1、2018 届江苏省南京市程桥高级中学高三上学期第一次月考 数学时间：120 分钟 分值：160 分 命题人：李素文一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上 ）1已知集合 1,69A， 1,2B，则 AB 2复数 (i2)abi（ ,是实数， i是虚数单位） ，则 ab的值为 3函数 log3yx的定义域为 4为了解某地区的中小学生视力情况，从该地区的中小学生中用分层抽样的方法抽取 0位学生进行调查，该地区小学，初中，高中三个学段学生人数分别为 12， 0， 8，则从初中抽取的学生人数为 5已知一个算法的流程图如右图，则输出的结果 S
2、的值是 6将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数则点数相同的概率是 7如图，在正三棱柱 1CBA中， D为棱 1A的中点若 14A， 2B，则四棱锥 的体积为 8. 设 Sn为等差数列a n的前 n 项和，已知 S5 = 5，S 9 = 27，则S7 = 9. 设 为锐角，若 3cos65，则 sin12 .10. 已知两个单位向量 a， b的夹角为 60， c= ta（1 t） b若 c= 0，则实数 t 的值为 第 5 题开始是 输出 S否n1 ，S0n3S2S+1nn+1结束11. 已知2(0),()xf，则不等式 2(1)fx的解集是 12. 在直角坐标系 xOy 中，已知 A（1，0
3、） ，B（0，1） ，则满足 24PAB且在圆24xy上的点 P 的个数为 13. 已知正实数 x，y 满足 24xy，则 x y 的最小值为 14. 若210m（m 0）对一切 x4 恒成立，则实数 m 的取值范围是 二、解答题：本大题共六小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分 14 分）在ABC 中，设角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，且 1cos2aCb（1）求角 A 的大小；（2）若 15a， 4b，求边 c 的大小16.（本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 是矩形，平面
4、PCD平面 ABCD，M 为 PC中点求证：（1）PA 平面 MDB；（2）PD BCOA BCDM N17.（本题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy中，椭圆2:1(0)xyCab的右准线方程为 4x，右顶点为 A，上顶点为 B，右焦点为 F，斜率为 的直线 l经过点 A，且点 F到直线 l的距离为 25.（1）求椭圆 C的标准方程；（2）将直线 l绕点 A旋转，它与椭圆 相交于另一点 P，当 ,B三点共线时，试确定直线l的斜率.18.（本题满分 16 分）如图，有一块扇形草地 OMN，已知半径为 R， 2MON，现要在其中圈出一块矩形场地ABCD 作为儿童乐园使用，其中点 A、 B 在
5、弧 MN 上，且线段 AB 平行于线段 MN.（1）若点 A 为弧 MN 的一个三等分点，求矩形 ABCD 的面积 S；（2）设 OB，求 A 在 N上何处时，矩形 ABCD 的面积 S 最大？最大值为多少？19 （本小题满分 16 分）设 t0，已知函数 f (x)x 2(xt)的图象与 x 轴交于 A、B 两点（1）求函数 f (x)的单调区间；（2）设函数 yf(x )在点 P(x0，y 0)处的切线的斜率为 k，当 x0(0，1时，k 恒成立，求 t 的最大值；12（3）有一条平行于 x 轴的直线 l 恰好与函数 yf( x)的图象有两个不同的交点 C，D，若四边形 ABCD 为菱形，
6、求 t 的值20 （本小题满分 16 分）已知数列 an的首项 a1 a，S n 是数列a n的前 n 项和，且满足：22*3,0,2.nSN，（1）若数列a n是等差数列，求 a 的值；（2）确定 a 的取值集合 M，使 a M 时，数列a n是递增数列 程桥高级中学 2018 届高三数学试卷参考答案1.12.23. （ 3,+） 4.1005.76. 167. 238.149. 21010.211.（-1 ，2） 12.213. 6-14. -（ ， ）17.解：（1）由题意知，直线 l的方程为 2()yxa，即 20xya， 右焦点 F到直线 l的距离为 5c， 1c， 2 分又椭圆 C
7、的右准线为 4x，即2ac，所以24ac，将此代入上式解得 2,1ac， 23b，椭圆 的方程为213y； 6 分（2）由（1）知 (0,)B， (,0)F，8 分直线 F的方程为 x， 10 分联立方程组 2(1)43yx，解得853y或03xy（舍） ，即 83(,)5P， 12 分直线 l的斜率0()582k. 14 分方法二: 由（ 1）知 (,3)B， (1,0)F， 直线 BF的方程为 3(1)yx，由题 (2,0)A，显然直线l的斜率存在，设直线 l的方程为 (2)ykx，联立方程组 (2)k，解得3ky，代入椭圆解得： 32k或 3，又由题意知， 30y得 或 3，所以 32k
8、.方法三：由题 (,0)A，显然直线 l的斜率存在，设直线 l的方程为 (2)ykx，联立方程组2143yx，得 22243161kxk， 21643APx，所以 226843Pxkk, 243Pyk，当 ,BF三点共线时有， BPFk，即21431k，解得 或 ，又由题意知， 30y得 k或 3，所以 2.18.解：（1）如图，作 OHAB于点 H，交线段 CD 于点 E，连接 OA、OB，6AB， 2 分2sin,cos12R，1iOEDcosin12EOR4 分2 22sncosinisi121SABH 2 231sinco6RR6 分（2）设0AOB7 分则2sin,cos2H，1si
9、n2OEABRiEHR9 分222sincosnsincosin2SAB 2sico1i14R12 分0,，3,42即 4时，2max1S，此时 A 在弧 MN 的四等分点处15 分答：当 A 在弧 MN 的四等分点处时， 2max1SR16 分19 （本小题满分 16 分）解：（1）f (x)3x 22txx (3x2t)0 ，因为 t0，所以当 x 或 x0 时，f (x)0，2t3所以(，0) 和( ，)为函数 f (x)的单调增区间；2t3当 0x 时，f (x)0，所以 (0， )为函数 f (x)的单调减区间4 分2t3 2t3（2 ）因为 k3x 022 tx0 恒成立，所以 2
10、t3x 0 恒成立，6 分12 12x0因为 x0（0，1，所以 3x0 2 ，12x0 6即 3x0 ，当且仅当 x0 时取等号12x0 6所以 2t ，即 t 的最大值为 8 分6（3 ）由（1 ）可得，函数 f (x)在 x0 处取得极大值 0，在 x 处取得极小值 2t3 4t327因为平行于 x 轴的直线 l 恰好与函数 yf (x)的图象有两个不同的交点，所以直线 l 的方程为 y 10 分4t327令 f (x) ，所以 x2(xt) ，解得 x 或 x 4t327 4t327 2t3 t3所以 C（ ， ） ，D （ ， ） 12 分2t3 4t327 t3 4t327因为 A
11、（0，0 ） ，B（t，0） 易知四边形 ABCD 为平行四边形AD ，且 ADABt，所以 t，解得：t 16 分20 （本小题满分 16 分）解：（1）在 S 3n 2anS 中分别令 n2，n3 ，及 a1a 得2 n 2 n 1(aa 2)212 a2a 2，(aa 2a 3)227a 3( aa 2)2，因为 an0，所以 a212 2a，a 332a 2 分因为数列 an是等差数列，所以 a1a 32 a2，即 2(122 a)a3 2a，解得 a34 分经检验 a3 时，a n3n，S n ，S n1 满足 S 3n 2anS 3n(n 1)2 3n(n 1)2 2n 2 n 1
12、（2 ）由 S 3 n2anS ，得 S S 3 n2an，即( SnS n1 )(SnS n1 )3n 2an，2 n 2 n 1 2 n 2 n 1即(S nS n1 )an3n 2an，因为 an0，所以 SnS n1 3n 2，( n2)，6 分所以 Sn1 S n 3(n1) 2，得 an1 a n6n3，( n2)8 分所以 an2 a n1 6n9，得 an2 a n6，( n2)即数列 a2，a 4，a 6，及数列 a3，a 5，a 7，都是公差为 6 的等差数列，10 分因为 a2122a ，a 332a所以 an 12 分a， n 1，3n 2a 6， n为 奇 数 且 n 3，3n 2a 6， n为 偶 数 ， )要使数列 an是递增数列，须有a1 a2，且当 n 为大于或等于 3 的奇数时，a na n1 ，且当 n 为偶数时，a na n1 ，即 a122 a，3n2 a63(n1) 2a6( n 为大于或等于 3 的奇数)，3n2 a63(n1) 2a6( n 为偶数)，解得 a 94 154所以 M( ， )，当 a M 时，数列 an是递增数列16 分 94 154
