1、2016-2017 学年湖南省衡阳市衡阳四中高三（上）10 月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设 i 是虚数单位，则 i 的虚部为（ ）A B C D2已知集合 M=0，1，集合 N=x|x2+x=0，则集合 MN=（ ）A0 B C0 D1，0，13已知向量 =（x1，2） ， =（2，1） ，则 的充要条件是（ ）Ax= Bx= 1 Cx=5 Dx=04命题“存在 x0R，2 x00” 的否定是（ ）A不存在 x0R，2 x00 B存在 x0R，2 x00C对任意的 xR，2 x0 D对
2、任意的 xR，2 x05已知函数 f（x）=3ax 2+bx5a+b 是偶函数，且其定义域为6a1，a，则 a+b=（ ）A B1 C1 D76执行如图的程序框图，若输入的 x 的值为 1，则输出的 y 的值是（ ）A4 B13 C16 D287f（x）= 在（ ）A （，1）（1，+）上是增函数 B （ ，1）（1，+）上是减函数C （，1） ， （1，+）分别是增函数 D （，1） ， （1，+）分别是减函数8已知 sin（ ）= ，则 cos（ +）= （ ）A B C D9已知 y=loga（2ax ）是0， 1上的减函数，则 a 的取值范围为（ ）A （0，1） B （1，2） C
3、（0，2） D （2，+）10函数 f（x）=log a|x|+1（0a1）的图象大致为（ ）A B C D11设奇函数 f（x）在（0， +）上为增函数，且 f（1）=0，则不等式 0 的解集为（ ）A （1， 0）（1，+） B （ ，1）（0，1） C （ ，1）（1，+） D （1，0）（0，1）12如果函数 y=f（x）在区间 I 上是增函数，而函数 y= 在区间 I 上是减函数，那么称函数 y=f（x）是区间 I 上“ 缓增函数” ，区间 I 叫做“缓增区间” ，若函数 f（x）= 是区间 I 上“ 缓增函数”，则“缓增区间” I 为（ ）A1，+） B C0，1 D二、填空题（本
4、大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知幂函数 f（x）=x 的图象过点（ ， ） ，则 = 14已知 =（ 2，1） ， =（3，4） ，则 3 +4 = 15已知 0a1，k0，函数 f（x）= ，若函数 g（x）=f（x） k 有两个零点，则实数 k的取值范围是 16设 f（x）是（，+）上的奇函数，f（x+2）= f（x） ，当 0x1 时，f（x）=x当4x4 时，f（x）的图象与 x 轴所围成图形的面积是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知数列a n满足：a 3=13，a n=an1+4（n1，n N） （1
5、）求 a1，a 2 及通项 an；（2）设 Sn 为数列a n的前 n 项和，则数列 S1，S 2，S 3， 中哪一项最小？18函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，f（0）=0 ，当 x0 时，f （x）=log x（）求函数 f（x）的解析式；（）解不等式 f（x 21）219已知函数 f（x）=2 sinxcosx2sin2x，xR （1）求函数 f（x）的最小正周期与单调增区间；（2）求函数 f（x）在0， 上的最大值与最小值20某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工，根据这 50 名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示） ，其中样本数据分组
6、区间为40，50，50，60，80，90，90，100（1）求频率分布图中 a 的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率；（3）从评分在40，60的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人评分都在40，50的概率21已知函数 f（x）=x 21，g（x）=a|x1|（1）若当 xR 时，不等式 f（x）g（x）恒成立，求实数 a 的取值范围；（2）求函数 h（x）=|f（x）|+g（x）在区间0，2上的最大值22在极坐标系中，已知曲线 C：= sin（ ） ，P 为曲线 C 上的动点，定点 Q（1， ） （）将曲线 C 的方程化成直角坐标方程，并说明它是什么曲线；（）求
7、P、Q 两点的最短距离2016-2017 学年湖南省衡阳市衡阳四中高三（上）10 月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设 i 是虚数单位，则 i 的虚部为（ ）A B C D【考点】复数的基本概念【分析】直接由复数的基本概念得答案【解答】解：复数 i 的虚部为： 故选：A2已知集合 M=0，1，集合 N=x|x2+x=0，则集合 MN=（ ）A0 B C0 D1，0，1【考点】交集及其运算【分析】求出 N 中方程的解得到 x 的值，确定出 N，求出 M 与 N 的交集即可【解
8、答】解：由 N 中方程变形得： x（x+1）=0 ，解得：x=0 或 x=1，即 N=1，0，M=0，1，M N=0，故选：C3已知向量 =（x1，2） ， =（2，1） ，则 的充要条件是（ ）Ax= Bx= 1 Cx=5 Dx=0【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】直接利用向量垂直的充要条件，通过坐标运算求出 x 的值即可【解答】解：因为向量 =（ x1，2） ， =（2，1） ， ，所以 2（x1）+ 2=0，解得 x=0故选 D4命题“存在 x0R，2 x00” 的否定是（ ）A不存在 x0R，2 x00 B存在 x0R，2 x00C对任
9、意的 xR，2 x0 D对任意的 xR，2 x0【考点】命题的否定【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论【解答】解：命题“存在 x0R，2 x00”的否定是对任意的 xR，2 x0，故选：D5已知函数 f（x）=3ax 2+bx5a+b 是偶函数，且其定义域为6a1，a，则 a+b=（ ）A B1 C1 D7【考点】偶函数；函数的定义域及其求法【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称，区间的端点值互为相反数求得 a 值，再利用偶函数的定义f（ x）=f （x）求出 b 值，可求 a+b 的结果【解答】解：函数 f（x）=3ax 2+bx5a+b 是偶函数，且其定义域为6a1，a，定义域关于
10、原点对称，6a1+a=0，a= ，f（x）= x2+bx +b，再由偶函数的定义 f（x）=f（x）得，b=0，故 a+b= ，故选 A6执行如图的程序框图，若输入的 x 的值为 1，则输出的 y 的值是（ ）A4 B13 C16 D28【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出得到的 x，y 的值，当 x=2 时不满足条件 x2，计算并输出 y 的值为 13【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=1满足条件 x2，x=2不满足条件 x2，y=13输出 y 的值为 13故选：B7f（x）= 在（ ）A （，1）（1，+）上是增函数 B （ ，1）（1，+）上是减函数C （，1） ， （1
11、，+）分别是增函数 D （，1） ， （1，+）分别是减函数【考点】函数单调性的判断与证明【分析】将 f（x）变量分离得 f（x）=1 ，将 y= 的图象向右平移 1 个单位，可得 y= 的图象，再向下平移 1 个单位，即可得到 f（x）的图象，则有 f（x）在 x1，x1 上均为增函数，即可得到结论【解答】解：f（x）= =1 ，由函数 y= 在 x0，x0 均为增函数，则将 y= 的图象向右平移 1 个单位，可得 y= 的图象，再向下平移 1 个单位，即可得到 f（x）的图象，则有 f（x）在 x1，x1 上均为增函数，则有函数 f（x）的增区间为（ ，1） ， （1，+） 无减区间故选
12、C8已知 sin（ ）= ，则 cos（ +）= （ ）A B C D【考点】运用诱导公式化简求值【分析】利用诱导公式把 转化成 sin（ ） ，进而利用题设中的条件求得答案【解答】解： =sin（ ）=sin （ ）=故选 D9已知 y=loga（2ax ）是0， 1上的减函数，则 a 的取值范围为（ ）A （0，1） B （1，2） C （0，2） D （2，+）【考点】对数函数的单调区间【分析】本题必须保证：使 loga（2ax）有意义，即 a0 且 a1，2ax0使 loga（2ax）在0，1上是 x 的减函数由于所给函数可分解为 y=logau，u=2ax，其中 u=2ax 在 a0
13、 时为减函数，所以必须a1；0， 1必须是 y=loga（2ax）定义域的子集【解答】解：f（x）=log a（2ax）在0，1上是 x 的减函数，f（0）f （1） ，即 loga2log a（ 2a） ，1a2故答案为：B10函数 f（x）=log a|x|+1（0a1）的图象大致为（ ）A B C D【考点】函数的图象【分析】函数是偶函数，图象关于 y 轴对称，x0 时，单调递减；x0 时，单调递增，且图象过（1，1） 、（1 ，1 ） ，由此得出结论【解答】解：由于函数 f（x） =loga|x|+1（0a1）是偶函数，图象关于 y 轴对称当 x0 时，f（x）=log a x+1，是
14、减函数当 x0 时，f（x）=log a （x ）+1，是增函数再由图象过（1，1） 、 （1，1 ）可得，应选 A，故选 A11设奇函数 f（x）在（0， +）上为增函数，且 f（1）=0，则不等式 0 的解集为（ ）A （1， 0）（1，+） B （ ，1）（0，1） C （ ，1）（1，+） D （1，0）（0，1）【考点】奇函数【分析】首先利用奇函数定义与 得出 x 与 f（x）异号，然后由奇函数定义求出 f（1）=f（1）=0 ，最后结合 f（x）的单调性解出答案【解答】解：由奇函数 f（x）可知 ，即 x 与 f（x）异号，而 f（1）=0 ，则 f（1）= f（1）=0，又 f（
15、x）在（0，+）上为增函数，则奇函数 f（x）在（ ，0）上也为增函数，当 0x1 时，f（x）f（1）=0，得 0，满足；当 x1 时，f（x）f（1）=0，得 0，不满足，舍去；当1 x 0 时， f（x）f（1）=0，得 0，满足；当 x1 时，f （x）f（1）=0，得 0，不满足，舍去；所以 x 的取值范围是1x 0 或 0x1故选 D12如果函数 y=f（x）在区间 I 上是增函数，而函数 y= 在区间 I 上是减函数，那么称函数 y=f（x）是区间 I 上“ 缓增函数” ，区间 I 叫做“缓增区间” ，若函数 f（x）= 是区间 I 上“ 缓增函数”，则“缓增区间” I 为（ ）
16、A1，+） B C0，1 D【考点】函数单调性的判断与证明【分析】由题意，求 f（x）= 的增区间，再求 y= = x1+ 的减函数，从而求缓增区间【解答】解：f（x）= 在区间1，+）上是增函数，y= = x1+ ，y= = ；故 y= = x1+ 在 ， 上是减函数，故“缓增区间” I 为1， ；故选 D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知幂函数 f（x）=x 的图象过点（ ， ） ，则 = 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】利用点在函数的图象上，列出方程求解即可【解答】解：幂函数 f（x）=x 的图象过点（ ， ） ，可得 = ，解得 故
17、答案为： 14已知 =（ 2，1） ， =（3，4） ，则 3 +4 = （ 6，19） 【考点】平面向量的坐标运算【分析】由 =（2，1） ， =（ 3，4） ，能够推导出 3 +4 =（6，3）+（12，16）=（ 6，19） 【解答】解： =（2，1） ， =（ 3，4） ，3 +4 =（6， 3）+（12，16）=（6， 19） 故答案为：（6，19） 15已知 0a1，k0，函数 f（x）= ，若函数 g（x）=f（x） k 有两个零点，则实数 k的取值范围是 （0，1） 【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】画出分段函数的图象，数形结合得答案【解答】解：由分段函数 f（ x）=
18、，由 y=f（x）k=0，得 f（x）=k 令 y=k 与 y=f（x） ，作出函数 y=k 与 y=f（x）的图象如图：由图可知，函数 y=f（x）k 有且只有两个零点，则实数 k 的取值范围是（0，1） 故答案为：（0，1） 16设 f（x）是（，+）上的奇函数，f（x+2）= f（x） ，当 0x1 时，f（x）=x当4x4 时，f（x）的图象与 x 轴所围成图形的面积是 4 【考点】函数的图象【分析】由 f（x）是奇函数且 f（x+2）=f（x） ，知函数 y=f（x）的图象关于直线 x=1 对称由此能够求出当4 x4 时，设 f（x）的图象与 x 轴围成的图形面积为 S【解答】解：由
19、 f（x）是奇函数且 f（x+2）=f（x） ，得 f（x 1）+2= f（x1）=f（x 1），即 f（1+x）=f（1x） ，故知函数 y=f（x）的图象关于直线 x=1 对称又 0x1 时，f（x）=x，且 f（x）的图象关于原点成中心对称，则 f（x）的图象如图所示当4 x 4 时，设 f（x）的图象与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S=4 21=4故答案为：4三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知数列a n满足：a 3=13，a n=an1+4（n1，n N） （1）求 a1，a 2 及通项 an；（2）设 Sn 为数列a n的前 n 项和，则数列 S1，S 2，S 3， 中哪一项最小？【考点】等差数列的前 n 项和；数列的函数特性；等差数列的通项公式【分析】 （1）由题意可得数列a n为等差数列且公差为 4，易得 a1，a 2 及通项 an；（2）由 an0 可得数列a n的前 6 项为负值，从第 7 项开始为正数，可得结论【解答】解：（1）数列a n满足：a 3=13，a n=an1+4，a nan1=4，即数列a n为等差数列且公差为 d=4，
