1、2017 届湖南省衡阳市高三上学期期末考试数学（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数 ，其中 为虚数单位，则 所对应的点位于（ ）21izizA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2.已知集合 ，则 （ ）12|log,|2xxBABA B C D1,2,0,0,23.执行如下图所示的程序框图，输出 的值为（ ）SA1 B C D 2015201620174.投掷一枚质地均匀的骰子两次，记 两次的点数均为奇数 ， 两次点数之和为 ，则AB4（ ）|PA B C. D1
2、22914235.若正三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则它的侧视图的面积为（ ）A B C. D33232346.设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ，如果直线 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此FBF双曲线的离心率为（ ）A B C. D233125127.函数 的部分图象可能是（ ）2sinlfxx8.过抛物线 的焦点的直线与圆 相交，截得弦长最短时的直线方程为（ 24yx240xy）A B C. D10x101xy10xy9.在 中， 边上的高为 在 上，点 位于线段OB,5,2,AOAB,OABE上，若 ，则向量 在向量 上的投影为（ ）D34EEADA 或 B 1 C.1 或
3、 D123123210.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：“置如其周，令相承也，又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了圆锥的底面周长 与高 ，计算其体积 的近似公式 ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周LhV2136Lh率 近似取为 3.那么近似公式 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为（ ）275LhA B C. D2728105111.如下图，圆 与 轴的正半轴的交点为 ，点 在圆 上，且点 位于第一象限，点 的坐标为OxA,CBOCB若 ，则 的值为（ ）43,5C1233cosincos2A B C. D45
4、35453512.设函数 ，若不等式 在 上有解，则实数3226xfexaex0fx2,)的最小值为（ ）aA B C. D312e12e3142e1e第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.三位女同学两位男同学站成一排，男同学不站两端的排法总数为 （用数字填写答案）14.已知实数 满足 ，则 的取值范围是 ,xy401xy15.在 中，已知角 的正切值为函数 在 处切线的斜率，且 ，则ABCA2lnx110,2absin16.表面积为 的球面上有四点， 且 是边长为 的等边三角形，若平面 平面20,SBCA3SAB，则三棱锥 体积的最大值是 A
5、BSAB三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）已知数列 的前 项和为 ，且 成等差数列.nanS,na（1）求数列 的通项公式 ；（2）记 ，求数列 的前 项和 .2log1nnbnbnT18. （本小题满分 12 分）酒后违法驾驶机动车危害巨大，假设驾驶人员血液中的酒精含量为 （简称血酒含量，单位是毫克Q毫升） ，当 时，为酒后驾车；当 时，为醉酒驾车，如图为某市交管部门在一次夜/10208Q80间行动中依法查处的 60 名酒后违法驾驶机动车者抽血检测后所得频率分布直方图.（1）求查获的醉酒驾车的人数；（2
6、）从违法驾车的 60 人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取 8 人做样本进行研究，再从抽取的 8人中任取 3 人，求 3 人中含有醉酒驾车人数 的分布列和数学期望.19. （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 是直角梯形，PABCDABCD是 上的点.,22,ABEP（1）求证：平面 平面 ；EACPB（2）若 是 的中点，且二面角 的余弦值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦PBACE63PAEC值.20. （本小题满分 12 分）椭圆 的上顶点为 是椭圆 上的一点，以 为直径的圆经过2:10xyCab42,3bAPCAP椭圆 的右焦点 .F（1）求椭圆 的方程；（2
7、）设 为椭圆 的左焦点，过右焦点 的直线 与椭圆 交于不同两点 ，记 的内切圆1C2FlC,MN1F的面积为 ，求当 取最大值时直线 的方程，并求出最大值.Sl21. （本小题满分 12 分）已知 ，其中 是 的反函数.sin,lfxagx1,aRygxygx（1）若 ，证明：函数 在区间 上是增函数；01Gf0,（2）证明： ；21sinlk（3）设 ，若对任意的 有 恒成立，求满足条件1Fxgmxb0,xm0Fx的最小整数 的值.b请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点 为极
8、点， 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，Ox已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 的极坐标方程为 .曲1C2cosiny2Ccos2in0线 的图象与 轴、 轴分别交于 两点.2x,AB（1）判断 两点与曲线 的位置关系；,AB1（2）点 是曲线 上异于 两点的动点，求 面积的最大值.M1C,MA23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 的最大值为 .2fxxk（1）求 的值；k（2）若 ，求 的最大值.22,acbRbkac试卷答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：BCDDBABC二、填空题13. 36 14. 15. 16. 4,33
9、53三、解答题17.解析：（1） 成等差数列， ， 2 分,naS2nnSa又 12nS得 即 即 ， 4 分 n12na12nn又当 时，11,a故数列 是首项为 2 公比为 2 的等比数列，na 12nn即 . 6 分2（2）由（1）知， ， 8 分2 2log1log12nnnnnba记 23nK 41n 得 - 231122nn nn =11nK-,=. 12 分1 122322nnTn 18. 解析：（1）酒精含量大于 80 的频率为 ，0.5.0.50.所以醉酒驾车的人数为： 人； 4 分60.251（2）由分层抽样对应比例相同可知抽取 8 人做样本，则醉酒驾车人数为 2 人，所以
10、 的可能取值为X0,16 分， 8 分3211266 63 388 855, ,14CCCPXPXPX的分布列为0 1 2P458310 分数学期望值为： 12 分41532102884XE19.（1）证明： 平面 平面 ，PC,ABDC,ABCP，222,1,AB AB又 平面 ，P平面 平面 平面 . 4 分C,EACB（2）以 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则 ，0,1,0,CAB设 ，则0,Pa1,2a， 6 分1,0,CACE取 ，因为 ，所以 为面 的法向量，,m0mPAmPAC设 ，取 ，则 ，nxyzn即 ，取 ，则 ， 8 分0a,2xayz,2na依题意 ，则 10
11、分26cos, 3mn于是 ，2,1,nPA设直线 与平面 所成角为 ，则 . 12 分EC 2sinco,3PAn20. 解析：（1）由题知 ， 2 分2 24,0,03bFcAPF得 ？，22403bc又 点在椭圆 上，所以 解得 ，PC2319ba24a又 ？，224abc联立:解得： ，故所求椭圆的方程 . 5 分2,b214xy（2）易知直线 的斜率不为 0，可设直线 的方程为： ，l l 12,mAxyB由 得： ，24xmy220y， 7 分1212,m设内切圆的半径为 的周长为 ，面积为 ，由椭圆的定义和1,rFMNC1,2SCr，要使内切圆面积 最大，只需要求 的面积 最大，
12、48,4CaS1FMNS的面积为： ，1FN2121242cyyy，令 10 分2224mm2,1tt，当且公当 即 时取等号，此时241tSt1t02,rSm直线 的方程为： . 12 分l2x21. 解：（1）由题意： ，1sin1l,cosGaxGxax当 时，0,1xa,co,cs0x故函数在区间 上是增函数. 3 分,（2）由（1）知，当 时， 在 单调递增sin1lGx,1 5 分sinl10?0x令 ，所以21xk21kx222 12sinsinlnlln1kkk21 34illll231k 8 分lnln（3）由 12 210xFxgmxbemb即： 又min0,?eF 则 ，
13、单调递增；又,x 00则必然存在 ，使得 在 单调递减， 单调递增，01?xx,0,x 020xFxeb则 ，又020xbm00 22?xx eem0 0001x xe又 ，则0,ln2恒成立 10 分001,ln22xbe令 ,lxm则 11022xxxeme 在 单调跌增 又0,ln 在 单调递增?mx,lx 又 为整数l2?2lnb最小整数 的值为：2. 12 分b22. 解：（1）曲线 的普通方程为 ，曲线 的直角坐标方程为1C214xy2C20xy联立方程可求得的交点分别是 ，2,0,1AB易知两点 分别是曲线 的左顶点和下顶点，故两点 均在曲线 上. 5 分,AB1C,AB1C（2）设 的坐标为 ，则点 到直线 的距离为Mcos,in,)M20xy22cos2i 455d而 的长度为 ，所以 的面积为ABAB12sin14MABSd故 . 10 分max21MS23. 解析：（1）由于 3,1,xf所以 5 分max12kff（2）由已知 ，有 ，2cb224abc因为 （当 取等号） ， （当 取等号） ，2a2b所以 ，即 ，24bcabc2c故 . 10 分maxc
