1、1 22 函数的表示法(二) 23 映射 学习目标 1.会用解析法及图像法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.3.了 解映射的概念 知识点一 分段函数 思考 设集合AR，B0，)对于A中任一元素x，规定：若x0，则对应B中的 yx；若x0，则对应B中的yx.按函数定义，这一对是不是函数？梳理 (1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不 同的_的函数 (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的_；各 段函数的定义域的交集是_ (3)作分段函数图像时，应在同一坐标系内分别作出每一段的图像 知识点二 映射 思考 设A三角形，B
2、R，对应关系f：每个三角形对应它的周长这个对应是不是函 数？它与函数有何共同点？梳理 映射的概念 两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有 _的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：AB. A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像，记作f：xy. 函数一定是映射，映射不一定是函数2 类型一 建立分段函数模型 例1 如图所示，已知底角为45的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm， 2 当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯 形分成两部分，令BFx，试写出左边部分的面积
3、y关于x的函数解析式，并画出大致图 像反思与感悟 当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表 示两变量间的对应关系，而分段函数图像也需要分段画 跟踪训练1 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元； (2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算) 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画 出函数的图像3类型二 研究分段函数的性质 命题角度1 给x求y 例2 已知函数f(x)Error!试求 f(5)，f( )，f(f( )的值 3 5 2 引申探究 例2中f(
4、x)解析式不变，若x5，求f(x)的取值范围反思与感悟 分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一区间 (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止当出现f(f(x 0 )的形式时，应从内到外依 次求值 跟踪训练2 已知函数f(x)Error! (1)求f(f(f(5)的值； (2)画出函数f(x)的图像4命题角度2 给y求x 例3 已知函数f(x)Error! (1)若f(x 0 )8，求x 0 的值； (2)解不等式f(x)8.反思与感悟 已知函数值求x取值的步骤 (1)先对x的取值范围分类讨论 (2)然后代入到不同的解析式中 (3)通过解方程求出x的解 (4)检验所求的值是否
5、在所讨论的区间内 (5)若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x的 值并起来 跟踪训练3 已知f(x)Error! (1)画出f(x)的图像； (2)若f(x) ，求x的取值范围； 1 4 (3)求f(x)的值域5类型三 映射的概念 例4 以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？ (1)集合AP|P是数轴上的点，集合BR，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数 对应； (2)集合AP|P是平面直角坐标系中的点，集合B(x，y)|xR，yR，对应关系 f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应； (3)集合Ax|x是三角形，集合Bx|x是圆，对应关系f：每一个三
6、角形都对应它的 内切圆； (4)集合Ax|x是新华中学的班级，集合Bx|x是新华中学的学生，对应关系f：每 一个班级都对应班里的学生反思与感悟 映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：一般地从A到B的映射与从B 到A的映射是不同的(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与 之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多6 跟踪训练4 设集合Ax|1x2，By|1y4，则下述对应关系f中，不能构成 从A到B的映射的是( ) Af：xyx 2 Bf：xy3x2 Cf：xyx4 Df：xy4x 2 1如图中所示的对应： 其中构成映射的个数为( ) A3 B4 C5 D6 2f(
7、x)的图像如图所示，其中0x1时是一段顶点在坐标原点的抛物线，则f(x)的解 析式是( ) Af(x)Error! Bf(x)Error! Cf(x)Error! Df(x)Error! 3设f(x)Error!则 f(f(0)等于( ) A1 B0 C2 D1 4已知函数yError!则使函数值为 5的x的值是( ) A2或27 B2或 5 2 C2 D2或2或 5 2 5设f(x)Error!g(x)Error!则 f(g()的值为( ) A1 B0 C1 D 1对分段函数的理解 (1)分段函数是一个函数而非几个函数 分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集
8、(2)分段函数的图像应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况， 以决定这些点的虚实情况 2函数与映射的关系 映射f：AB，其中A、B是两个非空的集合；而函数yf(x)，xA，A为非空的数集， 其值域也是数集于是，函数是数集到数集的映射 由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射8 答案精析 问题导学 知识点一 思考 是函数因为从整体来看，A中任一元素x，在B中都有唯一确定的y与之对应 梳理 (1)对应关系 (2)并集 空集 知识点二 思考 因为A不是非空数集，故该对应不是函数但满足“A中任一元素，在B中有唯一 确定的元素与之对应” 梳理 唯一 题型探究 例1 解 过点
9、A，D分别作AGBC，DHBC， 垂足分别是G，H. 因为四边形ABCD是等腰梯形， 底角为45，AB2 cm， 2 所以BGAGDHHC2 cm， 又BC7 cm，所以ADGH3 cm. (1)当点F在BG上，即x0,2时， y x 2 ； 1 2 (2)当点F在GH上，即x(2,5时， y 222(x2)2x2； 1 2 (3)当点F在HC上，即x(5,7时， yS 五边形ABFED S 梯形ABCD S RtCEF (73)2 (7x) 2 1 2 1 2 (x7) 2 10. 1 2 综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为 yError!9 图像如图所示： 跟踪训练1 解 设票价为y
10、元，里程为x公里，定义域为(0,20 由题意得函数的解析式为 yError! 函数图像如图所示： 例2 解 5(，2， f(5)514. (2,2)， 3 f( )( ) 2 2( ) 3 3 3 32 ， 3 (，2， 5 2 f( ) 1 (2,2)， 5 2 5 2 3 2 f(f( )f( ) 5 2 3 2 ( ) 2 2( ) . 3 2 3 2 3 4 引申探究 解 当5x2时，f(x)x14，1；当24， 所以f(5)523.10 因为32时，由x 28，得x 0 或 2 0 6 x 0 (舍去)，故x 0 . 6 6 (2)f(x)8等价于Error! 或Error! 解，x
11、，解得 x ，综合，f(x)8的解集为x|x 6 6 跟踪训练3 解 (1)利用描点法，作出f(x)的图像，如图所示 (2)由于f( ) ，结合此函数图像可知，使f(x) 的x的取值范围是(， 1 2 1 4 1 4 1 2 ，) 1 2 (3)由图像知，当1x1时， f(x)x 2 的值域为0,1， 当x1或x1时，f(x)1. 所以f(x)的值域为0,1 例4 解 (1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应， 所以这个对应f：AB是从集合A到集合B的一个映射 (2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一 个实数对与之对应，所以这个对应f：AB是从集合A到集合B的一个映射 (3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：AB是从集合A到集合 B的一个映射 (4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以11 这个对应f：AB不是从集合A到集合B的一个映射 跟踪训练4 D 对于D，当x2时，由对应关系y4x 2 得y0，在集合B中没有元素 与之对应，所以D选项不能构成从A到B的映射 当堂训练 1A 2.D 3.C 4.C 5.B
