1、2017 届湖南长沙一中高三月考（五）数学（文）试题一、选择题1已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范2x|0Ax|aBABa围是（ ）A. B. 2a2aC. D.0【答案】A【解析】试题分析：由题意得集合 ，要使得2x|0A|2x，则 ，故选 A.B2a【考点】集合的运算.2因为 是虚数单位，复数 ，则 的共轭复数是（ ）i2017+izzA. B. 1C. D.2i12i【答案】B【解析】试题分析：由复数 ，所以其共轭0176(1)+ii+2iz i复数为 ，故选 B.12iz【考点】复数的运算及共轭复数.3某校有“交通志愿者”和“传统文化宣讲”两个社团，若甲、乙、丙三名学生各自随机选择
2、参加其中一个社团，则三人不在同一个社团的概率为（ ）A. B. 14C. D.438【答案】C【解析】试题分析：由题意得，甲、乙、丙三名学生在同一社团共有 种情形，所以2甲、乙、丙三名学生不在同一个社团的概率为 ，故选 C.3214P【考点】等可能事件的概率.4已知 ， ，则 （ ）tan2(0,)5cos(+)A. B. 354C. D.5【答案】D【解析】试题分析：由题意，因为2225 sincotancos(+2)cos(2)sin1，得 ，故选 Dtan25415【考点】三角函数的化简求值.5在 中， ， ， 是 边上的高，则ABC30BACAB（ ）DA. B. 9494C. D.2
3、727【答案】B【解析】试题分析：如图所示，在 中， ， ， 是ABC30BACD边上的高，则 ，所以 ，且 ，A120sin602D 03所以 3coscoCDBBCA.94【考点】向量的数量积的运算.6运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有 3 次落在直线上 ，则判断框中可yx填写的条件是（ ）A. B. i87iC. D.65【答案】D【解析】试题分析：模拟执行程序，可得 ， ，输出点 ，1,0iy1,2xyi(1,)此时输出的点恰好落在直线 上，不满足条件， ，输出点 ，yx30不满足条件， ，输出点 ，不满足条件， ，1,04xi(,),5xyi输出点 ，此时满足输出的点恰好落在直线
4、 上，所以应添加的条件为 ，(,) yx故选 D【考点】程序框图.7定义在 上的函数 满足 ， ，且R(x)f()f(f2)()f时， ，则 （ ）(1,0)x1252log0A. B. 4C.1 D.【答案】A【解析】试题分析：由定义在 上的函数 满足 ，R(x)f()f(xf，所以函数 为奇函数，且是以 为周期的周期函数，又(x2)()ff()f4时， ，则1,01x2522log0)(log5)f2(log54)f 5(l)(44ff，故选 A.2l 1【考点】函数性质的应用.【方法点晴】本题主要考查了函数性质的综合应用，其中解答中涉及函数的奇偶性的应用、函数的周期性的应用，对数式和指数
5、式的运算等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据题设条件得到函数 为奇函数，且是以 为周期的周期函数，再根据指数式与对数式的运(x)f4算是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. 132134C. D.1214【答案】C【解析】试题分析：由题意得，根据几何体的三视图可知，左侧表示底面半径为 ，1r高为 的 个圆锥，右侧表示一个底面为直角边分别为 和 的底面，侧棱长为h4 12的半个直三棱柱，所以该几何体的体积为 ，2 432Vrh故选 C.【考点】几何体的三视图及体积的计算.9
6、 “珠算之父”程大位是我国明代伟大是数学家，他的应用数学巨著算法统综的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成.程大位在算法统综中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.” （注释三升九：3.9 升.次第盛：盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（ ）A.1.9 升 B.2.1 升 C.2.2 升 D.2.3 升【答案】B【解析】试题分析：要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为 升，下端第一节盛米
7、升，由题意得d1a，解得 ，所以中间两3195123.9854()()32Sadad 1.4,0.1ad节盛米的容积为： （升） ，45111(27.82.故选 B.【考点】等差数列的实际应用.10将函数 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标(x)2cos()s(x)4g伸长也原来的 2 倍，得到函数 的图象，设函数 ，则 的导h21(x)()4fh(x)f函数 的图象大致为（ ）()fx【答案】A【解析】试题分析：由题意得，将函数(x)2cos()(x)2sin()cos(x)in(2)cos44g xx的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长也原来的 倍，得到函数(x)g 2，所以 ，则
8、，所以函数cosh221(x)()cos4fhx()fxf为奇函数，图象关于原点对称，且 ，如当 ，则fx 1inf4，所以函数在 上单调递减，故选 A.12()sin04248f0,4【考点】三角函数的图象变换；函数的性质.11已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过 作圆21(a,b)xy1F21的切线分别交双曲线的左、右两支于点 、 ，若 ，则双22xyaBC2|曲线的渐近线方程为（ ）A. B. 32yxC. D.(1)yx(31)【答案】C【解析】试题分析：因为过 作圆 的切线分别交双曲线的左右两支于点1F22xya，且 ，所以 ，设切点为 ，则利用三角形的相似,B2B,()TBxy
9、可得 ，所以 ，所以 ，代入双ycxa22,bcxy2,)abc曲线的方程，整理可得 ，所以双曲线的渐近线方程为 ，(31)a(31yx故选 C.【考点】双曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，相似三角形、以及双曲线的渐近线的方程的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据相似三角形，列出比例关系式，得到点 的坐标是解答的关键，试B题运算较大，属于中档试题.12定义域为 的函数 ，若关于 的方程Rlg|x2|,()1fx恰有 5 个不同的实数解 ， ， ，
10、， ，则2(x)bfc0f12345的值等于（ ）1234x)A. B. 4lg3lg2C. D.【答案】B【解析】试题分析：当 时， ，则由 ，所以2x1fx2(x)bfc0f，当 时， ，由 得12,1xcblog()，解得lg()l()c0x或 ，当 时，2x3lg(2)210bbx2x，由lo()fx得 ，解得2)bc0lo()log()cxx或4lg(18x，所以3o2)2b，故选 B.145()(10lg23lfxf【考点】函数的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的综合应用问题，其中解答中涉及到对数函数的性质，一元二次函数的图象与性质，对数的运算及指数幂的化简等知识点的综合考
11、查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中按照题设条件分别根据三种情况分类讨论求出关于 的方程 的 个x2()bfxc0f5不同的实数解，即可求解 的值.12345(x)f二、填空题13过点 的直线 与圆 ： 交于 、 两点，当(1,2)MlC22(x3)(y4)5AB最小时，直线 的方程是 .ACB【答案】 30xy【解析】试题分析：由于点 在圆 ： 的内部，由于直(1,2)22(x3)(y4)5线 和圆相交的性质可得，当 最小时，圆心 到直线 的距离最大，此时ACBAB直线 与直线 垂直，由于直线 的斜率 ，则所求直线的斜率为 ，ABM11由直线的点斜式方
12、程得 ，即 .2(1)yx30y【考点】直线与圆的位置关系.14高三（1）班某一学习小组的 、 、 、 四位同学周五下午参加学校的课外ABCD活动，在课外活动时间中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步. 不在散步，也不在打篮球；A 不在跳舞，也不在跑步；B“ 在散步”是“ 在跳舞”的充分条件；CA 不在打篮球，也不在跑步；D 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么 在 .D【答案】画画【解析】试题分析：由题意得，画出此表，如下表所示篮球 画画 跳舞 散步A A AB B BC CD D D可得 在画画.【考点】逻辑的应用.15在 中， 为 边上一点，若 是等边
13、三角形，且 ，则ABCAB43A的面积的最大值为 .C【答案】 43【解析】试题分析：在 中，D，整理得222481cosACAD，所以 ， 时等号成248C 6DCAD立，所以 的面积为 .A13sin4324SA【考点】解三角形问题.【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理的应用，基本不等式的应用等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，本题的解答中利用余弦定理得出关系式，灵活运用基本不等式的基本性质解答的关键.16学生体质与学生饮食的科学性密切相关，营养学家指出，高中学生良好的日常饮食应该至少提
14、供 0.075 的碳水化合物，0.06 的蛋白质，0.06 的脂肪.已知 1kgkgkg食物 含有 0.105 碳水化合物，0.07 蛋白质，0.14 脂肪，花费 28 元；1kgA食物 含有 0.105 碳水化合物，0.14 蛋白质，0.07 脂肪，花费 21 元.为Bkkk了满足高中学生日常饮食的营养要求，每天合理搭配食物 和食物 ，则最低花费是AB元.【答案】 16【解析】试题分析：设每天食用 食物 ，总花费为 元，那么目标函数xkgBz，且 满足约束条件 ，整理281zxy,x0.15.0.75746.,xy，作出约束条件所表示的可行域，如图所示，将目标函数751460,xy变形， ，
15、如图，作出直线 ，当直线平移经28zxy4321zx2810xy过可行域，在过点 处时， 轴上的截距 最小，解方程组 ，得点My7546的坐标为 所以每天需要同时食用食物 约为 ，食物 约 ，能够满14(,)7A1kgBkg足日常饮食要求，且花费最低 元.16【考点】简单的线性规划问题.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划问题，在解答简单的线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数，然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解.三、解答题1
16、7已知数列 的前 项和 ，令 .an312nS91lognnba（1）求数列 的通项公式；bn（2）若数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，求 .nnT1nnH2017【答案】 （1） ；（2） nb4039【解析】试题分析：（1）当 时， ，当 时， ，得到通项公式1na2n13na为 ，进而求得数列数列 的通项公式；（2）由 ，得 ，13nabnb()4nT则 ，即可利用裂项求和.4()()1nTn试题解析：(1)当 时， ；312aS当 时, .2n1nnnaS显然 也满足比式，所以 的通项公式为 .1an13na于是 ，即 的通项公式为 .919logl32nnbabn2nb由
17、，得 ，则 .2n (1)(+)4nT41()()nTn于是 ，14()3nH则 .2017089【考点】数列的通项公式；数列求和.18高三学生小罗利用暑假参加社会实践，为了帮助贸易公司的购物网站优化今年国庆节期间的营销策略，他对去年 10 月 1 日当天在该网站消费且消费金额不超过 1000元的 1000 名（女性 800 名，男性 200 名）网购者，根据性别按分层抽样的方法抽取100 名进行分析，得到如下统计图表（消费金额单位：元）：女性消费情况：男性消费情况：（1）现从抽取的 100 名且消费金额在800,1000(单位：元)的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的这两名网购者恰好
18、是一男一女的概率；（2）若消费金额不低于 600 元的网购者为“网购达人” ，低于 600 元的网购者为“非网购达人” ，根据以上统计数据填写右面 列联表，并回答能否在犯错误的概率不2超过 0.010 的前提下认为“是否为网购达人与性别有关?”女性 男性 总计网购达人非网购达人总计 20(k)P0.10 0.05 0.025 0.010 0.005消费金额 （0,200） 200,400） 400,600) 600,800) 800,1000)人数 5 10 15 47 x消费金额 （0,200） 200,400） 400,600) 600,800) 800,1000)人数 2 3 10 y2
19、0k2.706 3.841 5.024 6.635 7.879附：（ ，其中 ）22(adbc)(nnabcd【答案】 （1） ；（2）列联表见解析，在犯错误的概率不超过 的前提下可以认35 0.1为“是否为网购达人与性别无关” 【解析】试题分析：（1）按分层抽样女性应抽取 名，男性应抽取 名，从中得到82，从而得到从 名任意选 名，总的基本事件，利用古典概型及其概率的计算公,xy式，即可求解概率；（2）列出列联表，利用对立性检验的公式，求得 ，即可得到k结论.试题解析：按分层抽样女性应抽取 80 名，男性应抽取 20 名.，80(5147)3x20(312)y抽取的 100 名且消费金额在8
20、00,1000（单位：元）的网购者中有三位女性设为 ，A， ；BC两位男性设为 ， .ab从 5 名任意选 2 名，总的基本事件有 ， ， ， ，(A,B),)C(,a,b)(BC， ， ， ， ，共 10 个.(,),(,)C,ab设“选出的两名购物者恰好是一男一女为事件 ”.则事件包含的基本事件有 ， ， ， ， ， 共 6 个.(,),(,),b(,a),b.63(A)105P（2） 列联表如下表：女性 男性 总计网购达人 50 5 55非网购达人 30 15 45总计 80 20 100则2 22(adbc)10(3)9.01)(854nk且 .9.016.352k6.35)P所以再犯错误的概率不超过 0.010 的前提下可以认为“是否为网购达人与性别无关”.【考点】古典概型及其概率的计算；独立性检验.19如图，在梯形 中， ， ，ABCD/B2ACBD， 、 分别是 、 上的点， ， ，沿24ABEF/EFAx将梯形翻折，使平面 平面 ， 是 的中点.G
