1、 数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的虚部为（ ）z2iizA B C D2 2i2i2. “ ” 是“ ”（ ）条件63tanA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D即不充分也不必要条件3. 下列函数中，在区间 上为增函数的是 （ ）1,A B 2xy1xyC D12log24. 已知正项数列 中， ，则 （ ）na2121,nnaa6aA B C D168 45. 若向量 的夹角为 ，且 ，则 与 的夹角为（ ）,b3
2、,b2bA B C D6 3566. 函数 的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图） ，则不等式yfx的解集为（ ）2fA B22|01xx或|1或C D22|xx或 0|且7. 在函数 中，最小正周期为 的函数22sin,si2,sincos3xyxxy 的个数为（ ）A B C D1 48. 设函数 ,定义 ,其中21logxfx121.n nSfff,则 （ ）2nNnSA B 121lognC D2n2l9. 已知点 在圆 上运动, 且 ,若点 的坐标为 ,则,B21xyABCP20的最大值为（ ）PAA B C D678910. 已知函数 均为正的常数）的最小正周期为 ，当sin(
3、,fxAx时，函数 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）23xA B 0fff02fffC D2211. 已知函数 在区间 内任取两个实数 ，且 ，不等2ln1fxax,1,pq式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）12fpfqaA B C D2,30,1818,2,1812. 已知 ，若函数 有三个零点，2ln0xfaa且 yfxt则 的值为（ ）tA B C D 1 32第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知 ，则 sin2cos0x2sin1x14. 九章算术中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有恒厚若千尺，两鼠对穿，大鼠日一
4、尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，则 的值为，问何日相逢，m各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进尺，以后毎天加倍；小老鼠第一天也进尺，以后每天减半，如果墙足够厚， 为前 天两只老鼠打洞nS之和，则 尺 nS15.已知函数 若方程 有三个不同的实根，且从小到cos,32fxfxm大依次成等比数列，则 的值为 m16. 已知 是定义在 上不恒为零的函数，对于任意的 都有fxR,xyR成立，数列 满足 ,且 ,则数列fyyfAna3nfN13a的通项公式为 nana三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.
5、（本小题满分 10 分）已知函数 （ 为常数， 且 ） ，的图xfkaA,0a象过点 .A0,13,8B（1）求实数 的值；ka（2）若函数 ，试判断函数 的奇偶性, 并说明理由.1fxggx18. （本小题满分 12 分）已知 三点的坐标分别为,ABC其中 .3,0,cos,in,ABC3,2（1）若 求角 的值；,（2）若 求 的值.1,Atan419. （本小题满分 12 分）已知数列 中， ，且 .n12,3a11232nna（1）设 ,证明 是等比数列;1nnbab（2）求数列 的通项公式.20. （本小题满分 12 分）如图 1, 有一建筑物 ,为了测量它的高度, 在地面上选一基O
6、P线 ,设其长度为 ,在 点处测得 点的仰角为 ,在 点处的仰角为 .ABdAB（1）若 ,且 ,求建筑物的高度 ;40,3,45AB30AOBh（2）经分析若干测得的数据后, 发现将基线 调整到线段 上(如图 2)， 与 之差AO尽量大时，可以提高测量精确度，设调整后 的矩离为 ， ，建筑物的实际d4tan高度为 ，试问 为何值时， 最大？1d21. （本小题满分 12 分）已知数列 的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一na行的第一个数 构成等差数列 是 的前 项和，且1247,.a,nbS.15bS（1）若数阵中第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列, 且公比
7、相等, 已知 ,求 的值;916a50（2）设 ,求 .122.nnnTSST22.（本小题满分 12 分）已知二次函数 为常数, 的一2(rxab,)aRb个零点是 ,函数 是自然对数的底数, 设函数 .alngxefxrgx（1）过点坐标原点 作曲线 的切线, 证明切点的横坐标为 ;Oyfx1（2）令 ,若函数 在区间 上是单调函数, 求 的取值范围.xfFeF01a一、选择题 题号 1 2 34 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A B B D A A B C B A C B二、填空题13. 14. 15. 16. 9512n-+23ng17.解：（1）把 A（0，1） ，B（3
8、，8）的坐标代入 得 解得：()xfka-=0318-=A.,2ka=（2） 是奇函数 .理由如下：()gx由（1）知： ，所以2xf=()12.xfg-=+18. (cos3,in)AC， (cos,in3)BC， 2| i106， |106sinBC由 |B得 sinco 4 分又 3(,)2， 54 6 分（2 ）由 1AC，得 (cos3)sin(3)1， sinco3， 2in04 9 分又由 2， ， 7cos()43故 tan()417 12 分19.解答：（1）证明：因为 111,nnnbaba11123nnnba所以 是等比数列n（2）由（1）得 1115,53nnbq所以
9、则 .3nna210()na奇数项差是首项为 10 的等比数列，偶数项差是首相为 30 的等比数列；，212534nna221534nna因此 = .n11()n-+20. 解：(1) 在 Rt POA 中，OA= h，在 Rt POB 中，OB h，3在 Rt AOB 中，d =( h) +h -2 h hcos30 ，其中：d40，得：h=40 ，22故建筑物的高度为 40.(2) tan = ，tan =4hdtan( - )= = =2()16dh216(4)h16(4)hd= =216(4)()51当且仅当 d(h+4)= 即 d= 时“= ”成立d故当 d= 时，tan( - )最
10、大，50294,6,2abq=13945,+=K故 45010.=（2） ()3,2n nSQ1221nnnTS+K= . 2222(1)()3(1)()1nnnn+=+K22. 解：（1） 是二次函数 的一个零点， 。a-Q2()rxab0b=2()ln,fx=+ 1(0).fx=+-设切点为 则切线的斜率 。0,)Py 2000ln2axka+-=整理得 显然， 是这个方程的解。200ln1.x+-=01x上是增函数，y=Q在则方程 有唯一实数解，故2lx-0.x=则()2ln,xxfaFee+，2 1()l()xx-=设 2()ln,hxa-+-+则 21().x易知 在 上是减函数，从而 . 0, ()12hxa=-当 即 时， 在区间 上是增函数.a-0,0,在 上恒成立，即 在 上恒成立.(1),()hx=Q(,1()Fx(,在区间 上是减函数。则 满足题意.F02a当 ，即 时，设函数 的唯一零点为 ，2a-()hx0x则 在 上递增，在 上递减。()hx0,)0,1在1,(.=Q2()()ln0,aaaaaeee- -=+综合得， 即 的取值范围是 .a(,2-
