1、2017 年江西省“北阳四校”高三开学摸底考试数学（文科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 ， ，则 （ ）42MxNxyMNIA B C D0,40,0,20,22设向量 ， 满足 ， ，则 （ ）arb1rabrabrA B C D3573已知 是虚数单位，若复数 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 的值可以是（ ）i 2iZ aA B1 C2 D324将 4 个不相同的小球放入编号 1、2、3 的 3 个盒子中，当某个盒子中球的个数等于该盒子的编号时称为一个“和谐盒” ，则恰有
2、有两个“和谐盒”的概率为（ ）A B C D2814881685已知 ， 为抛物线 上异于原点的两个点， 为坐标原点，直线 斜率为 2，则 重2yxOABABO心的纵坐标为（ ）A2 B C D14336某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D435273537 “ ， ， ， 成等差数列”是“ ”的（ ）abcdadbcA充分不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件8已知函数 （ ）的图象与 的图象的两相邻交点间的距离为 ，要得到cos3fx01y的图象，只需把 的图象（ ）yfinyxA向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度5125
3、12C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度9执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A5 B7 C9 D1110函数 的值域是（ ）2loglxyA B,13,C D31,U11已知底面边长为 ，各侧面均为直角三角形的正三棱锥 的四个顶点都在同一球面上，则此2PABC球的表面积为（ ）A B C D343412已知函数 ，直线 与函数 的图象相交于四个不同的点，从小到2,0lnxfymfx大，交点横坐标依次记为 ， ， ， ，下列说法错误的是（ ）abcdA B3,4m40,eC 5621e,eabcdD若关于 的方程 恰有三个不同实根，则 取值唯一xfxmm第卷（共 90 分）二
4、、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13已知数列 满足 （ ）且 ，则 na12na*N21a2014loga14函数 （ ）在 处有极值，则曲线 在原点处的切线方程是 3fxRx yfx15若 ， 满足约束条件 则当 取最小值时， 的值为 xy30,xy13yxxy16如图，已知点 在以 ， 为焦点的双曲线 （ ， ）上，过 作 轴的垂线，P1F221yab0abPy垂足为 ，若四边形 为菱形，则该双曲线的离心率为 Q12Q三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17在 中， ， ， .ABC4cos5BC（1）求 的
5、长；（2）求 的值.cos618如图，将菱形 沿对角线 折叠，分别过 ， 作 所在平面的垂线 ， ，垂足分AECFEFACEDFB别为 ， ，四边形 为菱形，且 .DBD60BA（1）求证： 平面 ；（2）若 ，求该几何体的体积.219随着国民生活水平的提高，利用长假旅游的人越来越多.某公司统计了 2012 到 2016 年五年间本公司职员每年春节期间外出旅游的家庭数，具体统计数据如下表所示：（）从这 5 年中随机抽取两年，求外出旅游的家庭数至少有 1 年多于 20 个的概率；（）利用所给数据，求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程 ，判断它们ybxa之间是正相关还是负相关；并根
6、据所求出的直线方程估计该公司 2019 年春节期间外出旅游的家庭数.参考公式： ，12niiiiixybaybx20如图，在 中， 是其垂心， 的延长线与边 和 的外接圆 分别交于点 、 ，ABCEABCAODF且 .2ED（1）求 的大小；（2）证明： .F21已知函数 （ ）在 处取得极值.324fxabx0a1x（1）求 、 满足的关系式；b（2）解关于 的不等式 .16f请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22如图，已知 是圆 的切线， 为切点， 是圆 的割线，与圆 交于 ， 两点，圆心 在APOPACOBCO的内部，点 是 的中点.CMBC（
7、1）证明 ， ， ， 四点共圆；APOM（2）求 的大小 .23在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点为极点，以 轴正半xy1C21xty x轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .2 23sin（1）求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；1C2C（2）设点 ，曲线 与曲线 交于 ， ，求 的值.2,M1ABM24设函数 （ ）.fxxaR（）当 时，求不等式 的解集；1a0f（）若方程 只有一个实数根，求实数 的取值范围.fxa参考答案一、选择题1-5:DBADC 6-10:AAACD 11、12：AD二、填空题132012 14 151 1630xy312
8、三、解答题17解：（1）因为 ， ，4cos5B0所以 .2sin231由正弦定理知 ，isinACB所以 .2653i（2）在 中， ，所以 ，ABCABC于是 ，coscos4cossin4又 ， ，故 .45B3in232510A因为 ，所以 .因此，0A27si1cos10.coscoin66A 32176018解：（1）由题意知 ， 平面 ， 平面 ，FBDE EDAE 平面 ，又 ， 平面 ， 平面 ，FB AC A 平面 .C ， ， 平面 ，I 平面 平面 ，又 平面 ， DEFBC 平面 .F A（2）连接 ， ，且 ，BDACOI四边形 为菱形，ABCD ，又 平面 ，EA
9、BCD ，又 ，I 平面 ，又 ， ，ABFOCBDEFABEFV ， ， ，260A12S四 边 形 3OC ，1233CBDEFV该几何体的体积为 .419解：（）从这 5 年中任意抽取两年，所有的事件有：， ， ， ， ， ，201,3201,4201,5201,62013,42013,5， ， ， 共 10 种，66至少有 1 年多于 20 人的事件有：， ， ， ， ， ，20,520,16203,15203,16204,15204,16共 7 种，6则至少有 1 年多于 20 人的概率为 .710P（）由已知数据得 ， ，24x6y；1niiixy62105；2211nii2210
10、所以 ，125 .210niiiiixyb65.201456.8a所以是正相关，回归直线的方程为 .1.8yx则第 2019 年的估计值为 5.209456220解：（1）在 中， 是其垂心，有 ，ABCEADBC又 ，所以 ，故 .90ADBHE30ABCEH30ABC（2）由（1）知 ，则 ，即 ，连接 ，则D DEF，所以 ，可知 ，从而有 .CFFFADC21解：（1） ，又由题意得 ，23fxaxb1320fab即 、 满足的关系式是 .ab0（2）由 得 ，16f320a即 ， ，30xax当 时，不等式的解集为 ，0a,当 时，不等式的解集为 .1,a22解：（1）证明：连结 ，
11、 .OPM因为 与 相切于点 ，所以 .APeA因为 是 的弦 的中点，所以 .MBCBC于是 .180由圆心 在 的内部，OPA可知四边形 的对角互补，所以 ， ， ， 四点共圆.（2）由（1）得 ， ， ， 四点共圆，所以 .APOMOAMP由（1）得 .由圆心 在 的内部，可知 .C90P所以 .9023解：（1）曲线 ： ；曲线 ： ；1yx2C214xy（2）将 （ 为参数）代入 的直角坐标方程，21xty2C得 ，所以 ；2580tt1285t所以 .12MAB24解：（）依题意：原不等式等价于： ，10x当 时， ，即： ，此时解集为 ；x0x当 时， ，即： ，此时 ；112x1x当 时， ，即： ，此时 .xx3综上所述：所求的解集为： .12（）依题意：方程 等价于 ，fx1axx令 1gx （图象如图）.2,1x要令原方程只有一个实数根，只需 或 .1a实数 的取值范围是 .a,U
