1、第一章 随机事件的概率,第一节 随机事件,第二节 随机事件的概率,第三节 条件概率,第四节 独立性 主观概率,第一节 随机事件,一、随机试验与样本空间,二、随机事件,三、事件间的关系与运算,一、随机试验与样本空间,1试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果,2进行试验之前不能确定哪一个结果会出现,其中，可以在相同的条件下重复进行的随机试验称为可重复的随机试验，否则称为不可重复的随机试验,随机试验的所有可能结果组成的集合,样本空间,T,H,0次,2次,在某一批产品中任选一件，检验其是否合格,记录某大超市一天内进入的顾客人数,在一大批电视机中任意抽取一台，测试其寿命,观察某地明天的
2、天气是雨天还是非雨天,二、随机事件,满足这一条件的样本点组成 的一个子集,称 为随机试验 的一个随机事件,基本事件 ：,随机试验 有两个基本事件 和,随机试验 有三个基本事件 、 和,样本空间的两个特殊子集,它包含了试验的所有可能的结果，所以在每次试验中它总是发生，称为必然事件 .,它不包含任何样本点，因此在每次试验中都不发生,称之为不可能事件 .,由一个样本点组成的单点集,三、事件间的关系与运算,研究原因：,希望通过对简单事件的了解掌握较复杂的事件,研究规则：,事件间的关系和运算应该按照集合之间的关系和运算来规定,随机试验的E样本空间W,子事件 和事件 积事件 差事件 互斥（互不相容） 对立
3、事件（逆事件） 运算规律,子事件,和事件,积事件,差事件,互斥,时发生,对立事件,运算规律,4.对偶律,注：这些运算规律可以推广到任意多个事件上去,1.交换律,2.结合律,3.分配律,例1 设 ， ， 是随机事件，则事件, 与 发生， 不发生可以表示成, ， ， 至少有两个发生可以表示成, ， ， 恰好发生两个可以表示成, ， ， 中有不多于一个事件发生可以表示成,例2 某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道1，2，3组成，每个水源都足以供应城市的用水，设事件,于是,“城市断水”这一事件可表示为,“城市能正常供水”这一事件可表示为,第二节 随机事件的概率,一、频率与概率 二、概率的性质
4、三、等可能概型（古典概型） 四、几何概型,一、频率与概率,概率,定义1,抛硬币实验,试验次数,出现正面的次数,出现正面的频率,这表明频率具有一定的随机波动性,对于可重复进行的试验，当试验次数 逐渐增大时，事件 的频率 都逐渐稳定于某个常数 ，呈现出 “稳定性”,因此，可以用频率来描述概率，定义概率为频率的稳定值,我们称这一定义为概率的统计定义,这种“稳定性”也就是通常所说的统计规律性,频率具有如下性质,1非负性,2规范性,3有限可加性,则,设E是随机试验，W是它的样本空间，对E的每一个事件A，将其对应于一个实数，记为P(A )，称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下列条件：,概率的公理化定
5、义,1非负性,2规范性,3可列可加性,二、概率的性质,性质1,性质2（有限可加性）,性质3,性质4,性质5,性质6（加法公式）,性质5,证：,证明 性质5,证明 性质6,性质6（加法公式）,证明：,因为,且,故由性质2和性质3得：,性质6可以推广到多个事件的情形,例如,解,而,所以,于是,证,练习2:某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙报纸求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率? 解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报.由题意 P(A)=P(B)=P(C)=0.3, P(AB)=0.1,
6、P(AC)=P(BC)=0, P(ABC)=0,作业,习题1-1 3. 4. 习题1-2 1（3）（5） 4.,三、等可能概型（古典概型）,1试验的样本空间只含有有限个元素，即,2试验中每个基本事件发生的可能性相同，即,具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型。由于它是概率论发展初期的主要研究对象，所以也称之为古典概型,则有,例3 将一枚硬币抛二次,（2）,解（1）,古典概型的有关问题,在古典概型的概率的计算中困难的是计算一事件包含的基本事件的数目, 因此需要排列和组合的知识,同时这类问题也经常可以和抽样联系在一起.这里我们做一个简单的回顾. 乘法法则: 如果一件事情可以分为两步做, 第一步有
7、n种选择, 在第一步中的每一种选择中, 第二步有m种选择, 则整件事情共有: mn种选择.,有放回抽样,假设一副牌有52张, 将它们编号为1,2,52. 每次抽出一张观察后再放回去(这样下一次这张牌仍有机会被抽到), 这叫有放回抽样. 假设共抽了5次, 共有多少种可能的抽法? 第一次有52种抽法, 在第一次的每一种抽法中, 第二次又有52种抽法, , 因此抽5次共有 5252525252=525种抽法. 一般地, 从n个元素中进行m次放回抽样, 则共有nm种抽法,不放回抽样(排列),还是52张牌, 每次抽出一张, 但不放回, 则第二次抽时只有51张牌, 第三次就只有50张牌. 如果这样抽5次,
8、 就共有 5251504948=52!/47! 种抽法 一般地, 从N个元素中抽取n个(nN), 共有,不放回抽样(组合),如果从N个元素中不放回抽样n个, 但不关心其顺序, 比如说(1,2,3)和(3,2,1),(2,3,1)被视作一样, 则称为组合, 因此, 组合的数目要比排列的数目小n!倍, 记作,先给出一个记号，它是组合数的推广，规定,例5 将 个球随机地放入 个盒子中去，盒子的容量不限，试求 （1）每个盒子至多有一只球的概率； （2） 个盒子中各有一球的概率,解 将 个球放入 个盒子中去，每种放法是一个基本事件。显然这是古典概型问题。因每一个球都可以放入 个盒子中的任一个盒子，故共有
9、种不同的方法,个盒子可以有 种不同的选法。对选定的 个盒子，每个盒子各有一个球的放法有 种。由乘 法原理，共有 种放法，因此所求概率为,1.在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.,2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.,3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型.,练习：有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365. 求这n (n 365)个人的生日互不相同的概率，至少有两人生日在同一天的概率。,例6 （女士品茶）一位常饮奶茶的女士称：她能从一杯冲好的奶茶中辨别出该奶茶是先放牛奶还是先放茶冲制而成.做了10次测试，结果是她都正确地辨别出来了.问该
10、女士的说法是否可信？,10次试验一共有 个等可能的结果,解,假设该女士的说法不可信，即纯粹是靠运气猜对的。,在此假设下，每次试验的两个可能结果为：,奶茶 或 茶奶,且它们是等可能的，因此是一个古典概型问题。,若记,则 只包含了 个样本点中一个样本点，故,由实际推断原理，该女士的说法可信,实际推断原理概率很小的事件在一次试验中实际上几乎不会发生,四、几何概型,古典概型是关于试验的结果为有限个,且每个结果出现的可能性相同的概率模型.一个直接的推广是：保留等可能性，而允许试验的所有可能结果为直线上的一线段、平面上的一区域或空间中的一立体等具有无限多个结果的情形，称具有这种性质的试验模型为几何概型,若
11、在一个面积为 的区域 中等可能地任意投点，这 里“等可能”的含义是：点落入 中任何区域 的可能性的大小与区域 的面积 成正比，而与其位置和形状无关,由,知,从而,几何概率,记事件,则有,例(会面问题)甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。,解： 以 X , Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是,即 点 M 落在图中的阴影部 分.所有的点构成一个正 方形，即有无穷多个结果. 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的，所以落在正 方形内各点是等可能的.,.M(X,Y),二人会面的条件
12、是：,0 1 2 3 4 5,y,x,5 4 3 2 1,y=x+1,y=x -1,记“两人会面”为事件A,练习.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?,解：如上图，记“剪得两段绳子长都不小于1m”为事件A，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生。由于中间一段的长度等于绳子长的三分之一，所以事件A发生的概率P（A）=1/3。,3m,1m,1m,第三节 条件概率,一、条件概率 二、乘法公式 三、全概率公式与贝叶斯公式,一、条件概率,例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问另一个也是女孩的概率是多少？ （假定生男生女是等可
13、能的）,由题意，样本空间为,(1),表示事件“至少有一个是女孩”，,表示事件“两个都是女孩”，则有,由于事件已经发生，所以这时试验的所有可能结果只有三种，而事件包含的基本事件只占其中的一种， 所以有,解,在这个例子中，若不知道事件已经发生的信息，那么事件发生的概率为,其原因在于事件 的发生改变了样本空间，使它由原来的 缩减为 ，而 是在新的样本空间 中由古典概率的计算公式而得到的,这里,(2),关系式（2）不仅对上述特例成立，对一般的古典概型和几何概型问题，也可以证明它是成立的,上例中计算 P(B|A)的方法并不普遍适用如果回到原来的样本空间W 中考虑，显然有,从而,即,(3),可以验证，条件
14、概率P(|A)满足概率公理化定义中的三条公理,定义1,事件A发生的条件下事件B发生的条件概率,根据具体的情况，可选用下列两种方法之一来计算条件概率P(B|A) （1）在缩减后 WA 的样本空间中计算； （2）在原来的样本空间W中，直接由定义计算,1 非负性 2 规范性 3 可列可加性,例2 一袋中有10 个球，其中3个黑球，7个白球， 依次从袋中不放回取两球 （1）已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率； （2）已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率,解,（1）可以在缩减的样本空间 WA1上计算。,因为A1已发生，即第一次取得的是黑球，第二次取球时，所有可取的球只有
15、9只WA 中所含的基本事件数为9，其中黑球只剩下2个所以,记,（2）由于第二次取球发生在第一次取球之后，故WA2的结构并不直观因此，直接在W中用定义计算P(A1 |A2)更方便些,因为,所以,例3 人寿保险公司常常需要知道存活到某一个年龄段的人在下一年仍然存活的概率根据统计资料可知，某城市的人由出生活到50岁的概率为0.90718，存活到51岁的概率为0.90135。问现在已经50岁的人，能够活到51岁的概率是多少？,解,记,因此,要求,显然,因为,从而,可知该城市的人在50岁到51岁之间死亡的概率约为0.00643在平均意义下，该年龄段中每千个人中间约有6.43人死亡,二、乘法公式,定理1
16、（乘法公式）,则由归纳法可得：,则由,可得,例4 已知某厂家的一批产品共100件，其中有5件废品为慎重起见，他对产品进行不放回的抽样检查，如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品，则他拒绝购买这一批产品求采购员拒绝购买这批产品的概率,解,则,从而,设,由乘法定理,于是,由题意，有,三、全概率公式与贝叶斯公式,下面用概率的有限可加性及条件概率的定义和乘法定理建立两个计算概率的公式先引入一个例子,例6 某工厂的两个车间生产同型号的家用电器。据以往经验，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12两个车间生产的成品混合堆放在一个仓库里且无区分标志，假设第1、2车间生产的成品比例为2:3
17、(1)在仓库中随机地取一件成品,求它是次品的概率; (2)在仓库中随机地取一只成品，若已知取到的是次品,问该此次品分别是由第1,2车间生产的概率为多少？,解(1),记,（2）问题归结为计算 和,由条件概率的定义及乘法公式，有,定义2,定理2（全概率公式）,则,设试验E的样本空间为,定理3 （贝叶斯（Bayes）公式）,与全概率公式刚好相反，贝叶斯公式主要用于当观察到一个事件已经发生时，去求导致所观察到的事件发生的各种原因、情况或途径的可能性大小 ,练习1 有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球 , 3号箱装有3 红球. 某人从三箱中任取一箱,从中任意
18、摸出一球,求取得红球的概率.,解 记 Ai=球取自i号箱,i=1,2,3; B =取得红球,B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，,其中 A1、A2、A3两两互斥,代入数据计算得：P(B)=8/15,运用全概率公式,即 A1, A2, A3 构成空间的一个划分,因为P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3,练习2 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 .,1,1红4白,该球取自哪号箱的 可能性最大?,或者问:,解：记 Ai=球取自i号箱,
19、 i=1,2,3; B =取得红球,求P(A1|B),运用贝叶斯公式,代入数据计算为1/8.,作业,习题1-2 6, 8 习题1-3 1, 3, 7, 10, 11,例7 假设在某时期内影响股票价格变化的因素只有银行存款利率的变化经分析，该时期内利率下调的概率为60，利率不变的概率为40 根据经验，在利率下调时某支股票上涨的概率为80，在利率不变时，这支股票上涨的概率为40求这支股票上涨的概率,解,故由全概率公式,例8 由医学统计数据分析可知，人群中患由某种病菌引起的疾病占总人数的0.5%一种血液化验以95%的概率将患有此疾病的人检查出呈阳性，但也以1% 的概率误将不患此疾病的人检验出呈阳性现
20、设某人检查出呈阳性反应，问他确患有此疾病的概率是多少？,解,显然,且已知,由贝叶斯公式可得,记,例9 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应地为0.8，0.1和0.1一顾客欲买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随机地查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回试求： （1）顾客买下该箱玻璃杯的概率 a ； （2）在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率 b,解,（1）由全概率公式,（2）由贝叶斯公式,记,第四节 独立性 主观概率,一、独立性 二、主观概率,一、 独立性,1. 两个事件的独立性,因此,类似地,例1 袋中有6个白球，2个黑球，从中有放回地抽取两次，每
21、次取一球，记A=第一次取到白球，B=第二次取到白球，则有,(1),定义1,若,例2 甲乙二人独立地对目标各射击一次，设甲射中目标的概率为0.5，乙射中目标的概率为0.6，求目标被击中的概率,解,定理1,证,定义2,2. 多个事件的独立性,利用数学归纳法，可把定理1推广至有限多个事件的情形,定理2,定理3,证,利用独立性的概念简化计算,(1),(2),例3（保险赔付）设有 个人向保险公司购买人身意外保险（保险期为1年），假定投保人在一年内发生意外的概率为0.01 （1）求保险公司赔付的概率； （2）当 为多大时，使得以上赔付的概率超过 ,解,(1),记,(2),例4 设有电路如下图所示，其中1，
22、2，3，4为继电器接点，设各继电器接点闭合与否是相互独立的，且每一继电器接点闭合的概率均为p，求L至R为通路的概率,解,设,例5 根据以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏的情况共有三种：损坏2%(记这一事件为 )，损坏10%(记这一事件为 )，损坏90%(记这一事件为 ).且 ， ， .设物品件数很多，取出一件后不影响后一件取的是否为好品的概率，现从已被运输的物品中随机地取3件，发现这三件都是好的（记这一事件为 ），试求,解 在被运输的物品中，随机取3件，相当于在物品中抽 取3次，每次取一件，作不放回抽样由于抽取一件后，不影响取后一件是否为好品的概率，已知当 发 生时，一件产品是好品的概
23、率为 由独立性可知，随机取3件，它们都是好品的概率为即,同样,又,现,且,此时，全概率公式和贝叶斯公式仍能够应用，由贝叶斯公式可得：,对独立事件，许多概率计算可得到简化,独立性的概念在计算概率中的应用,练习1：甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码，设甲译出的概率为0.8，乙译出的概率为0.7，丙译出的概率为0.6，求密码能译出的概率？,解:A=“甲译出密码”,B=“乙译出密码”,C= “丙译出密码”, D=“密码被译出”,显然A、B、C相互独立 D=A+B+C，,= 1-0.2*0.3*0.4=0.976 “三个臭皮匠，顶一个诸葛亮”,练习2：一个学生欲到三家图书馆借一本参考书每家图书馆
24、购进这种书的概率是1/2，购进这种书的图书馆中该书被借完了的概率也是1/2各家图书馆是否购进该书相互独立问该学生能够借到书的概率是多少？,二、 主观概率,对于不可重复进行的实验，在符合概率的公理化定义的三个基本条件下所定义的概率,主观概率的确定或是依赖于经验所形成的个人信念，或是依赖于对历史信息的提炼、概括和应用 主观概率的确定虽然带有很大的个人成分，但并不是完全的臆测，并且主观概率在一定的条件下，还可使用贝叶斯公式加以修正 主观概率至少是频率方法及古典方法的一种补充 有了主观概率，至少可以使人们在频率观点不适用时也能谈论概率，且能使用概率统计方法解决相应的实际问题,例6 某商店经理要知道一种新品种的牛奶畅销（记为事件A）的概率是多少，以决定是否向生产该牛奶的厂家订货及订多少他了解了该牛奶的质量和顾客对饮料的口味需求信息，再基于他多年成功销售的经验，认为事件A发生的可能性是 发生可能性的三倍，即,因此,
