1、第四章 综合指标,本章内容 第一节 总量指标 第二节 相对指标 第三节 平均指标 统计分布 第四节 标志变动度 的数值特征 第五节 偏度与峰度的测度,第四章综合指标,1,下一页,返回目录,第一节 总量指标, 一、总量指标的概念和作用 二、总量指标的种类 三、我国国民经济的主要总量指标,第四章综合指标,2,上一页,下一页,返回本章首页,一、总量指标的概念和作用,1.定义：总量指标是反映客观现象在一定时间、地点、条件下的总规模或总水平的统计指标。用绝对数表示。 2.特点: （1）总量指标的大小和总体范围的大小成正比。 （2）总量指标通过相加得到。 （3）只有有限总体才能计算总量指标。,第四章综合指
2、标,3,上一页,下一页,返回本节首页,例：2009年我国国内生产总值(GDP)为335353亿元财政收入68477亿元粮食产量53082万吨社会消费品零售总额125343亿元,第四章综合指标,4,3.总量指标的作用,（1）总量指标是反映一个国家国情和国力，一个地区或一个单位人力、物力、财力的基本数据;（2）总量指标是进行经营管理的依据；（3）总量指标是计算相对指标和平均指标的基础。,第四章综合指标,5,二、总量指标的种类,1.按反映内容分：总体单位总量：总体单位数的汇总总体标志总量：总体单位数量标志值的汇总。 例如：研究某地区工业企业职工工资情况,第四章综合指标,6,上一页,下一页,返回本节首
3、页,一个总量指标是标志总量还是单位总量不是固定不变的，而是随着研究目的的不同而变化。 以职工人数为例加以说明：A、研究全国工业企业的基本情况B、研究全国工业企业职工的基本情况,第四章综合指标,7,A、研究全国工业企业的基本情况总体： 全国所有的工业企业 总体单位： 每一个工业企业 这时总体单位总数即为总体单位总量 说明总体单位的标志由许多，工业企业的职工人数就是一个，将各个企业的职工人数相加，所得的职工人数之和即为标志总量。,第四章综合指标,8,B、如研究全国工业企业职工的基本情况 总体：所有的职工 总体单位：每一个职工 这时总体单位总量为所有的职工总数 说明总体单位的标志由许多，职工的工资即
4、为一个，将各个职工的工资额相加，所得的工资总额即为总体标志总量,第四章综合指标,9,按反映时间状况不同分： 时期指标：反映总体在某一段时期内活动过程的总量指标。时点指标：反映总体在某一瞬间上状况的总量指标。,第四章综合指标,10,上一页,下一页,返回本节首页,时期指标和时点指标的区别：时期指标连续调查得到，时点指标一次性调查得到 时期指标相加有意义，时点指标相加无意义 时期指标的大小受时期长短影响，时点指标的大小则和时间的长短无关,第四章综合指标,11,上一页,下一页,返回本节首页,3.按计量单位的不同，分为实物量指标、价值量指标和劳动量指标。（1）实物量指标可以反映产品使用价值的数量。自然单
5、位：如汽车以辆、牲畜以头等计量度量衡单位：以统一的度量衡制度规定的单位计量。如，钢材以吨、木材以立方米等计量。标准实物单位：主要用于加总不同规格同类事物的实物数量。,第四章综合指标,12,（2）价值量指标用价值单位反映产品和劳务的数量，具体用货币单位表示。,第四章综合指标,13,（3）劳动量指标是用劳动时间为单位计算的产品产量或完成的工作量，通常用于工业企业内部的核算。它一般以工时、工日为单位。一个工人工作1小时，称为1个工时，8个工时为1个工日。企业根据具体条件制定了生产单位产品或完成单位作业量所需要的时间标准，即工时定额。按照这种工时（或工日）定额计算产品总量或完成的作业总量，便是劳动量总
6、量指标。,第四章综合指标,14,三、我国国民经济的主要总量指标,总产值：生产资料转移价值加劳动者新创造的价值。 从价值形态: 从实物形态观察，由两大部类产品构成，即生产资料和消费资料。 增加值：企业或部门在一定时期内从事生产经营活动所增加的价值。增加值=总产值-中间投入,第四章综合指标,15,上一页,下一页,返回本节首页,国内生产总值(GDP)：是一个国家或一个地区所有常住单位在核算期内全部增加值的总和。 所谓常住单位，是指在一国或一地区领土上具有经济利益、居住一年以上的经济单位和个人。也就是所谓的国土原则。 国民生产总值(国民总收入，GNP或GNI) ：国民总收入=国内生产总值+国外要素收入
7、净额国外要素收入净额=本国劳动者在国外的报酬-外国劳动者在我国的报酬+本国生产单位在外国提供的收入-外国机构在我国提供的财政收入它实际上是按国民原则计算的。,第四章综合指标,16,1981年诺贝尔经济学奖获得者詹姆斯托宾（James Tobin）认为国内生产总值是经济学家创新的源泉，他指出：“GDP！这一精确衡量经济产出的指标，美国以至全世界都依靠它来辨别我们所处的经济周期阶段，并对长期的经济增长做出估计。它确实是商务部在20世纪所做的极富有创新意义的成就。 ”,第四章综合指标,17,另一诺贝尔经济学奖获得者保罗萨缪尔森（1970年）这样描述GDP的重要性：“正如太空中的人造卫星能够探测地球各
8、大洲的天气一样，GDP能够给你一幅关于经济运行状态的整体图画。这就使得总统、国会以及联邦储备委员会能够搞清楚：经济是过冷还是过热，是需要刺激一下还是需要紧缩一点，是否有衰退或者通货膨胀的威胁。”,第四章综合指标,18,第二节 相对指标,一、相对指标的概念和作用 二、相对指标的种类和计算方法 三、正确运用相对指标的原则,第四章综合指标,19,上一页,下一页,返回本章首页,一、相对指标的概念和作用,概念 相对指标是两个有联系的统计指标数值对比的结果。它也称作相对数。,第四章综合指标,20,上一页,下一页,返回本节首页,作用： 说明总体内在的结构特征。 使不能直接对比的事物过渡到可以比较。 相对指标
9、说明现象的相对水平，表明现象的发展过程和程度。,第四章综合指标,21,相对指标的（数值）表现形式 有名数：以分子、分母的双重单位表示 例：人口密度（人/平方公里）人均国民生产总值（元/人） 无名数系数倍数成数：1成=10%百分数：% 1/100千分数： 1/1000,第四章综合指标,22,上一页,下一页,返回本节首页,二、相对指标的种类和计算方法,计划完成程度相对指标 计划完成相对数的一般公式,第四章综合指标,23,上一页,下一页,返回本节首页,2.计划完成相对数的计算 计划数是计划完成相对数的基数 基数可以是绝对数（总量指标）、相对数、也可以是平均数。 具体计算时，在形式上有一定的差异。,第
10、四章综合指标,24,根据总量指标计算某厂计划完成工业增加值200万元，实际完成220万元，则：即：超额完成计划的10%,第四章综合指标,25,上一页,下一页,返回本节首页,根据相对指标计算计划完成程度例1：某厂计划2000年劳动生产率要比上年提高4%，实际提高5%，则,第四章综合指标,26,即：超额0.96%完成计划。,上一页,下一页,返回本节首页,例2：某企业计划产品单位成本比上年降低5%，实际降低6%，则,第四章综合指标,27,即：成本降低率比计划多完成1.05%。,上一页,下一页,返回本节首页,注：以上两例的计划完成相对数的经济意义是不同的，劳动生产率计划完成程度若大于100%，说明超额
11、完成计划，若小于100%，则说明没有完成计划；比值愈大，表明完成计划愈好，这种指标一般称为正指标。 而产品单位成本计划完成程度若大于100%，说明成本比计划高，没有完成计划，若小于100%， 说明成本比计划低，超额完成计划。比值愈小，说明计划完成得愈好，这种指标称为逆指标。,第四章综合指标,28,第四章综合指标,29,根据平均指标计算计划完成程度,例:某企业计划要求劳动生产率达到5000元/人，某种产品的计划单位成本为100元；该企业实际的劳动生产率达到6000元/人，某种产品的实际单位成本为80元，则：计算结果表明，该企业劳动生产率实际比计划提高20%，单位成本实际比计划降低20%;这里，劳
12、动生产率为正指标，单位成本为逆指标。,第四章综合指标,30,注：一般来说，正指标如产量、产值、销售额等计划指标是以最低限额规定的，而逆指标如单位成本、原材料消耗、流通费等，计划指标是按最高限额规定的。,第四章综合指标,31,3.长期计划完成程度的检查 长期计划，如5年计划，其计划指标的制定有两种不同的方法：A、一种是按全期应完成的总数来制定，如我国第十一个五年计划（20062010）规定城镇基本养老保险覆盖人数达到2.23亿人。B、一种是规定计划期末应达到的水平，如某企业第十个五年计划规定最末一年产品产量应达到4500万台。,第四章综合指标,32,这就产生了两种不同的检查方法：水平法和累计法
13、第一，累计法：凡是计划指标是按计划期内各年的总和下达的，检查计划的完成程度时，应用如下公式：主要用于检查计划期内构成国民财产存量的经济指标，如：固定资产总额、住宅建设、开耕荒地等等计划完成情况。,第四章综合指标,33,例：我国“七五”计划规定 ：1986-1990年五年固定资产投资要达到12960亿元，实际完成投资19745亿元，问五年计划的完成情况,第四章综合指标,34,第二，水平法：凡是计划指标是按计划期最末一年应达到的水平下达的，检查计划完成情况时要用水平法。公式如下：主要用于反映生产能力的流量方面的经济指标，如钢产量、煤产量、发电量等指标的计划完成情况。,第四章综合指标,35,例：我国
14、“七五”计划规定：粮食产量1990年要达到年产42500万吨，实际完成43500万吨，问五年计划的完成情况。即超额完成计划2.35%,第四章综合指标,36,4.计划完成程度相对数应注意的问题： 分子分母不能交换 计量单位一般用百分数表示,第四章综合指标,37,结构相对指标说明总体内部构成,定义计算：例:某班学生的性别构成情况,第四章综合指标,38,上一页,下一页,返回本节首页,3.结构相对数应注意的问题：分子分母不能交换，且属于同一个总体所有的结构相对数之和为1计量单位可用百分数或小数表示,第四章综合指标,39,比例相对指标,定义计算：在上例中某班男女生比例为3:1。,第四章综合指标,40,上
15、一页,下一页,返回本节首页,3.比例相对数应注意的问题： 分子分母可以交换，且属于同一个总体 计量单位为百分数、小数或连比的形式如：m：n 或 m：n：1,第四章综合指标,41,比较相对指标,定义计算：例：中国国土面积为960万平方公里，美国为937万平方公里，两者之比为,第四章综合指标,42,上一页,下一页,返回本节首页,3.比较相对数应注意的问题：分子分母属于不同空间、同一时间下的同类指标值分子分母可以交换计量单位为百分数或小数,第四章综合指标,43,强度相对指标,1.定义：它是两个性质不同，但有联系的总量指标的对比，用以表明现象的强度、密度和普遍程度。用公式表示为：,第四章综合指标,44
16、,2.计算举例：1998年末我国人口密度,第四章综合指标,45,上一页,下一页,返回本节首页,3.注意的问题 计量单位（数值表现形式）：多数情况下用有名数表示，且为复合名数。如：人口密度为：人平方公里，人均GDP为：元人。有的情况下用无名称数表示如：流通费率用表示，人口出生率用表示。,第四章综合指标,46,强度相对指标的正指标和逆指标：有些强度相对指标的分子、分母可以互换，由此产生正指标和逆指标。正指标：指标数值越大，表明现象越好或强度越强、密度越密、普遍程度越高。逆指标：指标数值越小，表明现象越好或强度越强、密度越密、普遍程度越高。,第四章综合指标,47,例1：某地区某年总人口为1200万人
17、，6万个零售商业机构，则（1）（2）,第四章综合指标,48,例2：某商场3月份销售额为200万元，流通费用额为27万元，则表明每百元销售额所负担的费用额为13.5元。该指标越小越好，所以为逆指标。表明每百元费用额所创造的销售额是740.74元。该指标越大越好，所以为正指标。,第四章综合指标,49,强度相对数与平均数的关系：强度相对数含有平均的意义，但不是平均数。具体区别平均数中介绍。,第四章综合指标,50,动态相对指标,定义动态相对数是将总体不同时期的同一类指标对比而计算的比值，说明事物发展变化的程度。用公式表示为：,第四章综合指标,51,上一页,下一页,返回本节首页,2.计算举例：某省粮食总
18、产量，2009年为240万吨，2008年为220万吨，则：,第四章综合指标,52,3.注意的问题：分子、分母不能交换分子、分母分属不同时期（动态）分子、分母说明的是同一个总体计量单位为百分数或小数,第四章综合指标,53,三、正确运用相对指标的原则,注意可比性用以进行对比的指标，它们在指标中的涵义，包括内容、计算方法等方面是否可以对比，对比结果是否说明问题。,第四章综合指标,54,上一页,下一页,返回本节首页,总量指标和相对指标结合起来使用（例子）3.多种相对指标结合使用,第四章综合指标,55,例：甲地区2008年计划GDP为120亿元，年平均人口为600万人，2008年GDP第一、第二、第三产
19、业情况如下，又知甲地区2007年GDP为110亿元，乙地区2008年的GDP为100亿元，试计算所有的相对指标。单位：亿元,第四章综合指标,56,说明：,统计分布的数值特征有两类： 一类是分布的集中趋势，含两类平均指标：一类是数值平均数；一类是位置平均数 一类是分布的离中趋势（离散状况）,第四章综合指标,57,第三节 平均指标（分布的集中趋势）,一、平均指标的概念和作用 二、算术平均数 三、调和平均数 数值平均数 四、几何平均数 五、众数 位置平均数 六、中位数 七、各种平均数之间的相互关系,第四章综合指标,58,上一页,下一页,返回本章首页,一、平均指标的概念和作用,概念平均指标是将同质总体
20、内各单位的数量差异抽象化，以反映总体的一般水平。,第四章综合指标,59,上一页,下一页,返回本节首页,特点： 将数量差异抽象化，即数量标志才能求平均 被平均的对象必须具有同质性 反映总体各单位变量值或标志值分布的集中趋势,第四章综合指标,60,集中趋势 总体中各单位某一标志值的具体表现是各不相同的，但一般呈正态分布，即很小或很大的标志值出现的次数较少，接近平均数的标志值出现的次数较多，大多数的标志值都围绕着平均数左右波动。,第四章综合指标,61,作用： 1.可用于同类现象在不同空间的比或同类现象在不同时间的比 2.分析现象之间的依存关系 3.可进行数量估算（由样本平均数推断总体平均数）,第四章
21、综合指标,62,上一页,下一页,返回本节首页,第四章综合指标,63,应用平均指标的基本要求：同质性：即被平均的现象要具有同类性,第四章综合指标,64,平均指标和强度相对指标的区别 平均指标是在一个同质总体内标志总量和单位总量的比例关系，标志总量和单位总量有一一对应的关系。有一个总体单位必须有一个标志值与之对应； 强度相对指标的分子和分母是两个不同总体的总量指标，不存在各个标志值和各个单位之间的一一对应关系。,第四章综合指标,65,二、算术平均数,基本公式,第四章综合指标,66,上一页,下一页,返回本节首页, 计算由于掌握的资料不同，产生两种不同的计算法：1.简单算术平均数：依据未分组的原始数据
22、计算平均数，或者当各组的次数（权数）均为1或都相等时，用这种方法。,第四章综合指标,67,例1：5名工人日产零件数为12，13，14，14，15件，计算平均每人日产量。例2：40个工人生产资料：计算人均产量,第四章综合指标,68,上一页,下一页,返回本节首页,2.加权算术平均数：当各组出现的次数（权数）不相等时，用此公式,第四章综合指标,69,上一页,下一页,返回本节首页,例1：某厂工人生产情况如下：,第四章综合指标,70,上一页,下一页,返回本节首页,第四章综合指标,71,如果是组距数列，则以各组的组中值为代表值加权平均。 例2：某企业60名工人月工资分组资料如下：,第四章综合指标,72,注
23、：由以上两例可以看出，加权算术平均数受两个因素的影响： 一是分配数列的各组变量值， 二是各变量值出现的次数。 变量值出现的次数在计算平均数的过程中起着权衡轻重的作用，所以经常将其称为权数。,第四章综合指标,73,权数也可以用频率（即各组次数与总次数之比）来表示，计算公式为：,第四章综合指标,74,（三）算术平均数的数学性质,各变量与算数平均数的离差之和等于零。 简单算术平均数：加权算术平均数：,第四章综合指标,75,各个变量值与算术平均数的离差平方和最小 简单算术平均数加权算术平均数,第四章综合指标,76,两个独立同质变量代数和的算术平均数等于各变量算术平均数的代数和。 即,第四章综合指标,7
24、7,两个独立同质变量乘积的算术平均数等于各变量算术平均数的乘积。 即,第四章综合指标,78,（四）算术平均数的应用,切尾平均数 算术平均数是根据总体中全部变量值计算的，受总体内极端数值的影响较大。 当总体存在过大或过小的极端数值时，为了正确反映总体水平，应将其剔除，然后将其余数值加以平均。这种剔除极端数值再平均的方法，称为切尾平均法，所得的数值为切尾平均数。,第四章综合指标,79,说 明,下表是某公司中层干部2009年的实际收入计算其平均收入,第四章综合指标,80,注意观察一个问题： 市场部经理的收入，是个极端值，它对平均数有什么的影响。,第四章综合指标,81,如果不考虑市场部经理的收入，则其
25、余4人的平均收入为57500元，这样似乎更具有代表性。 由此可见，均值一个主要缺点是对极端数值十分敏感。 实际中是利用切尾平均法：即去掉极端值，将剩余的数据求平均。,第四章综合指标,82,2002年，温州市100户调查的样本中，有一户全年收入近15万，对全市平均收入的影响超过500元。 这会使达不到平均收入的居民户增多。如浙江省2002年也曾对1900户的5378人年平均收入进行调查，结果达不到平均收入11414元的人数达到3380人，占了62.8%这会使居民对国家统计局的官方数据产生怀疑。,第四章综合指标,83,例：某企业下属生产同种产品的三个车间的工人数、产量及总成本资料如下：分别计算各车
26、间及企业的工人劳动生产率和产品单位成本； 如果各车间劳动生产率都达到三个车间中的先进水平，该企业可增加产量多少； 如果各车间产品单位成本都达到三个车间中的先进水平，该企业可节约多少资金。,第四章综合指标,84,三、调和平均数,简单调和平均数 例1：某种蔬菜价格早上为0.5元/斤、中午为0.4元/斤、晚上为0.25元/斤。现早、中、晚各买1斤，求平均价格。 例2：某种蔬菜价格早上为0.5元/斤、中午为0.4元/斤、晚上为0.25元/斤。现早、中、晚各买1元，求平均价格。,第四章综合指标,85,上一页,下一页,返回本节首页,在例1中，用简单算术平均数,第四章综合指标,86,在例2中，先求早、中、晚
27、购买的斤数。早 1/0.5=2(斤）、 中 1/0.4=2.5(斤）、晚 1/0.25=4(斤）,第四章综合指标,87,将例2用公式表示为：,这就是简单调和平均数的公式。,上一页,下一页,返回本节首页,加权调和平均数,例3：某种蔬菜价格早上为0.5元/斤、中午为0.4元/斤、晚上为0.25元/斤。现早、中、晚各买2元、3元、4元，求平均价格。,第四章综合指标,88,用公式表示为：,上一页,下一页,返回本节首页,（三）调和平均数与算术平均数的关系,调和平均数是各个变量值倒数的算术平均数的倒数，是算术平均数的一种变形。 在已知每种价格x、销售量f时，求平均价格用加权算术平均数。在已知每种价格x、销
28、售额m时，求平均价格用加权调和平均数。,第四章综合指标,89,上一页,下一页,返回本节首页,四、几何平均数,几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根。 由于所掌握的资料不同，分为简单几何平均数和加权几何平均数 简单几何平均数,第四章综合指标,90,例：2004-2008年我国工业品的产量分别是上年的 107.6%、102.5%、100.6%、102.7%、102.2%，计 算这5年的平均发展速度。,上一页,下一页,返回本节首页,第四章综合指标,91,上一页,下一页,返回本节首页,加权几何平均数,第四章综合指标,92,例1：某地区25年的年经济增长速度分别是：1年3%，4年5%，8年8%，10年1
29、0%，2年15%，求该地区经济的平均年增长速度。 例2：P54,上一页,下一页,返回本节首页,第四章综合指标,93,上一页,下一页,返回本节首页,几何平均数也可用对数的算术平均形式表示。因此，几何平均数也称“对数平均数”。这时： 简单几何平均数加权几何平均数,第四章综合指标,94,使用几何平均数应注意的问题,1.被平均的变量值不能为零或负数 2.变量值为相对数，而且这些相对数的连乘积要等于总速度或总比率。,第四章综合指标,95,五、众数（ ）,说明： 算术平均数、调和平均数和几何平均数是根据总体单位的各个标志值计算的，众数和中位数是根据标志值在分配数列中的位置确定的。 所以，前者称为数值平均数
30、，后者称为位置平均数,第四章综合指标,96,（一）定义：众数是总体（或分布数列）中出现次数最多的标志值。,第四章综合指标,97,上一页,下一页,返回本节首页,（二）众数的计算：1.对于品质数列或单项式数列：众数是分布数列（或总体）中出现次数最多的标志值。,第四章综合指标,98,例1：为研究广告市场的状况，一家广告公司在某城市随机抽取200人就广告问题做了邮寄问卷调查，其中一个问题是：您比较关心下列哪一类广告？,第四章综合指标,99,这里，众数即为商品广告,例2：某车间工人技术等级资料如下： 级别：1 2 3 4 5 6 7 8 人数：5 12 20 38 25 10 8 2,第四章综合指标,1
31、00,2.组距式数列： 首先根据数列中各组次数确定众数所在的组，然后用公式计算。 公式分上限公式和下限公式：,第四章综合指标,101,下限公式：上限公式：其中: L 为众数所在组的下限；U 为众数所在组的上限 fm 为众数所在组的次数； fm-1为众数所在组的前一组的次数 fm+1为众数所在组的后一组的次数,第四章综合指标,102,例：某单位职工年龄情况,第四章综合指标,103,（三）众数的特点 1.众数是根据变量值出现次数的多少确定的，因此不受极端值的影响。 2.在组距数列中，各组分布的次数受组距大小的影响，所以根据组距数列确定众数时，要保证各组组距相等。 3.在一个次数分布中有几个众数，称
32、为多重众数；有两个众数称为双重众数。,第四章综合指标,104,六、中位数,（一）中位数的概念： 中位数是将各单位标志值按大小排列，居于中间位置的那个标志值就是中位数。 它把全部标志值（即数列）分成两个部分，一半标志值比它小，一半标志值比它大。,第四章综合指标,105,上一页,下一页,返回本节首页,（二）中位数的计算（分三种情况）,1.未分组资料：先将数据按从小到大顺序排列，分两种情况 （1）项数为奇数中位数为居于中间位置上的标志值，确定位置用公式(n+1)/2例：有9个数字：2，3，5，6，9，10，11，13，14 中位数为第5个，即9。,第四章综合指标,106,（）项数为偶数中位数为居于中
33、间的那2个单位标志值的平均值。例：有10个数字：2，3，5，6，9，10，11，13，14，15。,第四章综合指标,107,上一页,下一页,返回本节首页,2.如为单项式分组资料：先将次数进行累计；确定中位数的位置，用公式： ；找出中位数组，即已含累计次数半值的组，该组的变量值即为中位数。,第四章综合指标,108,第四章综合指标,109,例：某厂工人日产零件表,中位数位置=80/2=40,3.如为组距式数列： 先将次数进行累计； 确定中位数所在的组，利用公式； 按照下限公式或上限公式计算中位数。,第四章综合指标,110,下限公式上限公式,第四章综合指标,111,例：某班期末考试外语成绩,第四章综
34、合指标,112,A、先将次数进行累计 B、确定中位数所在的组：40/2=20，中位数应在第20个学生的分数上(分数从高到底排列后) C、计算中位数的近似值： 下限公式=70+（20-9）/15 10=77.33(分) 上限公式=80-（20-16）/15 10=77.33(分),第四章综合指标,113,七、各种平均数之间的关系,1.几个数值平均数的关系 算术平均数、几何平均数和调和平均数之间的关系： 可以证明：,第四章综合指标,114,上一页,下一页,返回本节首页,2.算术平均数、中位数和众数之间的关系（P58） 当总体成对称型分布（正态分布）时，当总体呈左偏态分布时当总体呈右偏态分布时,第四
35、章综合指标,115,第四节 标志变异指标（分布的离中趋势）,一、标志变异指标（标志变动度）的意义和作用 二、全距 三、平均差 四、标准差 五、离散系数,第四章综合指标,116,上一页,下一页,返回本章首页,一、标志变动度的意义和作用,标志变动度的概念 标志变动度是描述总体各单位标志值差别大小程度的指标，又称离散程度或离中程度。 例：某车间两个生产小组各人日产量如下：甲组：20，40，60，70，80，100，120乙组：67，68，69，70，71，72，73 从下图可以看出甲组离散程度大，乙组离散程度小。,第四章综合指标,117,上一页,下一页,返回本节首页,第四章综合指标,118,70,7
36、0,上一页,下一页,返回本节首页,标志变动度的作用 标志变动度是评价平均数代表性的依据(例子)。 标志变动度反映社会经济活动过程的均衡性或协调性，以及产品质量的稳定性。 标志变动度是计算抽样误差和确定样本容量的依据。,第四章综合指标,119,上一页,下一页,返回本节首页,平均数的代表性和标志变动度的关系： 一般而言，标志变动度大(标志值的差距大)，平均数的代表性就小；标志变动度小(标志值的差距小) ,平均数的代表性就大 例如：三组学生的年龄（岁）20 20 20 20 20 -差距最小，20岁的代 表性最大18 19 20 21 2215 16 20 24 25-差距最大，20岁的代表性最小,
37、第四章综合指标,120,二、全距,全距的概念与计算全距是总体各单位标志的最大值和最小值之差。例：六个学生考试成绩分别为：68，72，78，84，88，90，计算其全距。最低分为68分，最高分为90分，则：全距=90-68=22（分）,第四章综合指标,121,上一页,下一页,返回本节首页,全距的特点：1.计算方便、易于理解；2.指标易受极端数值的影响。,第四章综合指标,122,三、平均差,平均差的概念与计算 1.概念平均差是各单位标志值与算术平均数离差绝对值的算术平均数。它表示各变量值与算术平均数的平均距离。,第四章综合指标,123,上一页,下一页,返回本节首页,2.计算公式 简单平均法（未分组
38、资料）加权平均法（分组资料）,第四章综合指标,124,例1：P62 例2：某车间200名工人按日产量分组：,第四章综合指标,125,平均差的优缺点： 和全距相比，弥补了全距的不足，能反映中间标志值的变动； 缺点是：它采取离差的绝对值形式，数学性较差。,第四章综合指标,126,上一页,下一页,返回本节首页,四、标准差,标准差的概念与计算标准差是各单位标志值与其算术平均数离差平方的算术平均数的平方根。计算公式,第四章综合指标,127,上一页,下一页,返回本节首页,在实际计算标准差时，也可以采用另一种较为简单的方法：例1见P62,第四章综合指标,128,例2：某公司50名员工的月工资资料如下：,第四
39、章综合指标,129,第四章综合指标,130,（二）标准差的优缺点 优点:弥补了平均差和全距的不足 缺点:其数值的大小受变量数列本身水平高低的影响.这使不同性质的数列(水平高低不等和计量单位不同的数列)的标准差不具有可比性.,第四章综合指标,131,（三）交替标志的标准差有些事物或现象的特征只表现为两种性质上的差异。例如，产品的质量表现为合格或不合格；人的性别表现为男或女；等等。这些只表现为是或否、有或无的标志，称为交替标志，也称为是非标志。,第四章综合指标,132,1.成数 交替标志只有两种表现，我们把总体中具有某种表现或不具有某种表现的单位数占总体单位数的比重称为成数。 例如，一批产品，合格
40、品占95%，不合格品占5%。,第四章综合指标,133,若以 表示具有某种表现的单位数， 表示不具有某种表现的单位数， 表示总体单位数，则成数可写作：在同一总体中，,第四章综合指标,134,2.交替标志的平均数 交替标志是一种品质标志，其表现为文字。因此，在计算平均数时，首先需要将文字表现进行数量化处理。 用“1”表示具有某种表现，用“0”来表示不具有某种表现，然后以“1”和“0”作为变量值，计算加权算术平均数：或,第四章综合指标,135,3.交替标志的标准差 将经过量化处理的交替标志的表现“1”和“0”作为变量值带入标准差公式，即可得到交替标志的标准差公式：,第四章综合指标,136,五、离散系
41、数（变异系数）,全距、平均差及标准差都是反映标志变异程度有计量单位的绝对数指标。总体分布的标志变异程度不仅取决于标志值的差异状况，同时还受平均水平高低的影响。若对两个总体分布进行变异性比较，当它们的平均数不等、计量单位不同时，则应消除平均数不同和计量单位不可比的影响。,第四章综合指标,137,上一页,下一页,返回本节首页,离散系数是指消除平均数影响后的标志变异指标，其形式为相对数，因此也称为标志变异相对数指标。 常用的离散系数是平均差系数和标准差系数。计算公式如下：平均差系数：标准差系数：,第四章综合指标,138,例1：有两组工人日产量 甲组：60、65、70、75、80 乙组：2、5、7、9
42、、12不能简单断言甲组离散程度大于乙组离散程度,第四章综合指标,139,可以计算离散系数,第四章综合指标,140,即乙组的离散程度大于甲组。由此可见，当我们比较两组数据的离散程度时，如两组平均数相等，可以直接比较标准差；如两组平均数不等，则需比较两组的离散系数。例2见P65,上一页,下一页,返回本节首页,第五节 偏度和峰度的测度,一、偏度 分布的“偏度”是指分布不对称的方向和程度，它可以通过不同的方式来测定，主要有三种测定方法，皮尔逊偏度系数、鲍莱偏度系数和矩法。,第四章综合指标,141,1.分布的矩（动差）矩有两种，一种为原点矩，一种为中心矩。 原点矩是随机变量各个取值的k次方的算术平均数。
43、其计算公式为：或这里，k表示阶数显然，一阶原点矩就是变量的算术平均数。,第四章综合指标,142,中心矩是随机变量各取值与其算术平均数离差的k次方的算术平均数。其计算公式为：或,第四章综合指标,143,中心矩的几个性质,第四章综合指标,144,偶数阶中心矩恒非负，一阶中心矩恒为0。 对称分布的所有奇数阶中心矩恒为0。即当对称分布时，必有：当分布为正态分布时，其所有偶数阶中心矩都是由它的方差决定的。即显然，可以很容易得到：,2.矩法偏度系数 一般用三阶或三阶以上各奇数阶中心矩来衡量随机变量的偏斜程度，但为了计算简便，通常只用三阶中心矩。 同时，为了消除三阶中心矩的量纲，我们给它除以标准差的立方，则
44、得到矩偏度系数的计算公式：,第四章综合指标,145,该偏度系数的符号可以表明分布的偏斜方向，其绝对值的大小则可以表明分布的偏斜程度。即：的绝对值越大，随机变量分布的偏斜程度越大,第四章综合指标,146,二、峰度 分布的“峰度”是指随机变量分布密度曲线顶峰的尖峭程度。 如果随机变量在众数周围的集中程度很高，则其分布密度曲线的顶峰会比较尖峭；如果随机变量在众数周围的集中程度比较低，则其分布密度曲线的顶峰会比较平坦。,第四章综合指标,147,峰度的测定通常也用矩测定法，即利用随机变量的四阶中心矩与其标准差的四次方的比率作为测定指标，该指标称为峰度系数，其计算公式为：,第四章综合指标,148,由前面中心矩的性质可知，当随机变量为正态分布时， 。这时，其峰度系数 所以通常将峰度系数 作为比较的标准。则有：峰度系数的值越大，随机变量分布密度曲线的顶峰越尖峭。 例1见P69,第四章综合指标,149,例2：计算某公司50名员工的工资分布的偏度和峰度,第四章综合指标,150,第四章综合指标,151,第四章综合指标,152,整个分布是正偏分布，而且分布密度曲线的顶峰比正态分布要尖峭。,Thank you very much!,第四章综合指标,153,谢谢！,上一页,退出,返回本章首页,
