1、2017 届湖南长沙一中高三月考（五）数学（理）试题一、选择题1已知复数 满足 ，则 的共轭复数是（ ）z(34i)z12izA. B. 25i5C. D.i【答案】A【解析】试题分析：由题意得，复数，所以 的共轭复数是12()345102(34i)zii25iiz，故选 A.5【考点】复数的运算.2已知集合 ， ，则 （ ）2x|430Ax|21BABA-3，-1 B (,3,0)C D(,3)(1,0)【答案】B【解析】试题分析：由题意得，集合 或 ，2x|430A|3x1集合，所以 或 ，故选 B.x|21|0xB|1【考点】集合的运算.3下列命题中，为真命题的是（ ）A. ,使得0xR
2、0xeB. 1sin2(k,Z)C. ,xD.若命题 ： ，使得 ，则 ： ，都有p0R201xp0xR210x【答案】D【解析】试题分析：根据全称命题与存在性命题的关系可知，命题 ： ，使p0得 ，则 ： ，都有 ，故选 D.201xp0x210x【考点】命题的真假判定及应用.4在 中， “ ”是“ ”的（ ）ABCcos2Bcos2CAA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理可得，在 中， “ ”则，sinisin则 ，由倍角公式可得 ，222ABC1cos2cs1cos2ABC可得，反之也成立，所以在 中，
3、“ ”是“coscos C”的充分必要条件，故选 C.【考点】正弦定理与倍角公式.5如图是用模拟方法估计圆周率 值的程序框图， 表示估计结果，则图中空白框P内应填入（ ）A. B. 20MP420MPC. D.NN【答案】B【解析】试题分析：由题意得以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率的程序框图，是圆周内的点的次数，当 大于 时，圆周内的点的次数为 ，总试验次数i204M为 ，所以要求的概率 ，所以空白框内应填入的表达式是 ，故选204M20PB.【考点】程序框图的应用.6将甲桶中的 升水缓慢注入空桶乙中， 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线amint.假设过 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过
4、甲桶中的水只有 升，ntye5minin4a则 的值为（ ）A.5 B.8 C.8 D.10【答案】A【解析】试题分析：根据题意，得因为 后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数5min，满足 ，可得 ，因此当 后甲桶中的水只ntyae512nfae1l2min有 升，即 ，即 ，所以 ，解得 ，4()4kll4k 1l2k0k经过 ，即 ，故选 A.5m【考点】函数的实际应用问题.【方法点晴】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中涉及到指数函数的图象性质，指数恒等式的化简，对数式的运算性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据题意，列出
5、关于时间的函数关系式是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.7已知函数 是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ）sin(x),0()cofA. B.,42,36C. D.36 5【答案】C【解析】试题分析：由题意得，不妨设 ，则 ，因为函数 是偶函数，0xfx所以 ，即 ，即()fxfsin()cos()，所以 ，即 ，cosco22xx22故选 C.【考点】函数的奇偶性的应用.8如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（ ）A. B. 825C. D.1241【答案】D【解析】试题分析：根据三视图得出，该几何体是镶嵌爱正方体中的一个四
6、棱锥，正方体的棱长为 为棱的中点，根据几何体可以判断，球心应该在OABC2,AD过 的距离为 ，所以 ，解得出,AD2x2222(),1()RxRx，该多面体外接球的表面积为 ，故选 D.341,xR 24【考点】空间几何体的三视图及几何体的性质.9已知 是 所在平面内一点， .现将一粒黄豆随机撒在PABC20PBCA内，则黄豆落在内的概率是（ ）A. B. 2312C. D.14【答案】D【解析】试题分析：如图所示，取 的中点 ，连接 ，则BCD,PABC，又点 满足 ，所以有 ，可得三2PBCP2020点 共线且 ，即 点为 的中点时满足 ，,A1A, PA此时 ，所以黄豆落在 内的概率为
7、 ，故选 D.4PCBSC14【考点】几何概型及其概率的计算.10设实数 ， 满足 ，则 的取值范围是（ ）xy20,5,xyyxzA. B. 83,28132C. D.1,【答案】A【解析】试题分析：设 ，则 作出约束条件所以表示的平面区域，如ymx1z图所示，当经过点 时，目标函数 取得最大值 ，当经过点 时，目(1,2)Ayx2(3,1)B标函数 取得最大值 ，即实数 的取值范围是 ，又因为函数yx31,3为单调递增函数，所以 ， ，故选 A.zmmin8zmax2z【考点】简单的线性规划的应用.11已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 ， .1F2这两条曲线在
8、第一象限的交点为 ， 是以 为底边的等腰三角形.若P12F1P，记椭圆与双曲线的离心率分别为 、 ，则 的取值范围是（ ）1|0PFe2e:A. B. (,)9(,)5C. D.30【答案】C【解析】试题分析：设椭圆和双曲线的半焦距为 ， ，由12,cPFmn()于 是以 为底边的等腰三角形，若 ，即有 ，由椭12PF1 |00,c圆的定义可得 ，由双曲线定义可得 ，即由mna2na，再由三角形的两边之和大于第三边，可得 ，125,(5)acc 210c可得 ，既有 ，由离心率公式可得 ，12225ceac:由于 ，则由 ，则 的取值范围是 ，故选 C.2514c2153c12(,)3【考点】
9、圆锥曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了圆锥曲线的几何性质，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质、双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，椭圆与双曲线的离心率等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中借助三角形的三边之间的关系，列出关于 表达式是12e:解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.12已知实数 若关于 的方程 有三个不同,0(x)lg)x,efx2()fxt0f的实根，则 的取值范围为（ ）tA. B. (,21,)C. D.1(2,)【答案】A【解析】试题分析：设 ，作出函数 的图象，如图所示，则 时，mfx
10、fx1m有两个根，当 时， 有一个根，若关于 的方程mfx1x有三个不同的实根，则等价为 由两个不同的实数根，2()t02t0m且 或 ，当 时， ，此时由 ，解得 或11m2t1m，满足 有两个根， 有一个根，满足条件；当 时，设2mfxfx，则 即可，即 ，解得 ，综上实数 的取th0h10t2tt值范围为 ，故选 A.t【考点】根的存在性及个数的判断.【方法点晴】本题主要考查了根的存在性及个数的判断问题，其中解答中涉及到到指数函数与对数函数的图象与性质，一元二次函数根的分布等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中利用函数的零点和方程之间的关系转化为两个函数
11、图象的交点是解答的根据，利用数形结合以及换元法是解答本题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.二、填空题13设 ，则 展开式中的常数项为 （用数字做201sinxd31()nx答）【答案】【解析】试题分析：由 ，所以二项式的通项为22001sin1cos|xdx，令 ，则常数项510 61 103()()(rrrrrrTCxC.566710()2【考点】二项式定理的应用.14已知向量 ， 满足 ， ，则向量 在 方向上的投影为 .ab|(ba)3ba【答案】 2【解析】试题分析：由 ，可得 ，所以向量 在()3ab231ababb方向上的投影为 .a12【考点】向量的数量积的应用.15若函数
12、 的图象在 处的切线与圆 相切，(x)(a0,b)xfe0x21xy则 的最大值是 .ab【答案】 2【解析】试题分析：由 ，则 ，且1(x)(a0,b)xfe(x)axfeb，又 ，所以切线方程为 ，即 ，又(0)afb0b1y10y因为切线与圆 相切，所以 ，即 ，因为21xy2dab2a，所以 ，所以 ，所以 ，所0,ab2ab2()()2b以 的最大值是 .【考点】导数在函数中的应用.【方法点晴】本题主要考查了导数在函数解题中的应用，其中解答中涉及到利用导数求解曲线上某点的切线方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，以及基本不等式的应用等知识点的综合考查，着重考查两学生分析问题和
13、解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.16数列 满足 ，对任意 ， ，则 的整数部an13nN21nna2016na分是 .【答案】 2【解析】试题分析：因为 ，所以 ，即21nna11()nnnaa，所以1nna，所以2061123201671207()()()naaa的整数部分是 .2061na【考点】数列的求和问题.【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到数列的递推关系式的化简，数列的裂项求和，以及实数的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中对数列的递推关系式灵活变形及裂项是解答的关
14、键，平时朱玉方法的积累与总结，试题有一定难度，属于中档试题.三、解答题17如图，在 中，角 ， , 的对边分别为 ， ， ，ABCabc.(sinco)ab（1）求角 的大小；B（2）若 ， 为 外一点， ， ,求四边形 面积的最ADC2DB1CABCD大值.【答案】 （1） ；（2） 45【解析】试题分析：（1）由 ，化简得 ，从(sinco)abcosinsiB而得 ，即可求解角 的大小；（2）在 中，由余弦定理得cosinBBCD，根据三角形的面积公式 、 ，从而得到四边形的面积，254CDABS再利用三角函数的图象与性质，即可求解四边形 面积的最大值.试题解析：(1)在 中， .AC(
15、sinco)ab有 ，sini(snco)Bi(snCco)， ，则coisi0B即 ； ，则ta1(0,)4（2）在 中， ， ，BCD21C.21cos54csD又 ，则 为等腰直角三角形，A,21cs24BCSB又 ，1siniD，55co2sn(D)44ABC 当 时，四边形 的面积有最大值，最大值为3ABC52【考点】余弦定理；三角函数的图象与性质.18为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55 名男性驾驶员中，平均车速超过 的有 40 人，不超过 的有 15 人在 45 名女性驾驶员10/
16、kmh10/kmh中，平均车速超过 的有 20 人，不超过 的有 25 人（）完成下面的列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为平均车速超过 的10/kmh人与性别有关平均车速超过人数10/kh平均车速不超过人数10/kh合计男性驾驶员人数 女性驾驶员人数合计（）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3 辆，记这 3 辆车中驾驶员为男性且车速超过 的车辆数为 ，若每次抽取10/kmhX的结果是相互独立的，求 的分布列和数学期望X参考公式与数据： ，其中22nadbcdnabcd20Pk（ ）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005
17、0.00102.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】 （I）列联表见解析，有 的把握认为平均车速超过 与性别有9.5%10/kmh关；（II）分布列见解析， 6【解析】试题分析：（I）完成列联表，并判断是否有 的把握认为平均车速超9.5过 的人与性别有关，求出 ，即可判断是否有 的把握认为平均车速10/kmh2%超过 的人与性别有关；（II）根据样本估计总体的死刑，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 辆，驾驶员为男性且车速超过 的车辆的概率，110/kmh可能是 ，则 ，求出概率得到分布列，然后求解数学期望.X,23(3,)5XB:试题
18、解析：（） 平均车速超过人数10/kmh平均车速不超过人数10/kh合计男性驾驶员人数 40 15 55女性驾驶员人数 20 25 45合计 60 40 100因为 ，221045108.497.6所以有 99.5%的把握认为平均车速超过 与性别有关（6 分）/kmh（）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 1 辆，驾驶员为男性且车速超过 的车辆的概率为 10/k0215可取值是 0，1，2，3， ，有：X235XB ，3037512PC， 12354PC，2365X， 03128X，分布列为0 1 2 3P27546581（12 分）2743680151EX【考点】独立性检验；离散型随机变量的分布列.19在等腰 中， ，腰长为 2， 、 分别是边 、 的中RtABC90DEABC点，将 沿 翻折，得到四棱锥 ，且 为棱 中点，DEBACF2B（）求证： 平面 ；F（）在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ？若存在，求二面角AQ/EQ的余弦值，若不存在，请说明理由 QE
