棱(圆)台的上、下底面积分别为S、S，高为h，则体积V_；(4)设球半径为R，则球的体积V_.注：对于一些不规则几何体，常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体求体积,第37讲 知识梳理,Sh, 探究点1 空间几何体的表面积和体积的计算,第37讲 要点探究,例1 (1)2010安徽卷 一个几何体的三视图如图371所示，该几何体的表面积是( )A372 B360 C292 D280,第37讲 要点探究,第37讲 要点探究,思路 (1)解题的切入点是把
20、三视图还原为直观图，把三视图中的条件转化为直观图的条件，根据各面的特征分别求面积，再求表面积(2)由三视图判断容器的形状是一个倒置的圆锥，根据三视图的条件可以确定容器的半径与高，代入体积公式求解,答案 (1)B (2)A,第37讲 要点探究,第37讲 要点探究,点评 在以三视图为载体的试题中融入简单几何体的表面积与体积是高考新课标卷的热点题型，解题的关键是由三视图确定直观图的形状，以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用表面积公式求解；另外，组合体的表面积的重合部分容易产生重复计算的错误下面变式题是旋转体的表面积的计算问题：,第37讲 要点探究,变式题,1 如图373所示，已知各顶点都在一个
21、球面上的正四棱柱高为4，体积为16，求这个球的表面积,第37讲 要点探究,思路 (1)有关球的计算的关键是求出半径，球外接于正四棱柱，正四棱柱的顶点在球面上，正四棱柱的对角线长等于球的直径,第37讲 要点探究,第37讲 要点探究,2 已知某几何体的俯视图是如图374所示的矩形，主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.,第37讲 要点探究,思路 由三视图还原几何体，根据几何体及各面的特征分别求面积，再求侧面积,第37讲 要点探究,第37讲 要点探究, 探究点2 空间几何中的最值问题,第37讲 要点
22、探究,思路 棱锥的体积由它的高和底面积确定，设棱锥的高为x，把底面积用含x的代数式表示，写出体积V关于x的函数关系式，转化为函数的最值问题,答案 C,第37讲 要点探究,第37讲 要点探究,第37讲 要点探究,变式题,一个几何体的三视图如图375所示，该几何体的内接圆柱侧面积的最大值为_,第37讲 要点探究,思路 解题的切入点由三视图还原几何体，关键是作出其轴截面，把侧面积表示出来,答案 4,第37讲 要点探究, 探究点3 展开与折叠问题,第37讲 要点探究,第37讲 要点探究,第37讲 要点探究,第37讲 要点探究,第37讲 要点探究,第37讲 要点探究,变式题,2010福州模拟 如图377
23、所示，在等腰梯形ABCD中，AB2DC2，DAB60，E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点A，则三棱锥ADCE的外接球的体积为( ),第37讲 要点探究,思路 由展开图确定折叠后的几何体是正四面体，作出过球心的截面，利用平面几何知识求出外接球的半径,答案 C,第37讲 要点探究,第37讲 要点探究,第37讲 要点探究,第37讲 要点探究,第37讲 规律总结,1柱、锥、台体的侧面积和表面积都是利用展开图得到的，必须熟悉其侧面展开图的形状,第37讲 规律总结,第37讲 规律总结,第37讲 规律总结,第37讲 规律总结,第38讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
24、,第38讲 空间点、直线、平面之间的位置关系,1平面的概念及其表示(1)平面的概念几何里所说的“平面”就是从一些物体(课桌面、海平面等)抽象出来的，平面有两个特征：_，即平面是无边界且无限延展的；_，即平面是无厚薄、无大小、无数个平面重叠在一起，仍然是一个平面，平面是无所谓面积的一个平面把空间分成两部分，平面上的一条直线把平面分成两部分,第38讲 知识梳理,无限延展,平的(没有厚度),(2)平面的表示法通常画_表示平面(如图381)，平面可用小写希腊字母表示，如_、平面；或用表示平行四边形的顶点的大写英文字母表示，如_、_.,第38讲 知识梳理,平行四边形,平面,平面AC,平面ABCD,第38
25、讲 知识梳理,2平面的基本性质,两点,第38讲 知识梳理,不在,三点,第38讲 知识梳理,不重合,一个,第38讲 知识梳理,一条直线和直线外一点,相交直线,平行直线,注：公理2有以下三个推论,第38讲 知识梳理,3.空间直线与直线的位置关系,一个,没有,任何一个,没有,第38讲 知识梳理,4.平行直线(1)公理4(平行公理)：平行于同一条直线的_用符号表示为：ab，bcac.由公理4可知，空间平行线具有_公理4的结论与平面几何中的相关结论相同，是平面几何中结论的推广，是判定空间两条直线_的依据(2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_,两条直线互相平行,传递性,平行,相
26、等或互补,5异面直线(1)定义：_ _的两条直线叫做异面直线(2)性质：两条异面直线既不_也不_(3)异面直线所成的角已知异面直线a、b，在空间任取一点O， 过O作_ _，则a与b所成的_(或_)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)异面直线所成的角的范围：_.如果两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线_两条互相垂直的异面直线a、b，记作_,第38讲 知识梳理,不同在任何一个平面内,相交,平行,锐角,aa ，bb,直角,互相垂直,ab, 探究点1 空间点、线、面位置关系的判定,第38讲 要点探究,例1 如图382，正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并请说明理由(1)
27、直线AC1在平面CC1B1B内；(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；(3)由点A、O、C可以确定一个平面；(4)由A、C1、B1确定的平面是ADC1B1；(5)若直线l是平面AC内的直线，直线m是平面D1C上的直线，若l与m相交，则交点一定在直线CD上,第38讲 要点探究,第38讲 要点探究,思路 利用平面的基本性质进行判断,第38讲 要点探究,第38讲 要点探究,变式题,第38讲 要点探究,答案 ,解析 由公理2知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题均错，中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时
28、)空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面；若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图所示,第38讲 要点探究,如图四边形ADBC中，ADDBBCCA，但它不是平行四边形，所以也错. 正确的命题只有., 探究点2 三点共线与三线共点问题,第38讲 要点探究,第38讲 要点探究,第38讲 要点探究,变式题,第38讲 要点探究, 探究点3 点线共面问题,第38讲 要点探究,第38讲 要点探究,思路 要证明四点共面，可先由其中的三点D1、E、F确定一个平面，再证明点B也在这个平面内；也可考虑证
29、明连接这四点的其中两条直线平行或相交,第38讲 要点探究,第38讲 要点探究,第38讲 要点探究, 探究点4 异面直线所成的角,第38讲 要点探究,答案 C,第38讲 要点探究,思路 求异面直线所成角的关键是作出角，平移线段BA1，即寻找一条与BA1平行且恰与AC1相交的直线，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的平面角，把问题化归为求解三角形的内角,第38讲 要点探究,第38讲 要点探究,第38讲 要点探究,变式题,第38讲 要点探究,第38讲 规律总结,第38讲 规律总结,3证明点线共面的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证明
30、有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合4求两条异面直线所成的角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决其关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交平移直线的方法有：直接平移；中位线平移,第39讲 空间中的平行关系,第39讲 空间中的平行关系,1空间中直线和平面的位置关系,第39讲 知识梳理,a,无数个,第39讲 知识梳理,a,没有,aA,a,一个,第39讲 知识梳理,2.空间中两个平面的位置关系,没有,l,a,直线,第39讲 知识梳理,没有公共点,一条直线与平面内的一条直线,3.直线与平面
31、平行的判定与性质,第39讲 知识梳理,交线,平行,第39讲 知识梳理,相交直线,相交直线,两条直线,4.平面与平面平行的判定与性质,同一条直线,第39讲 知识梳理,平行,交线, 探究点1 平行的判定,第39讲 要点探究,例1 2010福州质检 已知三棱柱ABCA1B1C1中，M、N分别是A1B1和BC的中点，连接MN，AM，AN. 求证：MN平面ACC1A1.,第39讲 要点探究,第39讲 要点探究,第39讲 要点探究,变式题,第39讲 要点探究,思路 要证明EF平面PAD，可考虑利用线面平行的判定定理，转化为在平面PAD内确定EF的平行线，要找出这条直线，可利用条件E，F分别是PB，PC的中
32、点，应用中位线定理,第39讲 要点探究, 探究点2 平行的性质,第39讲 要点探究,第39讲 要点探究,第39讲 要点探究,第39讲 要点探究,第39讲 要点探究,第39讲 要点探究,第39讲 要点探究,变式题,第39讲 要点探究, 探究点3 平行的综合应用,第39讲 要点探究,第39讲 要点探究,思路 本题已知线面平行，可联想线面平行的性质定理，得到线线平行，由此判断截面EFGH的形状；设EHx，可用x表示四边形EFGH的周长与面积，转化为函数问题求解,第39讲 要点探究,第39讲 要点探究,第39讲 要点探究,点评 (1)已知线面平行，可转化为线线平行，尤其在作几何体的截面时，常用来确定交
33、线的位置；(2)立体几何中的最值问题往往要借助函数来求解，关键是确定自变量x，建立所求的问题的函数关系式,第39讲 规律总结,第39讲 规律总结,3平面与平面的平行也具有传递性4平行关系的相互转化,第40讲 空间中的垂直关系,第40讲 空间中的垂直关系,1直线与直线垂直定义：两条直线所成的角为_，则称两直线垂直，包括两类：_垂直与_垂直2直线与平面垂直(1)定义：如果直线l和平面内的_ _都垂直，就称直线l和平面互相垂直，记作l.直线l叫做平面的_，平面叫做直线l的_,第40讲 知识梳理,90,相交,异面,任意一条直线,垂线,垂面,第40讲 知识梳理,(2)直线与平面垂直的判定与性质,两条相交
34、直线,一条,另一条直线,第40讲 知识梳理,任意一条直线,平行,3直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的_所成的_，叫做这条直线和这个平面所成的角如图401所示，PAO就是斜线PA和平面所成的角(2)一条直线垂直于平面，则它们所成的角是_；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是_的角直线和平面所成的角的范围是_,第40讲 知识梳理,射影,锐角,直角,0,第40讲 知识梳理,半平面,棱,面,4二面角定义：从一条直线出发的两个_所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的_，这两个半平面叫做二面角的_如图402所示，在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内
35、分别作_于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做_,垂直,二面角 l的平面角,第40讲 知识梳理,直二面角,直二面角,二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的取值范围是_，平面角是直角的二面角叫做_5两个平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角 是_，就说这两个平面互相垂直(2)两个平面垂直的判定和性质,第40讲 知识梳理,直二面角,AOB90,垂线,第40讲 知识梳理,二面角的平面角,AOB90,交线,另一个平面, 探究点1 垂直关系的判定,第40讲 要点探究,例1 如图403所示RtABC所在平面外一点S，且SASBSC，D为斜边AC的中点 (1)求证：S
36、D平面ABC； (2)若ABBC，求证：BD平面SAC.,第40讲 要点探究,思路 证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线线垂直，考虑题中等腰三角形的条件，可由底边上的中线和三角形中位线得到,第40讲 要点探究,第40讲 要点探究,变式题,第40讲 要点探究,思路 (1)要证明AF平面BDE，只需构造平行四边形，证明AF与平面BDE的一条直线平行；(2)证明CF平面BDE，可利用菱形的对角线垂直，以及由面面垂直转化线面垂直，又线线垂直，得到CF与平面BDE的两条相交直线垂直,第40讲 要点探究,第40讲 要点探究,第40讲 要点探究,第40讲 要点探究,思路 (1)要证明平面PAC平面PBD
37、，考虑到已有ACBD，可设法证明AC平面PBD，从而利用面面垂直的判定定理，就可证得结论(2)利用等腰三角形性质找到相关线段的长，再分别求出等腰梯形ABCD的面积和棱锥的高PH，最后利用棱锥体积公式求出体积,第40讲 要点探究,第40讲 要点探究,第40讲 要点探究,变式题,第40讲 要点探究,思路 (1)利用线面垂直，得BCPD，从而把证明平面EFG平面PDC，转化为证明BC平面PDC即可(2)通过ADPD2MA和正方形ABCD的性质找出题中线段之间关系并分别求出三棱锥PMAB与四棱锥PABCD的体积，最后求比值,第40讲 要点探究,第40讲 要点探究, 探究点2 垂直关系的性质,第40讲
38、要点探究,第40讲 要点探究,第40讲 要点探究,第40讲 要点探究,第40讲 要点探究,变式题,第40讲 要点探究,第40讲 要点探究,第40讲 要点探究, 探究点3 垂直关系的综合应用,第40讲 要点探究,第40讲 要点探究,思路 (1)证明PC平面BEF，可利用等腰三角形的性质及勾股定理，转化为证明PC与平面BEF的两条相交直线垂直；(2)求平面BEF与平面BAP的夹角，可转化为两个平面的垂线所成的角,第40讲 要点探究,第40讲 要点探究,第40讲 要点探究,点评 利用几何法求二面角的关键是转化为平面角，构造三角形求解，可以根据定义作出其平面角，也可以转化为两个面的垂线的夹角；同样，利
39、用几何法求线面角的关键是从斜线上的一点作平面的垂线，转化为斜线与其射影的夹角,第40讲 要点探究,变式题,第40讲 要点探究,第40讲 要点探究,第40讲 规律总结,第40讲 要点探究,3证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法，与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化的思想方法是解决这类问题的关键4空间垂直关系之间的转化这也是立体几何中证明垂直关系常用的思路，三种垂直关系的转化可结合下图记忆,第40讲 要点探究,第41讲 空间向量及运算,第41讲 空间向量及运算,1空间直角
40、坐标系及有关概念(1)如图411, OABCD1A1B1C1是单位正方体，以O为原点，分别以OA，OC，OD1的长为单位长度，建立三条_的数轴：x轴，y轴，z轴，则称建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做_，x轴，y轴，z轴叫做_，通过每两个坐标轴的平面叫做_,第41讲 知识梳理,两两垂直,坐标原点,坐标轴,坐标平面,第41讲 知识梳理,(2)空间一点M在空间直角坐标系中的坐标可以用有序实数组(x，y，z)表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的_，y叫做点M的_，z叫做点M的_2空间向量的概念及运算空间向量的概念及运算同平面向量基本相同加减运算遵循_，数乘运算和数量积运算与平面向量的
41、数乘运算和数量积运算相同；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标,横坐标,纵坐标,竖坐标,三角形法则或平行四边形法则,第41讲 知识梳理,a，b,数量积,ab,第41讲 知识梳理,pxaybzc,基底,基向量,第41讲 知识梳理,分向量,p(x，y，z),(x，y，z),(2)空间向量的正交分解如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量p，存在一个有序实数组x，y，z，使得pxiyjzk.我们称xi，yj，zk为向量p在i，j，k上的_(3)空间向量的坐标设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，对于空间任一向量p，存
42、在有序数组x，y，z，使得pxe1ye2ze3.我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作_此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标_,第41讲 知识梳理,5空间向量的坐标表示及应用 (1)空间向量运算的坐标表示 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)， 则ab(a1b1，a2b2，a3b3)， ab(a1b1，a2b2，a3b3)， a(a1，a2，a3)， aba1b1a2b2a3b3.,第41讲 知识梳理, 探究点1 空间向量的线性运算,第41讲 要点探究,第41讲 要点探究,第41讲 要点探究,第41讲 要点探究,第41讲 要点探究
43、,第41讲 要点探究,变式题,第41讲 要点探究, 探究点2 空间直角坐标的建立,第41讲 要点探究,第41讲 要点探究,第41讲 要点探究,变式题,第41讲 要点探究,第41讲 要点探究,第41讲 要点探究, 探究点3 空间向量的坐标运算,第41讲 要点探究,思路 把相关的向量用坐标表示，根据向量共线与垂直等条件，利用待定系数法求解,第41讲 要点探究,第41讲 要点探究,第41讲 要点探究,变式题,思路 本题的切入点是求D点的坐标，可利用D在AC上及BDAC，化归为向量共线与垂直的条件求解,答案 A,第41讲 要点探究, 探究点4 空间向量的数量积,第41讲 要点探究,第41讲 要点探究,
44、思路 (1)利用两点间的距离公式；(2)利用数量积的定义；(3)可证数量积为0.,第41讲 要点探究,第41讲 要点探究,第41讲 要点探究,变式题,第41讲 要点探究,第41讲 要点探究,第41讲 要点探究,第41讲 规律总结,1空间向量的概念及其运算是从平面向量中延伸过来的，要通过类比的方法来掌握2用已知向量表示未知向量，以及进行向量表达式的化简时，一定要注意结合实际图形，以图形为指导是解题的关键，同时注意首尾相接的向量和向量的化简方法，以及从同一个点出发的两个向量的差向量的运算法则，避免出现方向错误,第41讲 要点探究,3利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为用向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题在这里，恰当地选取基底可使向量运算简洁，或者是建立空间直角坐标系，使立体几何问题成为代数问题4用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量的共线定理；解决两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；求异面直线的夹角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应注意转化；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零,第41讲 要点探究,5利用向量的数量积可解决两直线的平行与垂直问题、解决空间角和空间的距离问题；向量的数量积的坐标表示即数量积的代数化，可以将数量积的运算转化为代数运算，使运算简化,
