1、小学数学中的 de 概率教学,一、小学概率教学的主要内容,在小学阶段，学生将认识确定现象和不确定现象，初步体会概率的含义，学习一些计算简单事件可能性的方法。学生将体验概率在日常生活中的作用，初步尝试运用所学知识解决简单的实际问题，逐步学习以随机的观点看待世界上的某些现象。,1、初步体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的,通过实际例子，让学生体会客观世界不但存在着确定事件，也存在着不确定事件。并能用“可能”“不可能”“一定”等词语来描述和表达。让学生认识到对于某一客观事件来说，其发生的可能性与个人的愿望无关。,例1：（苏教版课标教材二年级上册第98页）,在这一部分内容的教学中，要注意几点。
2、,（1）事物发生的可能性需要在比较的基础上才能鉴别。正如例题所示，口袋里都是红球，那么一定能摸出红球。口袋里只有绿球和黄球，那么不可能摸出红球。口袋里有红球和黄球，摸出其中的一个球，可能是红球，也可能是黄球。,（2）不要人为编造不可能发生的事件。如“太阳从西边升起”，“我出生到现在没吃过一点东西”，是不可能事件。这些都是人为编造的伪命题，还是不用为好。不如说124是不可能事件，两个十位数相乘的积不可能小于100。（张奠宙：小学数学教材中概率统计内容述评）,（3）让学生举例时，教师要正确的引导。如有的教师让学生用一定、不可能和可能说一句话，有一个学生说：“哥哥的岁数一定比弟弟大”，“妹妹的岁数不
3、可能比姐姐大”，“亮亮的岁数可能比妞妞大”。这些话属于生活常识，都不属于概率论的研究范畴。当教师让学生用“一定”造句时，儿童会联想到自己的生活经验，完全是正常的。作为教师，要从数学的角度提出问题，如：“同学们，想一想哪些事情是一定会发生的？哪些事情不可能发生？哪些事情可能发生？”而不能简单地企望学生用造句来理解事件发生的偶然性与必然性。,2知道事件发生的可能性是有大有小的，对一些简单事件发生的可能性作出描述，并和同伴交换想法。,在研究随机事件发生的可能性大小的初期阶段，只要求学生能够说出有几种可能，并能用“可能性比较大”“可能性比较小”“可能性相同”等词语来描述随机事件发生的可能性。,例2：（
4、京版课标教材二年级上学期第113页）,随机试验有两个显著的特点，一个是实验结果的不确定性，一个就是大量重复实验时的稳定性。而在课堂教学中，由于时间的限制，实验结果的不确定性比较突出，解决这个问题，在课堂教学中，要注意以下几点：,（1）实验素材选择合理、安全，便于操作。,（2）在做实验之前先猜测，然后再进行实验，帮助学生逐步地建立正确的概率直觉。,（3）实验操作要规范。在摸球实验中，学生往往希望拿出自己喜欢的球，或者拿出与别的同学不一样的球。由于好奇，偷看的现象时有发生。要保证试验的随机性，老师首先要保证球除颜色外，其余的条件完全相同（包括大小、质量、光洁度等）；同时要强调不能偷看，每次取球放回
5、后都要把球摇匀（搅匀是摸球试验中研究随机事件、保证公平的前提条件），最后要保证摸球数据的真实，可靠。,（4）要采用分组累加，再全班累加的方式，统计数据。,小组记录表。,班级记录表,如果全班有40人，每4人一个小组，每人摸5次，这样一共摸800次，基本上可以保证实验结果的稳定性，从而发现随机事件的统计规律。这样组织学生体会可能性，更符合概率的思想。,（5）在数据分析的过程中，要引导学生观察数据的变化规律，而不要只看最后的结果。根据大数定律，随着数据量的增加，出现偏差较大的现象会逐步减少，这时就不难推论出正确的结论。,例3：,在这个实验中，学生不难猜测出摸出红球和白球的可能性是一样的。但通过计算，
6、可以得到：,摸2次，摸到1次红球的可能性是50%,摸4次，摸到2次红球的可能性是37.5%,摸6次，摸到3次红球的可能性是31.3%,摸8次，摸到4次红球的可能性大约是27.3%,摸10次，摸到5次红球的可能性大约是24.6%,摸100次，摸到50次红球的可能性大约是8.0%,这说明，摸的次数越多，摸出红球和白球同样多的情况就越少，但摸出红球（或白球）的次数具有偶然性，但多数在总次数的一半左右晃动，教师在数据分析时，要告诉学生，如果摸出红球的个数大多占摸球总次数的一半左右，就可以说摸出红球和白球的可能性相等。教师也可以借助计算机以及相应的软件得出比较稳定的统计结果。,3、体验事件发生的等可能性
7、以及游戏规则的公平性，会求一些简单事件发生的可能性,什么是事件发生的等可能性？,在随机现象中，如果两个事件发生的概率相等，那么这两个事件是等可能性的。如果两个事件发生的概率不相等，那么这两个事件就不是等可能性的。,例4：苏教版课标教材六年级上册（第9495页）,解决这样的问题要注意几点：,（1）控制无关条件。在摸扑克牌时，前提条件是每张扑克牌的大小、轻重、纸张、背面的花纹都完全一样。在摸球时，球的大小、轻重、质地、光滑程度都完全一样；在掷骰子时，骰子应该是标准的正方体，质地均匀。这些无关条件在具体问题中，应该是约定俗成，不必说明。但在实际操作上要严格把关。如有的老师让学生用泥巴自制一个骰子，无
8、关条件就很难控制，通常还是从市售的商品中挑选比较好。,（2）教师在指导学生思考问题（1）时，通常要有三个层次。,认识可能的结果。有6张扑克牌，任意摸出一张，有6种可能的结果：分别是红桃A、红桃2、红桃3、黑桃A、黑桃2和黑桃3。,判断每种结果出现的可能性是否相等。在这六张扑克牌中，除了牌的颜色和点数之外，其他条件完全相同，所以每种结果出现的可能性是相等的。,得出结论。摸到红桃A、红桃2、红桃3、黑桃A、黑桃2和黑桃3的可能性都是1/6。,什么是游戏规则的公平性？,如果一个游戏对每一个游戏者来说，输赢的概率是相等的，那么这样的游戏规则是公平的。反之，如果一个游戏对每一个游戏者来说，输赢的概率是不
9、相等的，那么这样的游戏规则是不公平的。,例5：一只袋子里装有5个完全一样的球，每个球上分别标有1、2、3、4、5，芳芳和亮亮轮流从袋子中摸一个球，然后放回，规定如果摸到的球号码大于3，芳芳赢；摸到其他的球，亮亮赢。你认为这个游戏公平吗？你觉得如何修改游戏规则，才能保证游戏公平合理？,教师在指导学生思考第一个问题时，通常要有下面四个层次。,认识可能的结果。袋子里有五个黄色的小球，任意摸出其中的一个，有5种可能的结果：分别是1号、2号、3号、4号和5号。,判断每种结果出现的可能性是否相等。任意摸出其中的一个，摸到1号、2号、3号、4号和5号球的可能性是1/5。摸到每一个小球的可能性都是相等的。,芳
10、芳摸到的球可以是4号，也可以是5号，2个是1/5是2/5，亮亮摸到的球可以是1号，2号和3号，3个1/5是3/5 。,由于2/5 3/5 ，对于芳芳和亮亮来说，输、赢的可能性不相等，所以这个游戏不公平。,对于第二问，对规则的修改，可以有多种不同的方法。只要使游戏的双方输、赢的可能性相等就是公平的游戏。,例6：（人教版五年级上册第103页）,这个例题对于小学生来说是个很复杂的概率问题。如果用甲、乙表示比赛跳房子的双方。解决“石头、剪子、布”是否公平可以采用以下几个步骤。,认识可能的结果。可以采用画图，列表和枝形图的方式表示。,如：亮亮设计了这样一个游戏：甲、乙两人玩下面的图钉游戏。只用一个图钉，
11、任意掷一次。甲掷时，如果钉尖朝上甲得1分，钉尖着地甲、乙均不得分；乙掷时，如果钉尖着地乙得1分，钉尖朝上甲、乙均不得分。两个人轮流掷图钉，谁先得到10分谁就获胜。,你认为这个游戏对甲、乙双方公平吗？,图钉实验频数统计表,4、能设计一个方案，符合指定的要求,例7：每个箱子里都放8个同样大小的球，请根据要求确定它们的个数。（山东版课标教材六年级上册第99页）,例8：（人教版五年级上册第101页。）,这道题的计算不难，80 30（次），但很难用试验进行验证。一则圆盘是否质地均匀，特别是中心孔的位置是否在圆心上，都会对试验产生较大的影响。并且转动指针（应为转动圆盘）80次是个小数目，出现偏差的可能性仍
12、然比较大。实际上在80次转盘实验中，指向红色区域正好是30次的可能性很小。实验的数据在25次34次的可能性也只占28%左右。,例9：（北师大版课表教材五年级上册第86页）,这个例题是通过摸球实验推测口袋里的白球和黑球分别有多少，题目的难度很大。假设口袋里只有3个白球和7个红球，即白球占总球数的3/10，那么摸20次，有6次摸到白球的可能性，可以用下面的方法计算：,0.192=19.2%,这说明摸20次，正好有6次摸到白球的可能性并不高。,每个小组在摸球时，有的小组摸到白球的个数比6个少，有的比6个多，有的正好是6个，可以求出十个小组摸到白球数的平均值，也可以把各个小组摸白球的数目，照前面“图钉
13、实验”的方法逐步累加，观察数据的变化规律，这样就比较容易得到正确的结论。其中摸到白球的频率与个数的关系可以用下表表示：,5对简单事件发生的可能性作出预测，并阐述自己的理由,例10：夏庄小学六年级两个班分别有一支小足球队，这两支球队每星期都要比赛一次。从球队成立到现在已经比赛了10次。规定赢球积3分，平局积1分，输球积0分，比赛的成绩累计情况如下表所示：,二、小学生对概率问题的认知偏差,1、生活经验左右对可能性的判断,2、可能性不能预测,3、如果只试验一次，可能性都一样,4、可能性也会变化,5、如果可能性大于 ，该结果一定会发生,学生产生这些认知偏差主要由于生活经验的局限和对概率缺乏正确认识造成
14、的。教师在教学中要引起足够的重视。,三教师自身要提高对概率观念的理解,例11：填空一个口袋中装有两个红球和一个黄球，从袋中随机地摸出两个球 （1）“摸出的两球都是红球”和“摸出的两球一个红一个黄”都是（ ）事件；事件的发生具有（ ）性 （2）在这个实验中“摸出的两球中至少有一个红球”是（ ）事件 （3）“摸出的两球都是黄球”是（ ）事件 （4）“摸出的两球都是红球”的可能性是（ ）,例12：填空用一枚硬币，连续掷4次 （1）没有正面朝上，只有反面朝上的可能性是（ ） （2）有一次正面朝上的可能性是（ ） （3）有两次正面朝上的可能性是（ ） （4）有三次正面朝上的可能性是（ ） （5）有四次正
15、面朝上的可能性是（ ）,解：用一枚硬币，连续掷4次，有下面几种情况。 反反反反正反反反，反正反反，反反正反，反反反正正正反反，正反正反，正反反正，反正正反反正反正，正正反反正正正反，正正反正，正反正正，反正正正正正正正，,例3：（2008年吉林高考题）汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现人类追求均衡对称、和谐稳定的天性如图，三个汉字可以看成是轴对称图形。,小敏和小慧利用“土”、“口”、“木”三个汉字设计一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字（如“土”“土”构成“圭”）小敏获胜，否则
16、小慧获胜。你认为这个游戏对谁有利？,解：这个游戏对小慧有利。每次游戏时，所有可能出现的结果如下： （列表）,例3：办公室有甲、乙、丙三位同事，只分到一张参观券，三人都想去。于是采用抓阄的方法，一共做了三个阄，其中有一个阄上写“是”，其他两个阄上写“否”。甲先抓，乙再抓，最后由丙抓。抓完后不再放回，并且同时打开。那么，这种抓阄的方法是否公平？,解：分别用A、B和C代表这三个阄。一共有六种不同的抓法：（甲A、乙B、丙C）（甲A、乙C、丙B）（甲B、乙A、丙C）（甲B、乙C、丙A）（甲C、乙A、丙B）（甲C、乙B、丙A）,例5：男孩、女孩概率问题（1）一家有两个孩子，一个是男孩，另外一个孩子是女孩的
17、可能性是多少？,解：这是个条件概率问题。如果生男孩或女孩的概率相等，一家生 两个孩子，有四种可能，即：（先男、后男），（先女、后女）（先男，后女），（先女，后男）其中至少有一个男孩的情况有3种，在这3种中，另一个是女孩的有2种，2366.7%,（2）在某个国家里，家家户户都想要一个男孩。如果头胎生的是男孩，就不再生了。如果头胎生的是女孩，就要再生第二个，还是女孩，还要再生第三个，直到最后一个生的是男孩为止。那么在这个国家里，男、女比例是否会失调？,解：在这个题目里，生男孩或者是生女孩都是独立事件（不包括发现怀有女孩就堕胎的现象），如果生男孩或女孩的概率相等，从概率统计学的角度讲，这个国家生男孩
18、或女孩的比率应该是11，男、女比例不会失调。,例6：“蒙蒂霍尔”问题,大多数人的想法是：既然打开的门B后面是山羊，那么，现在就是要从没有打开的门A和门C两扇门中二选一，因而A后面是轿车的概率为1/2，C后面是轿车的概率也是1/2，改变或者不改变都是一样。,然而，正确的回答是“应该改而选择C”。在这个游戏的特定条件下，门A后面藏着轿车的概率为1/3，而门C后面藏着轿车的概率是2/3 。,我们有的教师在此基础上提出了一个新的问题:如果游戏者甲选择了A，游戏者乙选择了C，这时主持人打开B门，恰好是只山羊，那么A和C是换合适，还是不换合适？,这和前面的问题是不同的，在前面的问题中主持人可以在B和C两扇门进行选择，如轿车在B门里，可以把C门变成B门，B门变成C门，如果轿车在A门或C门里，则不用变。正是这种主导权才造成C门里面有轿车的可能性是 。在这个问题里面，主持人没有这种主动性。A、B、C门有轿车的可能性都是 。换与不换都一样。,
