1、2017 年福建省普通高中毕业班单科质量检查理科数学第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ，则（ ）2|30,|3MxNxA B C DNMRMN2. 已知 是 的共轭复数，且 ，则 的虚部是（ ）z 4zizA B C 4 D-476763. 函数 的图象大致为（ ）2lnyxA BC D 4. 若 满足约束条件 ，则 的最小值为 （ ）,xy20xy2zxyA-4 B2 C. D4835. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）,0,1sin1sin3A充分不必要条件 B必要不充分条件 C. 充分必要
2、条件 D既不充分也不必要条件6. 已知直线 过点 且与 相切于点 ，以坐标轴为对称轴的双曲线 过点l1,A2:0BxyADE，一条渐近线平行于 ，则 的方程为（ ）DlEA B C. D2314yx2513yx231xy231yx7. 5 名学生进行知识竞赛.笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们 5 人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的” ；对乙说：“你不是最后一名”.根据以上信息，这 5 人的笔试名次的所有可能的种数是（ ）A54 B72 C. 78 D968.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 （ ）A
3、B C. D7249259. 中国古代算书孙子算经中有一著名的问题“物不知数” ，原题为：今有物，不知其数.三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？后来，南宋数学家里秦九韶在其著作数书九章中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为“大衍求一术”.下图程序框图的算法思路源于“大衍求一术” ，执行该程序框图，若输入的 分别 20，17，则输出的 （ ）,abcA 1 B 6 C. 7 D1110. 已知抛物线的焦点 到准线 的距离为 ，点 与 在 的两侧， 且 ， 是抛物线FlpAFlAFl2pB上的一点， 垂直 于点 且 ， 分别交 ， 于点 ，则 与 的外接圆Cl2BCC,DEDF
4、半径之比为（ ）A B C. D21232311. 已知函数 ，若 ，则 的最小值是sin0,fxAx203ff（ ）A 2 B C. 1 D321212. 已知数列 满足 ，则下列结论正确的是（ ）,nab11,nnnaababA只有有限个正整数 使得 B只有有限个正整数 使得 nb 2nabC.数列 是递增数列 D数列 是递减数列2nab 2nb第卷（共 90 分）二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上13.设向量 ，且 的夹角为 ，则实数 1,3,abm,ab3m14.用一根长为 12 的钢筋焊接一个正三棱柱形状的广告牌支架，则该三棱柱的侧面积
5、的最大值是 15.已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，则曲线Rfx12fxf1x2xfe在 处的切线方程是 yfx016.在三棱锥 中， 是边长为 3 的等边三角形， ，二面角 的SABC3,SABSABC大小为 120，则此三棱锥的外接球的表面积为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列 的前 项和 . 是公差不为 0 的等差数列，其前三项和为 3，且 是na21nSanb b的等比中项.25,b（1）求 ；,n（2）若 ，求实数 的取值范围.122nabat t18.如图，有一码头 和三个岛屿 ， ，P,ABC30,90mi,30PnilePBnle
6、Anile， .0PCB09（1）求 两个岛屿间的距离；,（2）某游船拟载游客从码头 前往这三个岛屿游玩，然后返回码头 .问该游船应按何路线航行，才能使PP得总航程最短？求出最短航程.19.如图，三棱柱 中， ， ， 分别为棱1ABC01116,4BACAC2AB,PQ的中点.1,A（1）在平面 内过点 作 平面 交 于点 ，并写出作图步骤，但不要求证明./M1PQM（2）若侧面 侧面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.1CA1BAC1B20. 已知 ， 内切 于点 是两圆公切线22212:1,:0CxyCxyrAA1CA2,AP上异于 的一点，直线 切 于点 ， 切 于点 ，且 均不与 重合
7、，直线l PQPR2A,QR相交于点 .12,QRM（1）求 的轨迹 的方程；C（2）若直线 与 轴不垂直，它与 的另一个交点为 ， 是点 关于 轴的对称点，求证：直线1xCNMx过定点.N21.已知函数 .ln,faR（1）若 不存在极值点，求 的取值范围；x（2）若 ，证明： .0asin1xfe请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线 ，曲线 .以极点为坐标原点，极轴为 轴正半轴1:2cosC2:sin4cosCx建立直角坐标系 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.xOy13
8、2xty（1）求 的直角坐标方程；12,C（2） 与 交于不同四点，这四点在 上的排列顺次为 ，求 的值.C,PQRSRS23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 .21fxax（1）当 时，解不等式 ；f（2）求证： .12fxa试卷答案一、选择题1-5: CCABA 6-10: DCDCB 11、12：BD二、填空题13. -1 14.6 15. 16. yx21三、解答题17.解：（1）因为 ，1n所以当 时， ，解得 ，1n12aS1a当 时， ，2n -，得 ，即 ，所以 ，1n1n12n由数列 的前三项和为 3，得 ，所以 ，b2b2设数列 的公差为 ，则 ，nd5,3d又因为 ，所
9、以 ，23521解得 或 （舍去） ，所以 ；1d01nb（2）由（1） ，可知， ，从而 ，12,na12nnab令 ，12nTab即 ， 21nn 2，得 ，23 2nn -，得 1nnT，2122nnn即 ，nnTA故题设不等式可化为 ， （*）2nt 当 时，不等式（ *）可化为 ，解得 ；1 2t 当 时，不等式（*）可化为 ，此时 ；2n0R 当 时，不等式（*）可化为 ，因为数列 是递增数列，所以 ，32ntn8t综上， 的取值范围是 .t,818.解：（1）在 中， ，PBC090,3,12PCB由正弦定理得， ，即 ，sinsiB093sinsiP解得 ，1si2又因为在 中
10、， ，所以 ，PBC006P03C所以 ，从而 ，03BPC30BPC即 两个岛屿间的距离为 ；, nmile（2）因为 ，所以 ，009,A 00936BACPB在 中， ，由余弦定理得，PB3B，2 021cos69390372PA根据“两点之间线段最短”可知，最短航线是“ ”或“ ”，BCPCBAP其航程为 .307306307SPA所以应按航线“ ”或“ ”航行，其航程为 .306nmile19.解：（1）如图，在平面 内，过点 作 交 于点 ，连结 ，在 中，1ABA1/NBP1NBQ1作 交 于点 ，连结 并延长交 于点 ，则 为所求作直线./NHBQHCMA（2 ）连结 ， ，
11、为正三角形.1,PCA01114,6CA1AC 为 的中点， ，又侧面 侧面 ，且面 面 ，11B111B平面 ， 平面 ，1PCAPCA在平面 内过点 作 交 于点 ，1B1RR分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则,Rxyz Pxyz， .10,20,04,23PAC10,23 为 的中点，点 的坐标为 ，QACQ0,3 .10,23,P ， ， ，016B1,B13,0PB设平面 的法向量为 ，1Q,mxyz由 得 ，10PBA30令 ，得 ，所以平面 的一个法向量为 .x,yz1PQB1,3m设直线 与平面 所成角为 ，1C1QBa则 ，1139s
12、inco,ACm即直线 与平面 所成角的正弦值为 .1AC1PB1320.解：（1）因为 内切于 于 ，所以 ，解得 ，1CA2A12r3r所以 的方程为： ，29xy因为直线 分别切 于 ，,PQR12,C,QR所以 ，12C连结 ， 在 与 中，MttPM，,PQAR所以 ，所以 ，1211212124CQCRQCRC所以点 的轨迹 是以 为焦点，长轴长为 4 的椭圆（除去长轴端点） ，M2,所以 的轨迹 的方程为 .1043xy（2）依题意，设直线 的方程为 ， ，Nt12,MxyN则 且 ，1Mxy121,0xy联立方程组 ，243t消去 ，并整理得 ，x2690tyt，2 269414t，1212,33yytt
