1、第 I 卷（选择题）一、本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分1.集合 1|(),|lg(2)2xMNyx，则 MN等于（ ）A 0, B 0 C , D ,20,2.已知函数 )(f是 R上的奇函数，当 0时为减函数，且 )(f，则 0)2(xf=（ ）A 4xx或 B 4x或C 2或 D 或3.给出下列四个命题:“若 0为 )(fy的极值点，则 0)(,xf”的逆命题为真命题; “平面向量 ba,的夹角是钝角”的充分不必要条件是 0ba若命题 1:xp，则 1:p命题“ ,使得 ”的否定是:“ 均有 ”.其中不正确的个数是A.1 B.2 C.3 D.44. 设函数 )(xf是定义
2、在 R上的奇函数，且 )(xf= ，则 )8(fg（ ）A1 B2 C1 D25.函数 2af（其中 ）的图象不可能是6.设 0，函数 1)3sin(xy的图象向左平移 32个单位后与原图象重合，则 的最小值是（ ）A B C D37.高三某班 15 名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图 1，执行图 2 所示的程序框图，若输入的)15,2(ia分别为这 15 名学生的考试成绩，则输出的结果为（ ）A6 B7 C8 D9江西省 六校 2018 届第五次联考数学（理科）试卷宜春中学 丰城中学 樟树中学 高安二中 丰城九中 新余一中8.已知数列 na为等差数列，且满足 9051a若 mx)1(展开
3、式中 2x项的系数等于数列 na的第三项，则 m的值为（ ）A6 B 8 C9 D109.一个多面体的直观图和三视图如图所示，M 是 AB 的中点.一只小蜜蜂在几何体 ADFBCE 内自由飞翔，则它飞入几何体 FAMCD 内的概率为A. 34B. 2C. 1D. 310.已知关于 x的方程 023cbxa的三个实根分别为一个椭圆，一个抛物线，一个双曲线的离心率，则 ab的取值范围（ ）A.(1,0) B.1(,)2C.2D. ,11.定义在 R上的偶函数 )(xf，其导函数为 )(xf， ，若对任意的实数 x，都有 2)(2,xff恒成立，则使 1)(22fx成立的实数 的取值范围为（ ）A.
4、 B（，1）（1，+）C（1，1） D（1，0）（0，1）12.设函数 )(f，若对于在定义域内存在实数 x满足 )(xff，则称函数 )(xf为“局部奇函数”若函数 324mxx是定义在 R上的“局部奇函数”，则实数 m的取值范围是（ ）A1 ，1+ ） B1，2 C2 ，2 D2 ，1 第 II 卷（非选择题）二、填空题，本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分13.设向量 ba,满足 3,2ba，则 ba2 14.过函数 3()fxx图像上一个动点作函数的切线，则切线的倾斜角的范围是 15.在三棱锥 PABC 中，PA ， PB， PC 两两互相垂直，且 AB=4， AC=5，则
5、BC 的取值范围是 16.对于函数 ,021,2sinxfxf，下列 5 个结论正确的是_（把你认为正确的答案全部写上） (1)任取 1， 0,都有 12fxf；(2)函数 yfx在 45上单调递增；(3) 2Nkk，对一切 0,恒成立；(4)函数 lnf有 3 个零点；(5)若关于 x的方程 (0)m有且只有两个不同的实根 1x, 2，则 123x.三、解答题，本大题共 6 小题，17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分17.（ 10 分）.已知 xf sincosi36sinco2)( ，（1）求函数 xy的单调递增区间；（2）设 ABC 的内角 A 满足 )(f，而 ACB，
6、求边 BC 的最小值18.（ 12 分）.已知命题 p：函数 xaxf23)(在 R上是增函数；命题 q：若函数axeg)(在区间0，+）没有零点（1）如果命题 为真命题，求实数 的取值范围；（2）命题“ q”为真命题， “ q”为假命题，求实数 a的取值范围19.（ 12 分）.一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为 R的函数：2)(,cos)(,sin)(,)(,)(,)( 65433221 xfxfxffxfxf（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的
7、卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数 的分布列和数学期望20（ 12 分）. 在四棱锥 PABCD 中，ADBC ， AD=AB=DC= 21BC=1，E 是 PC 的中点，面 PAC面ABCD（1）证明：ED面 PAB；（2）若 PC=2，PA= 3，求二面角 APCD 的余弦值21（ 12 分）. 已知二次函数 1)(2baxf，关于 x的不等式 1)2()2bxxf 的解集为)1,(b，其中 0（1）求 a的值；（2）令 1)(xfg，若函数 )1ln()(xkgx存在极值点，求实数 k的取值范围，并求出极值点22（ 12 分）. 如图，已知椭圆 )0(1:2bayxE的离心率为 2
8、3e，P 为椭圆 E 上的动点 ， P 到点 M（0，2）的距离的最大值为 3， 直线 l 交椭圆于 ),(),(1yxBA两点（1）求椭圆 E 的方程；（2）若以 P 为圆心的圆的半径为5，且圆 P 与 OA、 OB 相切（i）是否存在常数 ，使 02121yx恒成立？若存在，求出常数 ；若不存在，说明理由；（ii）求 OAB 的面积六校联考数学试卷答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12B A C A C D D D C C B B1.B 2.A3.C 解：“若 为 的极值点,则 ”的逆命题:“若 ,则 为 的极值点”为假命题,即不正确 “平面向量 的夹角是钝角”
9、的必要不充分条件是 ,即不正确;若命题 ,则 ;即不正确;特称命题的否定为全称命题,即正确.即不正确的个数是 3.选 C.4.A解：函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（x）= ，f（8）=f（8）=log 39=2，gf（8）=g（2）=f（2）=f（2）=log 33=1故选：A5.C6.D解：图象向左平移 个单位后与原图象重合 是一个周期 3 所以最小是 3 故选 D7.D解：由算法流程图可知，其统计的是成绩大于等于 110 的人数，所以由茎叶图知：成绩大于等于 110 的人数为 9，因此输出结果为 9故选：D8.D解：数列a n为等差数列，且满足 a1+a5=2a3=90，a
10、 3=45，（1x） m展开式中 x2项的系数等于数列a n的第三项， =45，m=10，故选 D9.C10.C解：令 f（x）=x 3+ax2+bx+c抛物线的离心率为 1，1 是方程 f（x）=x 3+ax2+bx+c=0 的一个实 根a+b+c=1c=1ab 代入 f（x）=x 3+ax2+bx+c，可得 f（x）=x 3+ax2+bx1ab=（x1） （x 2+x+1）+a（x+1）（x1）+b（x1）=（x1）设 g（x）=x 2+（a+1）x+1+a+b，则 g（x）=0 的两根满足0x 11，x 21g（0）=1+a+b0，g（1）=3+2a+b0作出可行域，如图所示 的几何意义
11、是区域内的点与原点连线的斜率，故答案为：C11.B解：当 x0 时，由 2f（x）+xf（x）20 可知：两边同乘以 x 得：2xf（x）+x 2f（x）2x0设：g（x）=x 2f（x）x 2则 g（x）=2xf（x）+x 2f（x）2x0，恒成立：g（x）在（0，+）单调递减，由 x2f（x）f（1）x 21x 2f（x）x 2f（1）1即 g（x）g（1）即 x1；当 x0 时，函数是偶函数，同理得：x1综上可知：实数 x 的取值范围为（，1）（1，+），故选：B12.B解：根据“局部奇函数”的定义可知，函数 f（x）=f（x）有解即可，即 f（x）=4 x m2 x +m23=（4 x
12、m2 x+m23），4 x+4x m（2 x+2x ）+2m 26=0，即（2 x+2x ） 2m（2 x+2x ）+2m 28=0 有解即可设 t=2x+2x ，则 t=2x+2x 2，方程等价为 t2mt+2m 28=0 在 t2 时有解，设 g（t）=t 2mt+2m 28，对称轴 x= ，若 m4，则=m 24（2m 28）0，即 7m232，此时 m 不存在；若 m4，要使 t2mt+2m 28=0 在 t2 时有解，则 ，解得1m2，综上：1m2，故选 B二、填空题13.4 14. 30,),)4 15.（3， ） 16.（1）（4）（5）13.4解：| |=2，| |=| + |
13、=3， =4， =9， +2 + =9，故 2 =4，故 +4 +4 =4+368=32，故| +2 |=4 ，故答案为：4 14. 30,),)2415.（3， ）解：如图设 PA、PB、PC 的长分别为 a、b、c，BC=mPA，PB，PC 两两互相垂直，a 2+b2=16，a 2+c2=25，b 2+c2=m2m2=412a 2，且a216，a 2252a 232，2a 250 2a 232 m2=412a 29m3 在ABC 中， 3m 故答案为（3， ）16.（1）（4）（5）由题意，得 ,021,2sinxfxf的图象如图所示， 由图象 maxmin,1 ，则任取 1x， 20,x
14、,都有 12maxin2fxfff故（1）正确；函数 y在 4,5上先增后减，故（2）错误；当 ,时， 224fxkfxkfxk1k，即 *,N，故（3）错误；在同一坐标系中作出 f和lnyx的图象，可知两函数图象有三个不同公共点，即函数 ln1fx有 3 个零点，故（4）正确；在同一坐标系中作出 f和 ym的图象，由图象可知当且仅当 12 时，关于 的方程(0)fxm有且只有两个不同的实根 1x, 2，且 1, 2x关于 3对称，即 123x；故（5）正确三、解答题17.解：（1） =3 分由 得 ，故所求单调递增区间为 5 分（2）由 得 ， ，即 ，bc=2，7 分又ABC 中， = ，
15、 10 分18.解：（1）如果命题 p 为真命题，函数 f（x）=x 3+ax2+x 在 R 上是增函数，f（x）=3x 2+2ax+10 对 x（，+）恒成立2 分 4 分（2）g（x）=e x10 对任意的 x0，+）恒成立，g（x）在区间0，+）递增命题 q 为真命题 g（0）=a+10a16 分由命题“pq”为真命题， “pq”为假命题知 p，q 一真一假，若 p 真 q 假，则 8 分若 p 假 q 真，则 10 分综上所述， 12 分19.解：（1）记事件 A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知4 分（2） 可取 1，2，3，4 ，；8 分故 的分布
16、列为10 分答： 的数学期望为 12 分20.【解答】 （）证明：取 PB 的中点 F，连接 AF，EFEF 是PBC 的中位线，EFBC，且 EF= 又 AD=BC，且 AD= ，ADEF 且 AD=EF，则四边形 ADEF 是平行四边形DEAF，又 DE面 ABP，AF面 ABP，ED面 PAB；6 分（）解：法一、取 BC 的中点 M，连接 AM，则 ADMC 且 AD=MC，四边形 ADCM 是平行四边形，AM=MC=MB，则 A 在以 BC 为直径的圆上ABAC，可得 过 D 作 DGAC 于 G，平面 PAC平面 ABCD，且平面 PAC平面 ABCD=AC，DG平面 PAC，则
17、DGPC过 G 作 GHPC 于 H，则 PC面 GHD，连接 DH，则 PCDH，GHD 是二面角 APCD 的平面角在ADC 中， ，连接 AE， 在 RtGDH 中， ， ，即二面角 APCD 的余弦值 .12 分法二、取 BC 的中点 M，连接 AM，则 ADMC，且 AD=MC四边形 ADCM 是平行四边形，AM=MC=MB，则 A 在以 BC 为直径的圆上，ABAC面 PAC平面 ABCD，且平面 PAC平面 ABCD=AC，AB面 PAC如图以 A 为原点， 方向分别为 x 轴正方向，y 轴正方向建立空间直角坐标系可得 ， 设 P（x，0，z） ， （z0） ，依题意有 ，解得
18、则 ， ，设面 PDC 的一个法向量为 ，由 ，取 x0=1，得 为面 PAC 的一个法向量，且 ，设二面角 APCD 的大小为 ，则有 ，即二面角 APCD 的余弦值 12 分21.解：（I）f（x）（2b1）x+b 21 的解集为（b，b+1） ，即 x2+（a2b+1）x+b 2+b0 的解集为（b，b+1） ，方程 x2+（a2b+1）x+b 2+b=0 的解为 x1=b，x 2=b+1，b+（b+1）=（a2b+1） ，解得 a=23 分（II）（x）得定义域为（1，+） 由（I）知 f（x）=x 22x+b+1，g（x）= =x1+ ，（x）=1 = ，4 分函数 （x）存在极值点
19、，（x）=0 有解，方程 x2（2+k）x+kb+1=0 有两个不同的实数根，且在（1，+）上至少有一根，=（2+k） 24（kb+1）=k 2+4b0解方程 x2（2+k）x+kb+1=0 得 x1= ，x 2= 6 分（1）当 b0 时，x 11，x 21，当 x（1， ）时，（x）0，当 x（ ，+）时，（x）0，（x）在（1， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递增，（x）极小值点为 8 分（2）当 b0 时，由=k 2+4b0 得 k2 ，或 k2 ，若 k2 ，则 x11，x 21，当 x1 时，（x）0，（x）在（1，+）上单调递增，不符合题意；若 k2 ，则 x11，x 21，（
20、x）在（1， ）上单调递增，在（ ， ）上单调递减，在（ ，+）单调递增， （x）的极大值点为 ，极小值点为 11 分综上，当 b0 时，k 取任意实数，函数 （x）极小值点为 ；当 b0 时，k2 ，函数 （x）极小值点为 ，极大值点为 12 分22.解：（1） ，a 2=b2+c2，可得 a=2b， 椭圆的标准方程为： +y2=b2，设 P（x，y） ， （byb） P 到点 M（0，2）的距离 d= = = ，当 0b 时，y=b 时，d 取得最大值，b+2= ，解得 b= 2 ，舍去当 b 时，y= 时，d 取得最大值， = ，解得 b=1，满足条件椭圆 E 的方程为： +y2=14
21、分（2） （i）设 P（m，n） ，则 =1P 的方程为：（xm） 2+（yn） 2= ，设经过原点 O 的P 的切线方程为：y=kx，不妨设 OA 的方程为：y=k 1x，OB 的方程为：y=k 2x则 = ，化为：（ 5m24）k 210mnk+5n 24=0，k 1+k2= ，k 1k2= ，6 分联立 ，解得 x1= ，y 1= 同理可得： ，y 2= 8 分假设存在常数 ，使 x1x2+y 1y2=0 恒成立，则 + =0，解得 =k 1k2= = = 为常数10 分（ii）由（i）可得：OAOB，|OA| 2= = =4，|OA|=2，同理可得：|OB|=2S OAB = =212 分
