1、兰州一中 2016-2017-1 学期高三年级期中考试数学试题（理科）注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，其中第卷第 2223 题为选考题，其它题为必考题考生作答时，将答案答在答题卡上在本试卷上答题无效2答题前，考生务必先将自己的姓名、班级填写在答题卡上，并认真核对姓名、班级信息3选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚4请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12
2、 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合 , ,则 （ ）|01xA2|BxABA. B. C. D.|0x|1|01x|01x2.已知复数 ，若 是实数，则实数 的值为 （ ）123zbizi， 2zbA B C D03663.以下判断正确的是 ( ).函数 为 上可导函数，则 是 为函数 极值点的充要条件()yfxR0()fx0fx.命题“ ”的否定是“ ”B200,12,10RC.“ ”是“函数 是偶函数”的充要条件()kZ()sin)fD. 命题“在 中，若 ，则 ”的逆命题为假命题ACBAB4.一个长方体被一个平面截去一部分
3、后所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为 ( )A120 cm 3 B100 cm 3 C80 cm 3 D60 cm 3245.由曲线 ，直线 及两坐标轴所围成图形的面积21yxyx为 /( )kA. B. C. D. l738310336.设等差数列 的前 项和为 ，若 , , ，则 （ ） FnanS21m0mS31mA. B. C. D. 934567.我国古代数学典籍九章算术 “盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今 有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果 ( )rnA. B. C. D.
4、+45238.设 ，则 ( )C13log2,ln,abcA. B. C. D. 2acbca9.已知函数 ，则 的图象大致为 ( ) lnfxfx0Oyx Oyx Oyx OyxA B C Dd10.函数 的图象向右平移 个单位后，与函数 的 2cos(2)y2sin()3y图象重合，则 的值为 ( ) uA. B. C. D. G56566611.椭圆 : 的左、右焦点分别为 ,焦距为 . 若直线 y=C21(0)xyab12Fc与椭圆 的一个交点 M 满足 ，则该椭圆的离心率等于 3c 1221（ ） CA. B. C. D. n22132112.已知定义在 R 上的函数 满足： 且 ，
5、()fx2,0)(),xf(2)(fxf，则方程 在区间 上的所有实根之和为 （ ） l25()xgfg5,1A. B . C. D. i6789第卷（非选择题 共 90 分） 3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. q13.已知向量 .Q1,2, ,=mnmn 若 则14.已知 sin23，则 2cos()4 .g15.已知 满足约束条件 若 的最小值为 ,则 .=0,axy13xya2zxy1a16.在 中，内角 的对边分别为 ,已知 , ， =ABC, bccosinaCB2b则 面积的最大值为 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明
6、、证明过程或演算步骤. 17 （本小题满分 12 分）已知函数 .2()sin3sico1fxxx（）求 的最小正周期及对称中心；（）若 ，求 的最大值和最小值.,63x()fx18 （本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱 中， ， 是棱 上1ABC12,BACD1C的一点， 是 的延长线与 的延长线的交点，PD且 平面 1B1（）求证： ；CBA CDP111（）求二面角 的平面角的正弦值1ABDP19 （本小题满分 12 分）随着苹果 7 手机的上市，很多消费者觉得价格偏高，尤其是一部分大学生可望而不可及，因此“国美在线”推出无抵押分期付款的购买方式，某店对最近 100 位采用分期付款的
7、购买者进行统计，统计结果如下表所示.付款方式 分 1 期 分 2 期 分 3 期 分 4 期 分 5 期频数 35 25 a10 b已知分 3 期付款的频率为 0.15，并且销售一部苹果 7 手机，顾客分 1 期付款，其利润为 1000 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 1500 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 2000 元，以频率作为概率.()求 ， 的值，并求事件 ：“购买苹果 7 手机的 3 位顾客中，至多有 1 位分 4 期付款”的abA概率；（）用 表示销售一部苹果 7 手机的利润，求 的分布列及数学期望 .XXEX20 （本小题满分 12 分）已知抛物线 ： ，直线
8、交 于 两点， 是线段 的中点，过C2yx:2lykxC,ABMAB点 作 轴的垂线交 于点Mx.N（）证明：抛物线 在点 的切线与 平行；（）是否存在实数 ，使以 为直径的圆 经过点 ？若存在，求 的值；若不存在，kABNk说明理由.21(本小题满分 12 分)已知函数 2ln()afxxR（）当 时，求 的单调区间；0a()f（）若函数 在其定义域内有两个不同的极值点.fx（）求 的取值范围；（）设两个极值点分别为 ，证明: 12,x21xe请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22. （本小题满分
9、10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线xOyx的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 的极坐标方程为1C2cosinxy2Ccosi40（）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；12（）设 为曲线 上一点， 为曲线 上一点，求 的最小值PCQCPQ23.（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 ，且 的解集为 ()|2|,fxmR(2)0fx1,（）求 的值；（）若 ，且 ，求证： ,abc13mabc39abc参考答案及评分标准（理科）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 ）
10、题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A D C B C C A C A B D B二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 14 15 16 3231221三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）17 （本小题满分 12 分）解：（） 4 分 ()3sin2cos2in()6fxxx 的最小正周期为 ， 5 分T令 ，则 ，kx62()21kxZ 的对称中心为 6 分()f(,0（） .8 分,3x56x .10 分1sin(2)16x()2fx当 时， 的最小值为 ；当 时， 的最大值为 1
11、2 分f16()fx218 （本小题满分 12 分）解：（）连接 交 于 ，连接 .1BA1OD 平面 ， 面 ，面 面 1PDP1ABP1OD 2 分O又 为 的中点，1BA 为 中点 为 中点 4 分DP1CP 5 分 D1（）在直三棱柱 中， AB2,1BCA 6 分ABC以 为坐标原点，以 , 所在直线建立空间直角坐标系如图所示。111由（）知 为 中点1P点 坐标分别为,ABD， ， ， 1(0)1(,0)1(,)2(0,)P,设平面 的法向量1ABD(,)mxyz 且 m1 取 8 分012xyz2(0,12)同理：平面 的法向量 10 分 1PBD(,)nyxBA CDP11z设
12、二面角 平面角为1ABDP则 ， 12 分 |5cosmn 25sin1cos19 （本小题满分 12 分）解：()由 ，得 因为 所以 3 分0.15a,a35210,ab15.6 分3)().(10.).97PAC（）设分期付款的分期数为 ，则8 分(1)0.35,(2).5,(3).5,P(4)0.1,(5)0.1P的所有可能取值为 1000，1500，2000.X()(1)0.,P1502(3).4,P10 分(2)(4)52X所以 的分布列为1000 1500 2000P 0.35 0.4 0.2512 分10.350.420.514.EX20 （本小题满分 12 分）解：（）解法一
13、：设 ， ，把 代入 得 ，1(,)Axy2(,)B2ykx2yx20kx得 12kx ， 点的坐标为 2 分124NMN248， ， 4,yx4|kxy即抛物线在点 处的切线的斜率为 4 分k直线 : 的的斜率为 ， 6 分l2lAB解法二：设 ， ，把 代入 得 ，1(,)Axy2(,)B2ykx2yx20kx得 12k ， 点的坐标为 2 分124NMxN248k，设抛物线在点 处的切线 的方程为 ，l2ymx将 代入上式得 ， 4 分2yx22048kx直线 与抛物线 相切， ， lC22 22()0mmkk， 即 6 分mkAB（）假设存在实数 ，存在实数 使 为直径的圆 经过点 k
14、kABMN是 的中点， M1|2N由（）知 11212()()()4yyxkx2214k轴， 8 分MNx2216|48MNkky 2211| ()ABkxx 10 分2 221416k， ，2226168kk故，存在实数 使 为直径的圆 经过点 12 分ABMN21(本小题满分 12 分)解：（）当 时， ；0a()ln.fxx函数 )fx的定义域为 ,， 当 时， ；当 时， .1x()0fx1x()0fx所以， 在 上单调递减；在 上单调递增. 4 分,() （）依题意，函数 ()f的定义域为 (,)， (lnfxa所以方程 ()0fx在 ,有两个不同根.即，方程 lna在 ()有两个不
15、同根. （解法一）转化为，函数 lnyx与函数 yax的图像在 (0,)上有两个不同交点，如图. 可见，若令过原点且切于函数 l图像的直线斜率为 k，只须 ak. 6 分令切点 0A(,ln)x，所以01|xky，又0lnx，所以0ln1x，解得， 0e，于是1e， 所以a. 8 分（解法二）令 ()lngxa，从而转化为函数 ()gx有两个不同零点，而1()（ 0） 若 0a，可见 ()gx在 (,)上恒成立，所以 ()gx在 0,)单调增，此时 ()不可能有两个不同零点. 5 分若 0a，在1xa时， ()0gx，在1a时， ()0gx，所以 ()g在,上单调增，在,上单调减，从而1()x
16、a大ln6 分又因为在 0时， gx，在在 x时， ()gx，于是只须：()gx大，即1lna，所以10ae. 7 分xyo1y=lnxy=axA综上所述，10ae8 分（）由（i）可知 12,x分别是方程 ln0xa的两个根， 即 1lnx， l，不妨设 ，作差得，122ln()xa，即12lnxa. 12x原不等式 等价于e1212122lnlnxxax令 ，则 ， 10 分2t122lnltx设 ， ，l,1tgt2 01tg 函 数 在 上 单 调 递 增 ， , ，0gt即 不 等 式 成 立 ， 21lnt故 所 证 不 等 式 成 立 12 分21xe请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程解：（1）由 消去参数 得，曲线 的普通方程得 3 分2cosinxy1C2184xy由 得，曲线 的直角坐标方程为 5 分cos402 0（2）设 ，则点 到曲线 的距离为2s,iPP
