1、2017 届甘肃省高台县第一中学高三上学期期末考试数学文试题一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 230Ax ， 23Byx，则 AB（ ）A 1 ， B 2 ， C ， D 2 3，2.若复数 z满足 1ii，则复数 z的虚部为（ ）A 1 B0 C i D13.已知平面向量 a， b满足 3ab，且 2a， 1b，则向量 a与 b夹角的正弦值为（ ）A 2 B 32 C D 34.甲乙两人有三个不同的学习小组 A， B， 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（
2、 ）A 13 B 14 C. 15 D 165.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 3，则可输入的实数 x值的个数为（ ）A1 B2 C.3 D46.已知双曲线 2:10xyCabb，右焦点 F到渐近线的距离为 2， F到原点的距离为 3，则双曲线 的离心率 e为（ ）A 53 B 35 C. 63 D 627.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A 2865 B 3065 C.5612 D 601258.已知数列 0， 29， 1， 28，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 2014 项之和 014S等于（ ）A1 B4018 C.20
3、10 D09.已知三棱锥 PAC，在底面 ABC 中， 6， 3BC， PA面 BC， 2PA，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）A 823 B 43 C. 423 D 810.已知函数 fx满足：定义域为 R； x，都有 2fxf；当 1 x， 时，1fx，则方程 21logfx在区间 5， 内解的个数是（ ）A5 B6 C.7 D811.已知函数 sin2fx（其中 是实数） ，若 6fxf对 xR恒成立，且 02ff，则fx的单调递增区间是（ ）A 36kkZ， B 2kkZ， C. 2 ， D ，12.函数 310axxfe在 2 3， 上的最大值为 2，则实数 a的取值范围是（ ）A
4、1ln2 3， B ln， C. 0， D 1 ln23，二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 l1 0 fxaxaR， ， ， fx为 f的导函数， 1f，则 a 14.若 y， 满足约束条件20yx，则 3zy的最大值为 15.抛物线 20xpy的焦点为 F，其准线与双曲线 21xy相交于 A， B两点，若 ABF 为等边三角形，则 16.在 ABC 中，角 BC， ， 所对的边分别为 abc， ， ，且 1osc2ab，当 tan取最大值时，角 的值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.
5、（本小题满分 12 分）已知等比数列 na的各项均为正数， 1a，公比为 q；等差数列 nb中， 13，且 nb的前 项和为 nS，327aS， 2Sq.（1）求 n与 b的通项公式；（2）设数列 c满足 32nS，求 nc的前 项和 nT.18. （本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 1ABC中，底面是正三角形，点 D是 1AB中点， 2C， 1.（1）求三棱锥 1CBD的体积；（2）证明： 1A.19. （本小题满分 12 分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额） ，如下表 1：年份 x2011 2012 2013 2014 2015
6、储蓄存款 y（千亿元） 5 6 7 8 10为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理， 201tx， 5zy得到下表 2：时间代号 t1 2 3 4 5z0 1 2 3 5（1）求 z关于 t的线性回归方程；（2）通过（1）中的方程，求出 y关于 x的回归方程；（3）用所求的回归方程预测到 2020 年年底，该地储蓄存款可达多少？（附：对于线性回归方程 ybxa，其中 12niixyb， aybx）20. （本小题满分 12 分）如图，圆 C与 x轴相切于点 2 0T， ，与 y轴正半轴相交于两点 M， N（点 在点 的下方） ，且3MN.（1）求圆 C的方程；（2）过点 M任作一条
7、直线与椭圆2184xy相交于两点 A， B，连接 N， B，求证：ANB.21. （本小题满分 12 分）已知函数 1lnfxaxR.（1）若 2hf，当 3时，求 hx的单调递减区间；（2）若函数 fx有唯一的零点，求实数 a的取值范围.请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲已知 ABC 中， A， D为 BC 外接圆劣弧 A上的点（不与点 A、 C重合） ，延长 BD至 E，延长 D交 的延长线于 F.（1）求证： CDFE；（2）求证： ABCFB.23. （本小题满分 10 分）选修 4
8、-4：极坐标系与参数方程已知曲线 C的参数方程为 310cosinxy（ 为参数） ，以直角坐标系原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；（2）若直线的极坐标方程为 1sinco，求直线被曲线 C截得的弦长.24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 3 0fxm， ， 30fx的解集为 2 ， ， .（1）求 的值；（2）若 xR， 21fxt成立，求实数 t的取值范围.高三文科数学试题参考答案一、选择题1-5:CBDAC 6-10:BBCAA 11、12：CD二、填空题13.2 14.4 15.23 16. 6三、解
9、答题17.解：（1）设数列 nb的公差为 d， 327aS， 2Sqa， 238qd， 26q， ， ，1na， b，（2）由题意得： 32nS， 3211ncSnn，1114nT.18.证明：（1） 11CBDBCV，过 作 H，直三棱柱中 面 1ABC， 1DH， 面 1， 是高， 32H，12BCS， 11 62CBDBCV.（2）取 中点 E，连接 A， E，底面是正三角形， 11，矩形 1CB中， RtC 中， 2， 1C，Rt中， 2， 1， 1EB， 11BC ， 11E， 1190， 190， CB， 1面 1A， 11CB.19.解：（1） 3t， 2.z，514itz，52
10、1it，4532.19b， 2.31.4azbt， 1.zt.（2） 20x， 5zy，代入 .zt得到：51.1.4y，即 .2408.x.（3） .208.56，预测到 2020 年年底，该地储蓄存款额可达 15.6 千亿元.20.解：（1）设圆 C的半径 0r，依题意，圆心坐标为 2 r， ， 3MN，2r，解得 254，圆 C的方程为 22xy.（2）把 0代入方程2254，解得 1y或 4.即点 1M， ， 4N， ，当 ABy轴时，可知 0AMBN；当 与 轴不垂直时，可设直线 的方程为 1ykx.联立方程 218ykx，消去 y得， 21460k，设直线 AB交椭圆 O于 1 A
11、， ， 2 Bxy， ，则1224kx， 126xk， 12122121 343ANB kxxyx，若 0ABk，即 ANMB， 121222130kxx， N.21.解：（1） hx定义域为 ， ， 22 21133 xxhx ， 的单调递减区间是 0 ， 和 ， .（2）问题等价于 1lnax有唯一的实根，显然 0a，则关于 的方程 la有唯一的实根，构造函数 lnx，则 1lnx，由 1l0，得 e，当 0xe时， x， x单调递减；当 1时， 0， 单调递增，所以 x的极小值为 11e，如图，作出函数 x的大致图象，则要使方程 1lnxa的唯一的实根，只需直线 1ya与曲线 y有唯一的
12、交点，则 1e或 0，解得 ae或 0.故实数 的取值范围是 0 e， .22.解：（1）证明： A、 B、 C、 D四点共圆 CDF， AB， ，且 ，EFACB， CD.（2）由（1）得 F，又 BADF，所以 BA 与 相似， F， 2AD，又 C， F， AB ，根据割线定理得 AB， ACDFB.23.解：（1）曲线 C的参数方程为 310cosinxy（ 为参数）曲线 C的普通方程为 22310xy，曲线 表示以 3 1， 为圆心， 为半径的圆，将 cosinxy代入并化简得， 6cos2in，即曲线 C的极坐标方程为 i.（2）直线的直角坐标方程为 1yx，圆心 到直线的距离为 32d，弦长为 9202 .24.解：（1） fxm，所以 3fxm， 0m， 或 ，又 0f的解集为 2 ， ， ，故 2.（2） 231fxt等价于不等式 2331xt，4 1321322 xgx xx， ，故 max72g，则有 23t，即 2310t，解得 12t或 t.即实数的取值范围 1 ， ， .
