1、2017 届湖南长沙长郡中学高三入学考试数学（理）试题一、选择题1已知集合 ， ，若 ，则实数2|4Axy|1BxaAB的取值范围为（ ）aA B C D(,32,)1,2,)【答案】C【解析】试题分析： ，又因为 即2|4|AxyxAB，所以 ，解之得 ，故选 C.B12a1a【考点】1.集合的表示；2.集合的运算.2设复数 ，其中 为实数，若 的实部为 2，则 的虚部为（ ）2()1izzzA B C Di3i【答案】C【解析】试题分析： ,因为2221(1)1()1aiaiiaz i的实部为 2，所以 ，所以 的虚部为 ,故选 C.zz23【考点】1.复数数的概念；2.复数的运算.3 “
2、 ”是“函数 在区间 内单调递减”的（ ）0a()|1)|fxa(,0)A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要【答案】A【解析】试题分析：当 时，在区间 上，0a(,0)单调递减，但 区间 上单调递1()|)|()fxx|(1)|fxa(,0)减时， ，所以“ ”是“函数 在区间 内单调递减”0a()|的,故选 A.【考点】1.函数的单调性；2.充分条件与必要条件.4设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得()21)xfea10x，则 的取值范围为（ ）0()fxaA B C D3,12e3,)24e3,)24e3,)2e【答案】D【解析】试题分析：由 得 ，令(
3、)21)0xfea(21)()xeax，则若存在唯一的整数 ，使得 等价于()21),xhega 0f存在唯一的整数 使 ，在同一坐标系内作出两个函数的图象，由图象可00()hx知 等价于存在唯一的整数 使 等价于 ，解之0()fx0x0()hgx()1)hg得 ,故选 D.312ae【考点】函数与不等式.【名师点睛】本题考查函数与不等式,中档题；函数与不等式是高考考查的重要内容，数形结合是解决函数与不等式的重要途径，通常可把所有的数学表达式移到不等式的一边，构造一个函数作图解决不等式问题，也可象本题这样把变量放在不等式的两边，构造两个函数，在同一坐标系内作出两个函数的图象，通过图象求解.5将
4、函数 的图象沿 轴向右平移 个单位后，得到一个偶sin()cos()2yxx8函数的图象，则 的取值不可能是（ ）A B C D443【答案】C【解析】试题分析： 的图象沿 轴向右平移1sin()cos()sin(2)2yxxx个单位后得到的函数解析式为 ,因为该8ii()84函数为偶函数,所以 即 ,由此可知选项 C()4kZ3)4kZ不符合题意,故选 C.【考点】1.三角函数的图象与性质；2.函数图象平移变换.6已知点 ， 是椭圆 上的动点，且 ，则(1,0)M,AB214xy0MAB的取值范围是（ ）MABA B C D2,13,92,936,3【答案】C【解析】试题分析：设 ，则12(
5、,)(,)AxyB，由题意有1212(,),)MAxyxy，所以1()0Bxy2122111()()()xxy22 21 1() 4xyxy211334,4x所以，当 时， 有最大值 ，当 时， 有最小值 ，故2xMAB93MAB23选 C.【考点】1.椭圆的标准方程与几何性质；2.向量的运算.7如图所示程序框图中，输出 （ ）SA45 B-55 C-66 D66【答案】B【解析】试题分析：该程序框图所表示的算法功能为： 222221345678910(2345678910)5S，故选 B.【考点】程序框图.8如图，设 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域， 是 内位于函数DED图象下方的
6、区域（阴影部分） ，从 内随机取一个点 ，则点 取自1(0)yxDM内的概率为（ ）EA B C Dln21ln21ln2ln2【答案】C【解析】试题分析：如下图所示，四边形 的面积 ，阴影部分的面OAB1S积可分为两部分，一部分是四边形 的面积 ，另一部分是曲边梯E12形的面积 ，所以点 来自 内的概率为1122lnlSdxME，故选 C.1P【考点】1.几何概型；2.积分的几何意义.【名师点睛】本题考查几何概型、积分的几何意义，属中档题.概率问题是高考的必考见容，概率问题通常分为古典概型与几何概型两种，几何概型求概率是通过线段的长度比或区域的面积比、几何体的体积比求解的，本题是用的区域的面
7、积比，但求面积是通过积分运算来完成的，把积分运算与几何概型有机的结合在一起是本本题的亮点.9在棱长为 3 的正方体 中， 在线段 上，且 ，1ABCDP1BD12P为线段 上的动点，则三棱锥 的体积为（ ）M1MA1 B 32C D与 点的位置有关9【答案】B【解析】试题分析：三棱锥 的高为点 到平面 的距离，即 ，MPBCPBC32h底面三角形 的底为PBC，高为 到 的距离 ，所以三棱锥 的体积323MPBC，故选 B.132VC1B1A1BD1DA CPM【考点】1.正方体的性质；2.多面体的体积.10已知点 是抛物线 上一点， 为坐标原点，若 是以点2:(0)CxpyO,AB为圆心，
8、的长为半径的圆与抛物线 的两个公共点，且 为等边(0,1)M|OACO三角形，则 的值是（ ）PA B C D523569【答案】C【解析】试题分析：由抛物线的性质及题意可知， 两点关于 轴对称，所以可设,ABy，则 ，解之得 ，又因11(,)(,)AxyB222111(0)4xyx2153xy为点 在抛物线上，所以 ，解得 ，故选 C.53p56【考点】抛物线的标准方程与几何性质.11设 满足约束条件 ，则目标函数 的最大,xy120,yx(0,)zabxy值为 11，则 的最小值为（ ）abA2 B4 C6 D8【答案】B【解析】试题分析：在直角坐标系中作出可行域，如下图所示，因为 ，所0
9、,ab以目标函数 取得最大值时的最优解为 ，所以 ，即zabxy(2,3)B123，所以 ，当且仅当 时取等号，故选 B.4ab24ab2ab【考点】1.线性规划；2.基本不等式.12设函数 ，则当 时， 表达式的展开式中常数61(),0)xfx()fx项为（ ）A-20 B20 C-15 D15【答案】A【解析】试题分析：因为 ，所以 ，所以0x()0fx，其展开式的通项为661()(fx，当 时为常数项，所以 表6 261 6()()rrrrrrTCxCx 3()fx达式的展开式中常数项为 ,故选 A.34610T【考点】1.分段函数的表示；2.二项式定理.【名师点睛】本题考查分段函数的表
10、示与二项式定理，属中档题；分段函数的表示与二项式定理是最近高考的常考内容，但两者很少在同一个题目中出现，本题在考查分段函数的同时，考查二项式定理的应用，可谓立意新颖、思维独特.二、填空题13若 ，则 等于 .423401(12)xaxax013|a【答案】【解析】试题分析： ，所以4234()86x， .013,8,2aa013|a【考点】二项式定理.14给定双曲线 ，若直线 过 的中心，且与 交于 两点，2:15yCxlC,MN为曲线 上任意一点，若直线 的斜率均存在且分别记为 ，则P,PMN,Pk.MNk【答案】 512【解析】试题分析：设直线 的方程为 ， ， ，则lykx12(,)(,
11、)MyNx0(,)Pxy由 得， ,0102,PMPNyykkxx25ykx2(5)(51)k所以有 ，12122,52201001210112()()PMNyyyykxkxkxxx，故应填 .220 202202(5)(5)11()15kkxxk512【考点】1.双曲线的标准方程与几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.斜率公式.15已知点 的坐标满足 ，则 的取值范围为 .(,)Pxy302yx23xy【答案】 3,)【解析】试题分析：在直角坐标系内作出可行域及直线 ，如下图所示，过30xy点 作 直线 于点 ， ， 表示可行域内的点 到直线PF30xyF2(,)Pxy的距离 ， 表示可
12、行域内的点 到原点 的距离 ，所30xyP2 O以 ，当点 在直线 上时，2sinFOxyP30xy，当点 在直线222333 sin0xyxyxy POFr 在右上方时，0，此时 的取值范围222333 sinxyxyxy POF23xy为 ，当点 在直线 r 在左下方时，(0,)P0xy，此时 的取值222333 sinxy POFxyxy23xy范围为 ，综上 的取值范围为 .,0)23,)【考点】1.线性规划；2.点到直线距离、两点间的距离；3.直角三角形中正弦函数定义.【名师点睛】本题考查线性规划、两点间的距离公式、点到直线距离公式、直角三角形中正弦函数定义，属难题；对线性规划问题，
13、先作出可行域，在作出目标函数，利用 z 的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.本题利用两个距离的比构成了一个角的三角函数值，再数形结合求解，可谓是匠心独运，视角独特.16在数列 中， ， ， 是数列na1122133()nnnanS的前 项和，当不等式 恒成立时， 的所有1n *1()mnSNm可能取值为 .【答案】 或 或24【解析】试题分析：由 122133()nnna得 ，即1213()()nna，所以数列 是以 为1213()()(2)
14、nnaan13()na13()2a首项、 为公比的等比数列，所以 ，由 ，13na12n，所以2()3(1)nnnS 111()3()() (3)(3)(3)23113mm mnnnmnn nmS 即 ，当 时，该不等式不成立，当 时有()203nm恒成立，31n当 时， ， ，这时 ，当 时，m932n11mn2， ，这时 或 ，当 时， 不成1n,24301mn立，所以 的所有可能取值为 或 或 .1【考点】1.数列的递推公式；2.等差数列的定义与求和公式；3.不等式恒成立问题.【名师点睛】本题考查数列的递推公式、等差数列的定义与求和公式、不等式恒成立问题，属难题；数列的递推公式一直是高考
15、的重点内容，本题给出的递推公式非常复杂，很难看出其关系，但所要求的数列的和给出了我们解题思路，即在解题中强行构造数列 是解题的关键，然后根据不等式恒成立分类讨论求解，体现的应13()na用所学数学知识去解决问题的能力.三、解答题17已知函数 的最小正周期为 .2()3sini(0)xfx3（1）求函数 在区间 上的最大值和最小值；,4（2）已知 分别为锐角三角形 中角 的对边，且满足,abcABC,， ，求 的面积.,()31fA2sinab【答案】 （1） ， ；（2）minfxmax()1f3【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换相关公式化简函数解析式得，由周期为 ，可求 的值，由三角函
16、数性质可求函数的()2si()16fx3最值.（2）由 及正弦定理可求得 ，从而是求出解 的值，32sinabA3sin2BB由 可求出角 及角 ，由正弦定理求出边 ，即可()1fA45146Ca求三角形面积.试题解析：（1） ，cos()3sin22in()1xfxx， ，232 ， ， ，()sin()16fxx4x536x，32i所以当 时， 取最小值 ；当 时， 取最大值 1.4x()fx312x()fx（2）由已知 及正弦定理得： ，32sinabAsinisnAB ， ， ，由 得锐角 ，sinB0B3()31f4A由正弦定理得： ， . 263a12623sin2ABCSab 【
17、考点】1.三角恒等变换；2.三角函数的图象与性质；3.正弦定理与余弦定理.【名师点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、正弦定理与余弦定理,属中档题；此类题目是解三角形问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数解析式从而达到求最值的目的，三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题覆盖面较广，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.18某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活用水量逐年上升，下表是 2011 年至2015 年的统计数据：年份 2011 2012 2013 2014 2015居民生活用水量（万吨）236 246 257 276 286（1）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归方程 ；ybxa（2）根据改革方案，预计在 2020 年底城镇改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预测该城市 2023 年的居民生活用水量.参考公式： ， .12()niixybaybx【答案】 （1） ；（2） 万吨306.yx351.
