1、2017 届重庆市高三上学期第一次诊断模拟（期末）数学（理）试题一、选择题1已知 （ 是实数） ，其中 是虚数单位，则 （ ）A. -2 B. -1 C. 1 D. 3【答案】A【解析】解析：由题设可得 ，则 ，故 ，应选答案 A。2已知某品种的幼苗每株成活率为 ，则栽种 3 株这种幼苗恰好成活 2 株的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】解析：由题设可知 ，则所求事件的概率为 ，应选答案 D。3已知集合 则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】解析：由题设可知 ，则 ，应选答案 B。4命题 甲的数学成绩不低于 100 分，命题 乙的数学成绩低于 100 分，则
2、表示 （ ）A. 甲、乙两人数学成绩都低于 100 分 B. 甲、乙两人至少有一人数学成绩低于 100分C. 甲、乙两人数学成绩都不低于 100 分 D. 甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100 分【答案】D【解析】解析：由题设可知 ：表示乙的数学成绩不低于 100 分，则 表示甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于 100 分，应选答案 D。5在平面直角坐标系 中，不等式组 表示的平面区域的面积为 （ ）A. 4 B. 8 C. 12 D. 16【答案】B【解析】解析：画出不等式组表示的区域如图，结合图形可知不等式组表示的区域是两个斜边长为 的全等等腰直角三角形，则其面积 ，应选答案 B。6我
3、国古代数学算经十书之一的九章算术有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）A. 104 人 B. 108 人 C. 112 人 D. 120 人【答案】B【解析】解析：由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为，则 ，应选答案 B。7执行如图所示的程序框图，若分别输入 1，2，3，则输出的值的集合为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】解析：当 时， ，则输出 ；当 时，则输出 ；当 时，则输出 ，故输出的数值构成的集合 ，应选答案 A。8设曲线 上的点到直线 的距离的最大值为 ，最小值为 ，则 的
4、值为 （ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】解析：由题设可知这是一个半圆 上点到直线 的距离的最大值和最小值问题，因圆心 到直线 的距离 ，则 ，故，应选答案 B。9函数 的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】解析：因 是奇函数，且当 时，都有 ，函数单调递增，故应选答案 B。10已知 的外接圆半径为 2， 为该圆上的一点，且 ，则 的面积的最大值为 （ ）A. 3 B. 4 C. D. 【答案】B【解析】解析：由题设 可知四边形 是平行四边形，由圆内接四边形的性质可知 ，且当 时，四边形 的面积最大，则 的面积的最大值为 ，应选答案 B。11设定义在 上的函
5、数 的导函数 ，且满足 ，若，则（ ）A. B. C. D. 与 的大小不能确定【答案】C【解析】解析：由题设可知函数 的图像关于直线 成轴对称，且当 是增函数，当 时是减函数，因为 ，且 ，所以 ，应选答案 C。12设 且 ，1.5 3 5 6 7 8 9 14 27若上表中的对数值恰有两个是错误的，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】解析：由题设可知都是正确的，所以，即 ，应选答案 B。二、填空题13二项式 的展开式中常数项为_ （用数字做答）【答案】【解析】解析：因为 的通项公式为 ，由题设可得 ，故常数项为 ，应填答案 。14已知 ，则 _【答案】【解析】 ，则
6、，故答案为 .15已知数列 的前 项和为 ，且满足： ，若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】解析：因 ，则 ，将以上两式两边相减可得 ，则由等比数列的定义可得公比 ，所以 ，则不等式 可化为 ，而 ，则 ，应填答案 。16已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， 为双曲线 上一点，为双曲线 渐近线上一点， 均位于第一象限，且 ，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】解析：设 ，则 ， ，由题设可得 ，解之得 ，所以 ，由 可得 代入双曲线方程可得 ，即 ，应填答案 。三、解答题17已知向量 ， ，函数 （1 ）求 的单调递增区间；（2 ）若 且 ，求 【答案】(1) ;(2) .【
7、解析】 （1），故 的增区间为 ；（2 ） ，又 且 ， ， 18心理学家分析发现“喜欢空间想象”与“性别”有关，某数学兴趣小组为了验证此结论，从全体组员中按分层抽样的方法抽取 50 名同学（男生 30 人、女生 20 人） ，给每位同学立体几何题、代数题各一道，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况统计如下表：（单位：人）立体几何题 代数题 总计男同学 22 8 30女同学 8 12 20总计 30 20 50（1）能否有 97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关？（2）经统计得，选择做立体几何题的学生正答率为 ，且答对的学生中男生人数是女生人数的 5 倍，现从选择做几何题
8、的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行研究，记抽取的两人中答对的人数为 ，求 的分布列及数学期望附表及公式：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】 （1）有 97.5%以上的把握认为 “喜欢空间想象”与“ 性别”有关；（2）分布列见解析，期望为 .【解析】试题分析：(1)根据公式 求出 ，从而得到有 的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（2）由题意得 的所有可能取值为，利用古典概型概率公式分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 .试题解析：（1） ，故
9、有 97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象 ”与“性别”有关；（2 ）由题知选做立体几何题且答对的共 24 人，其中男生 20 人、女生 4 人，故 的所有取值分别为 0，1，2，分布列为0 1 2【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式以及独立性检验，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成 列联表；（2）根据公式计算 的值；(3) 查表比较 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）19已知数列 满足： ，若 （1 ）求证：数列 是等比数列；（2 ）若数列 的前 项和为 ，求 【答案】 （1）见解析；
10、（2） .【解析】 （1） ，故 为等比数列；（2 ）由（1 ）知 ， ，又 ， ， 20过椭圆 的右焦点 作 轴的垂线，与椭圆 在第一象限内交于点 ，过 作直线 的垂线，垂足为 ， （1 ）求椭圆 的方程；（2 ）设 为圆 上任意一点，过点 作椭圆 的两条切线 ，设 分别交圆 于点 ，证明： 为圆 的直径【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】 （1）由题知 ， ，椭圆 的方程为 ； （2 ）设 ，当切线 的斜率均存在时，分别设为 ，设过点 的切线方程为 ，与 的方程联立得 ，则 ，即 ，整理得 ， ，即 ，当 或 的斜率不存在时，必是 或 ，又 ， ，此时一条切线与 轴垂直，一条切线与
11、轴平行，仍有 即 ，综上，对任意点 为圆 的直径21已知函数 有两个不同的零点 （1 ）求 的最值；（2 ）证明：【答案】 （1） ，无最小值；（2）见解析.【解析】 （1） ， 有两个不同的零点， 在 内必不单调，故 ，此时 ， 在 上单增， 上单减， ，无最小值；（2 ）由题知 ，两式相减得 ，即 ，故要证 ，即证 ，即证 ，不妨设 ，令 ，则只需证 ，设 ，则 ，设 ，则 ， 在 上单减， ， 在 上单增， ，即 在 时恒成立，原不等式得证22选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 （ 为参数） ，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （1 ）写出曲线 的直角坐标方程；（2 ）已知点 ，直线 与曲线 相交于点 ，求 的值【答案】 （1） ；（2） .【解析】 （1）；（2 ）将直线 的参数方程化为标准形式： （ 为参数） ，代入曲线 的方程得 ，则23选修 4-5：不等式选讲已知函数 （1 ）若 ，解不等式 ；（2 ）若 的最小值为 3，求 的最小值【答案】 （1） ；（2） .【解析】 （1） ，左式可看作数轴上；点 到-2 和 1 两点的距离之和，当 或 2 时，距离之和恰为 5，故 ；解集为 .（2 ） ， ，由柯西不等式得 ， ，当且仅当 时等号成立， 的最小值为 3
