1、衡阳八中 2017 届高三年级第一次质检试卷理数（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第一次质检试卷，分两卷。其中共 22 题，满分 150 分，考试时间为120 分钟。2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考 15 分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用 2B 铅笔填涂，非选择题部分请用黑色 0.5mm 签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。预祝考生考试顺利第 I 卷 选择题（每题 5 分，共 60 分）本卷共 12 题，每题 5 分，共 60 分，在每题后面
2、所给的四个选项中，只有一个是正确的。1.设集合A=x|2x3，B=x|x+10，则集合AB等于（ ）Ax|2x1 Bx|2x1Cx|1x3 Dx|1x32.复数 满足 ，则在复平面内，复数 对应的点位于（ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限3.春节前，某市一过江大桥上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的 6 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 6 秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 3 秒的概率是（ ）A B C D4.已知 ，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（ ）A4 B4 C D5.设等差数列
3、a n的前n项和为S n，若a 2+a4+a9=24，则S 9=（ ） A36 B72 C144 D706.已知函数f（x）=3cos（ x）（0），函数f（x）相邻两个零点之间的绝对值为 ，则下列为函数f（x）的单调递减区间的是（ ）A0， B ，C ， D ， 7.设不等式 4xm（4 x+2x+1）0 对于任意的x0，1恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A（， B C D ，+）8.已知高为 4 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（ ）A B C D9.已知抛物线方程为y 2=4x，直线l的方程为xy
4、+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d 1，P到直线l的距离为d 2，则d 1+d2的最小值为（ ）A B C D10.如图所示的程序框图，若执行后的结果是 ，则在处应填写的是（ ）Ai3？ Bi4？ Ci5？ Di6？11.已知偶函数f（x）的定义域为x|xR且x0，f（x）= ，则函数的零点个数为（ ）A12 B10 C8 D612.对于曲线C所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角，使得AOB对于曲线C上的任意两个不同点A、B恒成立，则称为曲线C相对于O的“界角”，并称最小的“界角”为曲线C相对于O的“确界角”，已知曲线M：y= ，（其中e为自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线M
5、相对于O的“确界角”为（ ）A B C D第II卷 非选择题（共 90 分）二.填空题（每题 5 分，共 20 分）13.若命题“存在xR，使得 2x23ax+90 成立”为假命题，则实数a的取值范围是 14.已知变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是 15.已知m、n是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中所有正确命题的序号是_若m，n，m、n ，则 .若，m，n ，则mn .若m，mn，则n .若n，n，m，那么mn .16.已知椭圆 ，过右焦点F且斜率为k（k0）的直线与C相交于A、B两点，若 = 三.解答题（共 8 题，共 70 分）17.(本题满分 12
6、 分)数列a n是首项 a1=4 的等比数列，s n为其前 n 项和，且 S3，S 2，S 4成等差数列（）求数列a n的通项公式；（）若 bn=log2|an|，设 Tn为数列 的前 n 项和，求证 Tn 18.（本题满分 12 分）从某学校高三年级共 800 名男生中随机抽取 50 人测量身高据测量，被测学生身高全部介于 155cm 到195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组155，160）；第二组160，165）；第八组190，195如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列（1）估计这所学校高三年
7、级全体男生身高在 180cm 以上（含 180cm）的人数；（2）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为 x、y，求满足“|xy|5”的事件的概率19.（本题满分 12 分）已知在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，平面 PAB平面 ABCD，R、S 分别是棱 AB、PC 的中点，ADBC，ADAB，PDCD，PDPB，AB=BC=2AD=2（）求证：平面 PAD平面 PBC；RS平面 PAD；（）若点 Q 在线段 AB 上，且 CD平面 PDQ，求二面角 CPQD 的余弦值20.（本题满分
8、12 分）如图：A，B，C 是椭圆 的顶点，点 F（c，0）为椭圆的右焦点，原点 O 到直线CF 的距离为 ，且椭圆过点 （）求椭圆的方程；（）若 P 是椭圆上除顶点外的任意一点，直线 CP 交 x 轴于点 E，直线 BC 与 AP 相交于点 D，连结DE设直线 AP 的斜率为 k，直线 DE 的斜率为 k1，问是否存在实数 ，使得 成立，若存在求出 的值，若不存在，请说明理由21.（本题满分 12 分）已知函数 f（x）=（x 23x+3）e x的定义域为2，t，设 f（2）=m，f（t）=n（1）试确定 t 的取值范围，使得函数 f（x）在2，t上为单调函数；（2）求证：mn；（3）求证：
9、对于任意的 t2，总存在 x0（2，t），满足 = （t1） 2；又若方程= （t1） 2；在（2，t）上有唯一解，请确定 t 的取值范围22.（本题满分 10 分）已知曲线 C 的极坐标方程是 =4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直 l 的参数方程是 （t 是参数）（1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，且|AB|= ，求直线的倾斜角 的值衡阳八中 2017 届高三年级第一次质检参考答案数学题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C C B C B C A C
10、D B A B13.2 ，2 14.915.16.17. （I）设等比数列a n的公比为 q当 q=1 时，S 3=12，S 2=8，S 4=16，不成等差数列q1，2S2=S3+S4， ，即 q4+q32q 2=0q0，q1，q=2，a n=4（2） n1 =（2） n+1（）b n=log2|an|=log2|（2） n+1|=n+1， ， 18.（1）由频率分布直方图得：前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）5=0.82，后三组频率为 10.82=0.18，人数为 0.1850=9，这所学校高三年级全体男生身高在 180cm 以上（含 180cm）的人数为
11、8000.18=144（2）由频率分布直方图得第八组频率为 0.0085=0.04，人数为 0.0450=2，设第六组人数为 m，则第七组人数为 92m=7m，又 m+2=2（7m），解得 m=4，所以第六组人数为 4，第七组人数为 3，频率分别等于 0.08，0.06. 分别等于 0.016，0.012其完整的频率分布直方图如图（3）由（2）知身高在180，185）内的人数为 4，设为 a、b、c、d，身高在190，195内的人数为 2，设为 A、B，若 x，y180，185）时，有 ab、ac、ad、bc、bd、cd共 6 种情况；若 x，y190，195时，有 AB 共 1 种情况；若
12、x，y 分别在180，185）和190，195内时，有 aA、bA、cA、dA、aB、bB、cB、dB，共 8 种情况所以基本事件总数为 6+1+8=15，事件“|xy|5”所包含的基本事件个数有 6+1=7，P（|xy|5）= 19.（）证明：在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，平面 PAB平面 ABCD，ADAB，AD平面 APB，又 PB平面 APB，PBAD，PDPB，ADPD=D，PB平面 PAD，PB平面 PBC，平面 PAD平面 PBC证明：取 PB 中点 M，连结 RM，SM，R、S 分别是棱 AB、PC 的中点，ADBC，SMCBAD，RMAP，又 ADAP
13、=A，平面 PAD平面 SMR，RS平面 SMR，RS平面 PAD（）解：由已知得 ，解得 AP=1，BP= ，PQ= ，AQ= ，BQ= ，以 Q 为原点，QP 为 x 轴，QB 为 y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 Q（0，0，0），P（ ），D（0， ，1），C（0， ，2）， ， ， =（0， ，2），设平面 PDQ 的法向量 ，则 ，取 y=2，得 ，设平面 PCQ 的法向量 ，则 ，取 b=4，得 =（0，4，3），设二面角 CPQD 的平面角为 ，cos=|cos |=| |= ，二面角 CPQD 的余弦值为 20.（）由题意，得 C（0，b），直线 CF 的方程为 y= +b，即 bx+cybc=0，又原点 O 到 CF 的距离为 ， = ，由 b2+c2=a2整理，得 a=2b，又椭圆过点 ， =1，解得 a2=16，b 2=4，椭圆方程为 （）由（）知 B（4，0），C（0，2），故直线 BC 的方程为 y= ，直线 AP 的斜率为 k，点 A（4，0），直线 AP 的方程为：y=k（x4），联立 ，得（4k 2+1）x 232k 2x+64k216=0，又点 P（x P，y p）在椭圆上，故有：4x P= ，x P= ， ，P（ ， ），
