1、正 n 边形对角线在形内交点的计数公式樊益武(陕西蓝田县北关中学 710500)1986 年张忠辅先生提出“寻求正 n 边形在形内交点的计数公式”问题 , 杨之猜想 : 当n 为奇数时 , 任何三条或三条以上对角线在形内不共点 1 . 1997 年罗增儒先生在他的专著数学解题学引论一书中 , 将其列为第 8个待解决的问题 . 本文用解析法解答了这一问题 .引理 2 设 l1: a1x + b1y + c1 = 0, l2: a2x+ b2y + c2 = 0, l3: a3x + b3y + c3 = 0, 则由 l1,l2, l3 所围成的三角形面积为 S = 22 1 2 3的绝对值 .
2、其中 =a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3 1, 2, 3 分别为 c1, c2, c3 的代数余子式 .推论 两两相交的三条直线共点的充要条件是 = 0.为解决所述问题 , 我们以正 n 边形 A 0A 1 A n- 1的中心 O 为原点 , OA 0 为 x 轴建立直角坐标系 xOy , 不失一般性 , 设其外接圆的半径为 1, 则 A i 点的直角坐标为(co s 2iPn , sin 2iPn ) (i= 0, 1, 2, , n- 1).这里我们仅研究 n 6 的情况 . 任取六个顶点 A 0,A h,A p ,A j ,A k ,A q, 其中0 0, sinB 0
3、(1) 当 n 为奇数时 , A hOA k P, 由得0 0,所以 co sA - co sBco sC 0;同理 co sB - co sAco sC 0, 由得 - 0.由推论知 , 对角线 A 0A j , A hA k , A pA q 不共点 . 由于这三条对角线的任意性 , 可知正 n边形 A 0A 1 A n- 1在形内无三条或三条以上对角线共点 . 这就证明了杨之的猜想 .(2) 当 n 为偶数时 , 注意到在 k - h= n 2时 , A hOA k = P, 类似于的讨论有co sA co sC 0, co sA - co sBco sC 0,co sB co sC 0
4、, co sB - co sAco sC 0,由得 - 0.当且仅当 co sA = co sB = co sC = 0 时 , = 0, 此时对角线 A 0A j , A hA k , A pA q 均为正 n边形 A 0A 1 A n- 1外接圆的直径 .由 (1) , (2)可得如下定理 记正 n ( 4) 边形对角线在形内的交点数为 f (n) , 则f (n) =C 4nC 4n- C 2n 2+ 1(n 为奇数 ) ;(n 为偶数 ).证 从 n 个顶点中任取 4 个得一个四边形 , 它有 1 个在形内的交点 , 因此(1) 当 n 为奇数时 , 没有 3 条或 3 条以上对角线共点 , 所以f (n) = C 4n.(2) 当 n 为偶数时 , 有 n2 条对角线为外接圆的直径 , 它们两两相交于一点即中心 , 所以此时f (n) = C 4n- C 2n 2+ 1.证毕 .参 考 文 献1 杨之 . 近年中国初等数学研究的若干新成果 . 数学通讯 , 1994 (7) ,2 周华生 . 三线形面积公式及其推广 . 数学通报 ,1996 (9)131998 年第 11 期 数 学 通 讯
