1、厦门市 2017 届高中毕业班第一次质量检查数学（理科）试题 2017.03本 试 卷 分 第 卷 （ 选 择 题 ） 和 第 卷 （ 非 选 择 题 ） 两 部 分 满 分 150分 ,考 试 时 间 120分 钟 第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 ， ，则 等于2560Ax1Bx0ABA. B. C. D. 16， (1， +)， 23，2.已知复数 （其中 为虚数单位） ，若 为纯虚数，则实数 等于iazizaA. B. C. D. 10123. 的内角 ， ， 的对边分别为 ，
2、 ， ，若 ，则 等于ABCCabc453Aab， ， BA. B. C. 或 D. 或 30630 6014. 若实数 满足条件 ，则 的最小值为xy， 12xy1yzxA. B. C. D. 13 3415.已知平面 平面 ， ，直线 ，直线 ，且 ，有以下四个结论：=lmnmn 若 ，则 若 ，则 /nlm/l 和 同时成立 和 中至少有一个成立其中正确的是A B C D 6已知 ，点 为斜边 的中点， ， ， ，则RtCD63AB612AE等于EBA. B. C. D.149947.抛物线 的焦点为 ，点 ， 为抛物线上一点，且 不在直线 上，则 周2yxF(3,2)PPFPA长的最小
3、值为A. B. C. D.454+25+8.某校高三年级有男生 220 人，学籍编号 1，2 ，220；女生 380 人，学籍编号221，222，600.为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这 600 名学生中抽取 10 人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为 10） ，然后再从这 10 位学生中随机抽取 3 人座谈，则 3 人中既有男生又有女生的概率是A B. C. D.1510710459.二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二，无限逼近”.执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出 的值为12.xd， ， n12()0?xdfm或结 束11()
4、0?fx212m2()fdx输 入 精 确 度 和 ， 的 值n，是 否是否 1nn输 出开 始A.2 B.3 C.4 D. 510.已知定义在 上连续可导的函数 满足 ，且 ，则(0,)()fx()ffx(1)fA. 是增函数 B. 是减函数 C. 有最大值 1 D. 有最小值 1)fx()fx11.已知双曲线 ，过 轴上点 的直线 与双曲线的右支交于 两点（21,0yabxPl NM，在第一象限） ，直线 交双曲线左支于点 （ 为坐标原点） ，连接 .若 ，MMOQOQ60PO，则该双曲线的离心率为30NQA. B. C. D. 232412已知 ， 为动直线 与 和 在区间 上的左，右两
5、P(0)ymsinyxcosx0,2个交点， ， 在 轴上的投影分别为 ， .当矩形 面积取得最大值时，点 的横坐标为PQxSRPQSP，则0xA B. C. D. 808x086x06x第卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 的展开式中， 的系数为_51(2+)xx14化简： _003cos8in15某三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的表面积为_16若实数 a，b，c 满足 ，则22(1)(ln)0abac的最小值是_三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （本小题满分 12 分）已知数列
6、 ，满足 ， ， .na1132nna*N（）求证：数列 为等差数列；n（）设 ，求 .21234521211n nnTaaa 2nT18 （本小题满分 12 分）为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动， “从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车”铿锵有力的话语，传递了低碳生活、绿色出行的理念。某机构随机调查了本市 500 名成年市民某月的骑车次数，统计如下：人数 次数年龄 0,10) 10,20) 20,30) 30,40) 40,50) 50,6018
7、岁至 30 岁 6 14 20 32 40 4831 岁至 44 岁 4 6 20 28 40 4245 岁至 59 岁 22 18 33 37 19 1160 岁及以上 15 13 10 12 5 5联合国世界卫生组织于 2013 年确定新的年龄分段：44 岁及以下为青年人，45 岁至 59 岁为中年人，60 岁及以上为老年人记本市一个年满 18 岁的青年人月骑车的平均次数为 .以样本估计总体.（）估计 的值；（）在本市老年人或中年人中随机访问 3 位，其中月骑车次数超过 的人数记为 ，求 的分布列与数学期望.19 （本小题满分 12 分）在如图所示的六面体中，面 ABCD是边长为 2的正方
8、形，面 ABEF是直角梯形， 90FAB，/AFBE， .24F（）求证： /平面 E；（）若二面角 为 60，求直线 和平面 D所成角的正弦值.20.（本小题满分 12 分）已知函数 .()ln1()fxkR（）讨论函数 的零点个数；（）当 时，求证： 恒成立.1k12()xfxe21 （本小题满分 12 分）已知椭圆 ，动圆 ： （圆心 为椭圆 上223:1()4xyCbb P22004()()3xy PC异于左右顶点的任意一点） ，过原点 作两条射线与圆 相切，分别交椭圆于 ， 两点，且切OMN线长的最小值为 .63（）求椭圆 的方程；（）求证： 的面积为定值.MN22.（本小题满分 1
9、0 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 ： （ 为参数） 以 为极点， 轴的正半轴xOy1C27cosinxy， Ox为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，直线 的极坐标方程2 8l为 )(3R（）求曲线 的极坐标方程与直线 的直角坐标方程；1Cl（）若直线 与 ， 在第一象限分别交于 ， 两点， 为 上的动点，l2ABP2C求 面积的最大值PAB23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 ，若 的解集是 .()1(1)fxxm ()4fx04x或（）求 的值；（）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围.)(2af a厦门市 2017 届高中
10、毕业班第一次质量检查数学（理科）试题答案一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1-6 BCDBBD 7-12 CDCDAA12.解析：由题意知， 与 关于直线 对称，设 ，PQ4x(,sin)Px 则，(,sin)2Qx，i(0)Sx，()sn2cosx()4cos(2)sinSxx ， ， 在区间 上单调递减，且 ，04()S 0, (02S， 在区间 存在唯一零点，即为 .()Sx(,)0令 得： ，即 .0x002sin2cosx0tan4x由不等式 得： ，解得： ，故选 A.0ta()x048命题意图：考查三角函数的图象与性
11、质、导数、零点、不等式等，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13. 14. 15. 16. 4032115.解析：由三视图可得三棱锥 的直观图如图所示，取 的中点 ，连接 ，ABCDBCEA设 为 的外心， 为三棱锥的外接球的半径，则 在线段 上，OABCROA因为 ，即 ，解得： ，22DE222(6)(263R所以， 3.S16.解析：（法一）由 得：22(1)(ln)0abac21,ln.abc在坐标系中考察函数 与 的图象，()fx()lgx所以， 的最小值等价于直线 与函数 ，bcya()21fx()lng
12、x交点横坐标之间距离的最小值.设直线 与 相切于2:lmg点，则 ，解得： ，0(,)Bxy0()2gx01x所以， ，故 .,1Aminbc（法二）由 得：22(1)(ln)0abac，则2,lncl，令 ，则 ，1ln122cbln1()2cf1()2fc当 时， ；当 时， ；当 时， ；()0fc()0f()0f所以， 在 单调递增，在 单调递减，故 ，(,11,1cf()1fc所以， minin).bcf三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17本题以递推数列为背景考查等差数列的判定以及利用基本量的求和运算， （）重点考查利用数列递推形式
13、构造等差或等比数列以及等差数列的判定方法；（）主要考查数列求和应首先探寻通项公式，通过分析通项公式的特征发现求和的方法. 满分 12 分（）证明：法一：由132nna，得 12312=nnna3 分1=3na数列 n是首项为 1，公差为23的等差数列 5 分法二：由132nna得1=nann3 分2()3nn4 分数列1na是首项为 ，公差为23的等差数列 5 分（）解：设 2121212=()nnnnbaa7 分由（）得，数列 n为公差为 3的等差数列214=3na即 21221()nnnba8 分12446()339nn，且12120()ban是首项 109，公差为69的等差数列 10 分
14、2122(1)nnTb4(3)912 分18.本小题主要考查对频数分布表的理解与应用，古典概型、随机变量的数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想满分 12分解：（）由已知可得下表人数 次数年龄 0,10) 10,20) 20,30) 30,40) 40,50) 50,60 合计青年人 10 20 40 60 80 90 300中年人 22 18 33 37 19 11 140老年人 15 13 10 12 5 5 60本市一个青年人月骑车的平均次数： 1024068091205534543 33.5 分（）本市老年人或中年人中月骑车时间
15、超过 40 次的概率为+1406.7 分0,123，1()5B,，故331,2,5kkPkC =.9 分所以 的分布列如下：0 1 2 3P64125851512511 分130.5E.12 分19本题考查立体几何中的线面关系，空间角，空间向量在立体几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、等价转化能力，考查数形结合思想、化归与转化、或然与必然等数学思想满分 12 分证明：（1）法一：连接 ,ACBD相交于点 O，取 E的中点为 G,连接 ,FGO.ABCD是正方形， 是 的中点，1/,2EB,又因为/,FE,所以 /OGAF且 ，所以四边形 AOG是平行四边形， 3 分/C，又
16、因为 平面 D, C平面 E平面 DEF5 分法二：延长 ,BA相交于点 G,连接 .因为1/,2，是 G的中点，所以 /DCA且 ，所以四边形 A是平行四边形， 3 分/C，又因为 平面 EF, 平面 DEF平面 EF5 分（2 ） ABD是正方形， AB是直角梯形，90， , BACDFExyzGBACDFEADF, AB平面 FD,同理可得 AB平面 EC.又 平面 C，所以平面 平面 , 又因为二面角 E为 60，所以 FADB, 24AF, 2BC,由余弦定理得 23EC,所以 C,又因为 平面 E， ,所以 平面 ABD，7 分法一：以 为坐标原点， C为 x轴、 D为 y轴、 为
17、 z轴建立空间直角坐标系.则(0,)(,20)(,3),(12)DEF, 8 分所以 3)CE,设平面 DEF的一个法向量为 (,)nxyz，则 0nFE即 230xzy令 z，则xy，所以 (3,)11 分设直线 C和平面 D所成角为 ，则67sinco,231En12 分法二：取 A的中点为 M, BC的中点为 N，连接 ,FM.以 为坐标原点， MD为 x轴、N为 y轴、 F为 z轴建立空间直角坐标系.则 (1,20)(,3),(0,)(1,0)CED8 分以 23FE,设平面 DF的一个法向量为 (,)nxyz，则0nE即302xy令 3z，则xy，所以 (3,)11 分设直线 CE和平面 DF所成角为 ，则67sinco,231CEn BEFDCAxz yMN
