1、湖南省衡阳市 2017 届高三上学期期末考试（文科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，则 （ ）2|20,|30AxBxABA B C D3,2)31(,12,12. 已知复数 ， （ 为虚数单位） ，则 所对应的点位于（ ）4iZiZA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.已知 ：幂函数 在 上单调递增； ，则 是 的（ ）p21myx0,:21qmpqA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4.一个四面体的三视图如图所示，则该四面
2、体的外接球的表面积为（ ）A B C. D4342325.已知函数 ，若 ，则 （ ）2,0logxbf1fbA B 0 C. 2 D316.已知实数满足 ，若 ，则 的取值范围为（ ）1xy1zxyzA B C. D5,35,030,55,37.已知正四面体 的棱长为 1，且 ，则 （ ）CD2,AEBFECA B C. D23133138.九章算术之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题， 张丘建算经卷上第 22 题为：“今有女善织，且益功疾（注：从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布） ，第一天织 5 尺布，现一月（按30 天计）共织 390 尺布” ，则从第 2 天起每天比前一
3、天多织布的尺数为（ ）A B C. D1281516316299.在 中，三个内角 成等差数列，且 ，则 （ ）C,ACcos3AsinCA B C. D3625656235610.在区间 中随机取一个实数 ，则事件“直线 与圆 相交”发生的概率为, kykx21y（ ）A B C. D393633211.在 中，角 的对边分别为 ，且 ，则C,A,abcsin2sin2iBAabAC（ ）A B C. D63235612.函数 在定义域 内恒满足： ， ，其中 为fx0,0fx23fxffxfx的导函数，则（ ）fA B C. D142f1628f132f1824f第卷（共 90 分）二、填
4、空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.直线 过点 ，且 在 轴上的截距的取值范围为 ，则直线 的斜率的取值范围为 l1,Aly0,2l14.如图所示的程序框图中，输出的 的值为 S15.将函数 的图象向右平移 个单位，所得图象关于原点对称，则 的最sin3cosfxx0小值为 16.已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物线的焦点， 在抛物线上且满足A24yBP，当 取最大值时，点 恰好在以 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 PmBP,A三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12
5、 分）数列 的前 项和为 满足： ，数列 满足： ， ，. nanS2nnb314b0n2210bb（1 ）求数列 与 的通项公式；n（2 ）设 ，求数列 的前 项和 .cancnT18. （本小题满分 12 分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种种子发芽颗数之间的关系进行分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数，得到如下数据：日期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日温差 xC10 11 13 12 8发芽数 （颗）y23 25 30 26 16该农科所
6、确定的研究方案是：先从这 5 组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验.（1）求选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 天数据的概率；（2）若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，求 关于y的线性回归方程 ；xybxa（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2（颗） ，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（注： ）1122,nniiiii iixyxyb aybx19. （本小题满分 12 分）如图所示，在直
7、三棱柱 中，底面 是等腰三角形，且斜边 ，侧棱 ，1ABCABC2AB14A点 为 的中点，点 在线段 上， .DE1ER（1）求证：不论 取何值时，恒有 ；1CDBE（2）当 为何值时， 面 .1BE20. （本小题满分 12 分）如图所示，抛物线 的焦点为 上的一点 满足 .2:0Cxpy,FC4,Mm4F（1）求抛物线 的标准方程；C（2）过点 作不经过原点的两条直线 分别与抛物线 和圆 相切于点1,0E,EABC22:4Fxy，试判断直线 是否过焦点 .,ABABF21. （本小题满分 12 分）已知函数 ，记 为 的导函数.22lnfxxagxf（1）若曲线 在点 处的切线垂直于直线
8、 ，求 的值；y1,f 30ya（2）讨论 的解的个数；0gx（3）证明：对任意的 ，恒有 .2st1gst请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线xOyx的参数方程为 （ 为参数） ，圆 的极坐标方程为 .l21tyC42sin4（1）求直线 的普通方程与圆 的直角坐标方程；l（2）设圆 与直线 交于 两点，若点 的直角坐标为 ，求 的值.C,ABP2,1PAB23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等
9、式选讲已知函数 ，记 的最小值为 .12fxxfxk（1）解不等式： ；f（2）是否存在正数 ，同时满足： ，若存在，求出 的值，若不存在，请说,ab12,4?abk,ab明理由.试卷答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：CDABADBCD二、填空题13. 14. 15. 16. 1,12321三、解答题17.解：（1）当 时， ，1na当 时，2*21nSN检验 ，满足 2 分1a221100nnnnbbb 又 2130, ,4qq又 6 分*12nnbN（2）由（1）得1nnC21352nnT 211132 2nn 两式相减得132nnT12 分16n18.解：（1）设抽到不相邻
10、两组数据为事件 ，因为从第 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情况，每种A情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有 4 种，所以 43105PA故选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 天数据的概率是 ，435分（2）由数据，求得 113,206273xy1397,250697,314nixyy ，由公式得 ，249743b，aybx所以 关于 的线性回归方程这 8 分52yx（3）当 时，10x532,32yx同样地，当 时，88176所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠12 分19.（1）证明：在等腰直角三角形 中， ，点 为 的中点，ABCDAC，2CDAB分又在直三棱柱
11、 中， 平面 平面 ，11,B，41A分又 平面 ，5 分1,BCD1AB又不论 取何值时， 平面 .61E1,CDBE分（2）由（1）得 ，故只需保证 即可8 分1CB1224,84,46ExExC11 分0,故当 即当 为 的中点时， 面 .12 分121A1BED20.（1）抛物线的准线方程为 2Py所以 ，又因为 ，所以 ，得 ，4PMFm6pm28160p4p所以抛物线的标准方程为 4 分28xy（2）设 ，联立 ，消去 得： ，:1EAky21kx2810kyy因为 与圆 相切，所以 ，即C2840所以 ，得 7 分1,2Ayx1,A设 ，联立 ，消去 得： ，:EBt224xky
12、x21410tyty因为 与圆 相切，所以 ，即 ，EBF2410tt34t所以 ，得 10 分48,5yx,5B所以直线 的斜率 ，A34Ak可得直线 的方程为 ，显然经过焦点 12 分2yx0,2F21. 解：（1）由已知可得，函数 的定义域为f，所以 在点 处的切线的斜率2lngxxayx1,f 12kfa又切线垂直于直线 ，所以 ，即 ，所以 3 分30k2a2（2）由（1）可得 ，令 得 ，21lngxx0gxln,0xx则 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增.hxh, 1,又当 时， ，当 时， ，当 时， ，0xxhxhx故当 时， 无解；ag当 时， 有唯一解；x当 时，
13、有两解.800分（3）令 22ln1xxgxxax在 单调递减，又0,2 0,ststgst，12,1gtgststs分22. 解：（1）直线的普通方程为： ，2yx分，所以 ，42sin4sincos24sincos所以曲线 的直角坐标方程为： .5C20xy分（2）点 在直线 上，且在圆 内，把 代入,1PlC21xty240xy得 ，设两个实根为 ，则 ，即 异号，所以270t12,t1212,70tt12,t10 分12PABt23. 解：（1）不等式 化为fxxx设函数 ，1yx则 ，令 ，解得 ，23,14,x0y243x原不等式的解集是 5 分2|43x（2） 121fx当且仅当 ，即 时取等号，故 7 分20xk假设存在符合条件的正数 ，则 ，,ab1244228abaab当且仅当 ，即 时取等号，4,1ab1,的最小值为 8，即12ab4不存在正数 ，使得 同时成立.10 分, 22,ab
