1、湖南省 2017 届高三十校联考第二次考试数学（文史类）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 |(23)0AxZx， |1lnBxyx，则 AB（ ）A (0,eB ,eC ,2D (,2) 2.已知 aibi（ a， R） ，其中 i为虚数单位，则 ab（ ）A 3B 2C 1D 1 3.在区间 1,上随机取一个数 x，若 满足 |xm的概率为 2，则实数 m为（ ）A 0B 1C D 3 4.一个袋中有大小相同，编号分别为 ， 2， 3， 4， 5的五个球，从中有放回地每次取一
2、个球，共取 3 次，取得三个球的编号之和不小于 13 的概率为（ ）A 4125B 715C D 425 5.在 BC中，角 A， ， 所对应的边分别为 a， b， c， sin()3sin2CAB，若 3C，则 ab（ ）A 12B 3C 12或 3D 或 14 6.若 2sinisin77S（ *N） ，则在 1S， 2， 2017S中，值为零的个数是（ ）A143 B144 C287 D288 7.如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）A 43B 32C 56D 68.公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近
3、圆的面积，并创立了“割圆术” 利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率” 如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中 n表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为（ ）（参考数据： 31.72， sin50.28， sin7.5013）A2.598,3,3.1048 B2.598,3,3.1056C2.578,3,3.1069 D2.588,3,3.1108 9.定义运算： 1214233aa，将函数 3sin()1coxfx（ 0）的图象向左平移 23个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则 的最小值是（ ）A 4B
4、 54C 74D 34 10.函数 21()cosxf的图象大致是（ ）11.设 mR，实数 x， y满足,2360,mxy若 |2|18xy恒成立，则实数 m的取值范围是（ ）A 3B C 6D 0 12.设函数21,0()|log|xf若关于 x的方程 ()fa有四个不同的解 1x， 2， 3， 4x且1234xx，则 12434x的取值范围是（ ）A (,)B (,)C 3,)D (3,第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 x， y满足不等式0,1,xy则 2zxy的最大值为 14.已知 13(,)2a， |b， |ab，则 在 a
5、方向上的投影为 15.已知 A， B， C三点都在体积为 503的球 O的表面上，若 43AB， 60CB，则球心 O到平面 的距离为 16.已知 ()fx是 R上可导的增函数， ()gx是 R上可导的奇函数，对 1x， 2R都有1212|()|gff成立，等差数列 na的前 项和为 nS， ()f同时满足下列两条件：2()fa， 9a，则 10S的值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设 na是公比大于 1 的等比数列， nS为其前 项和，已知 37S， 1a， 23， 4a构成等差数列. （）求数列 n的通项公式；（）令 l
6、ba，求数列 nb的前 项和 nT 18.在某次测试后，一位老师从本班 48 同学中随机抽取 6 位同学，他们的语文、历史成绩如表：学生编号 1 2 3 4 5 6语文成绩 x60 70 74 90 94 110历史成绩 y58 63 75 79 81 88（）若规定语文成绩不低于 90 分为优秀，历史成绩不低于 80 分为优秀，以频率作概率，分别估计该班语文、历史成绩优秀的人数；（）用表中数据画出散点图易发现历史成绩 y与语文成绩 x具有较强的线性相关关系，求 y与 x的线性回归方程（系数精确到 0.1） 参考公式：回归直线方程是 ybxa，其中 12()niiiiixy， aybx19.等
7、腰 ABC的底边 6，高 3CD，点 E是线段 BD上异于点 ， 的动点，点 F在 BC边上，且 EF现沿 EF将 B折起到 PF的位置，使 PAE （）证明： EF平面 PA；（）记 Bx， ()V表示四棱锥 CFE的体积，求 ()Vx的最值. 20.已知圆 1C： 260y关于直线 1l： 2y对称的圆为 C （）求圆 的方程；（）过点 (,0)作直线与圆 C交于 A， B两点， O是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形 OASB中 |OB？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.21.已知函数 ()|ln|afxb，其中 ， R且 2a，若 ()ln21ef
8、， ()fx在 ,(1)f处切线的斜率为 1e. （）求函数 ()f的解析式及其单调区间；（）若实数 c， d满足 ，且 ()fcd对于任意 cd恒成立，求实数 的取值范围 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，圆 1C和 2的参数方程分别是 2cosinxy（ 为参数）和cos1inxy（ 为参数） ，以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（）求圆 C和 2的极坐标方程；（）射线 OM： 与圆 1C交于点 O、 P，与圆 2C交于点 O、 Q，求 |P的最大值. 23.选修 4-5：不等式选
9、讲已知函数 ()|2|fx， ()|gxa（）当 0a时，解不等式 ()f；（）若任意 xR，使得 ()x成立，求实数 的取值范围湖南省 2017 届高三十校联考第二次考试数学（文史类）答案一、选择题1-5:CAB 6-10:DCB 11、12： CD二、填空题13.2 14. 14 15.3 16.10三、解答题17.解：（）设数列 na的公比为 q（ 1） ，由已知，得12327,()(4),aa可得21()7,6aq解得 1,2故数列 na的通项公式为 12na（）由（）得 1()lnb，所以 2(10(1)ln2nT)(1)lln2n18.解：（）由表中数据，语文成绩、历史成绩为优秀的
10、频率分别为 12， 3，故该班语文、历史成绩优秀的人数分别为 24、16（）由表中数据可得， 83x， 4y，1()10niiixy， 21()678nii，所以 12()niiiiixyb 0.678， 40.324.a，所以 y与 x的线性回归方程为 .2.yx 19.（）证明： EFAB， 90EFP，故 EFP，而 ABE，所以 平面 P （）解： ， ， 平面 ABC，即 为四棱锥 CF的高. 由高线 CD及 EFAB得 /CD， EF，由题意知 36xE， 6x， 221663921ACFEBEFSSx而 PEBx， 316()3ACFEVSPx（ 06x） ，所以当 6时， ma
11、x(6)2 20.解：（）圆 1C的化为标准为 2(3)9xy，设圆 1C的圆心 1(3,0)关于直线 1l： 2yx的对称点为 (,)ab，则 1lk，且 1C的中点 3(,)2abM在直线 l： 2yx上. 所以有2,3()10,a解得 ,2.ab所以圆 C的方程为 22()()9xy （）由 |OSAB，所以四边形 OASB为矩形，所以 OAB，必须使 0，即 120xy. 当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为 1x，与圆 C： 22(1)()9xy交于两点(1,52)A， (,5)B 因为 12()0O ，所以 OAB，所以当直线的斜率不存在时，直线 l：x满足条件. 当直线的斜率存
12、在时，可设直线的方程为 (1)ykx，设 1(,)Axy， 2(,)B，由22(1)9,xyk得 222(4)40xkxk，由于点 ,0在圆 C内部，所以 0恒成立，22221,2(4)(4)(1)4)kkkx，2124kx，214kx，要使 OAB，必须使 0AOB， 120xy,也就是：22124()1kkx，整理得22244() 011kkk，解得 ，所以直线方程为 yx，存在直线 1和 ，它们与圆 C交 A， B两点，且四边形 OASB对角线相等21.解：（）由于 2a且 ()ln21ef，则 12aeb当 x时， ()lnfxb，即 ()fx，故 (1)1fe，即 e， ，因此 ()
13、|ln|efx令 lngx，则 2()0gx，即 g在 0,上单调递增，由于 ()0e，则 ()|ln|1efxln1,xee故当 x时， ()lf， ()()0fgx， ()f单调递减；当 e时， ln1ex， x， 单调递增 因为 ()fx的单调递减区间为 (0,)， (f的单调递增区间为 (,)e.（）当 2,)e时，取 de，则 ced，由于 ()fx在 上单调递增，则 ()ff，不合题意，故舍去；当 20,e时，由抽屉原理可知 e，则 ()ln1d，若 c，由于 ()fx在 0,e上单调递减，则 fc成立；若 e， d，则 ln1lncd，故 ()fc，由于 20,e，则 l， ed
14、（当且仅当 2e时取“ ”） ，由于 de，故上式无法取“ ”，因此 ()fcd恒成立， 2(0,e.22.解：（）圆 1C和 2的普通方程分别是 24xy和 1)xy，圆 1和 2的极坐标方程分别为 4cos， sin.（）依题意得点 P、 Q的极坐标分别为 (,)P， (2i,)Q， |4cos|O， |2sin|，从而 |4s|O，当且仅当 in21，即 4时，上式取“ ”， |取最大值 423.解：（）当 0a时，由 ()fxg，得 |21|x，两边平方整理得 2x，解得 0或 ，原不等式的解集为 (,) （）由 ()fxg，得 |21|ax，令 ()|21|hxx，即1,2()3,1xhx故 min3()()2hx，故可得到所求实数 a的取值范围为 3(,2.
