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类型21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系(教案).doc

  • 上传人:精品资料
  • 文档编号:9923541
  • 上传时间:2019-09-19
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    21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系(教案).doc
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    1、*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学目标【知识与技能】1.掌握一元二次方程根与系数的关系;2.能运用根与系数的关系解决具体问题.【过程与方法】经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体验观察发现猜想验证的思维转化过程,培养学生分析问题和解决问题的能力.【情感态度】通过观察、归纳获得数学猜想,体验数学活动充满着探索性和创造性,理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点,掌握由“特殊一般特殊”的数学思想方法,培养学生勇于探索的精神.教学重点一元二次方程根与系数的关系及其应用.教学难点探索一元二次方程根与系数的关系.教学过程一、情境导入,初步认识问题 请完成下面的表格观察表格中的结

    2、果,你有什么发现?【教学说明】通过对具体问题的思考,可以找出 x1+x2 和 x1x2 与方程的系数之间的关系,引入新课.二、思考探究,获取新知通过对问题情境的讨论,可以发现方程的两根之和和两根之积与它们的系数之间存在一定的联系,请运用你发现的规律填空:(1)已知方程 x2-4x-7=0 的根为 x1,x2,则 x1+x2= , x1x2= ;(2)已知方程 x2+3x-5=0 的两根为 x1,x2,则 x1+x2= , x1x2= .答案:(1)4,-7;(2)-3,-5.思考 1(1)如果方程 x2+mx+n=0 的两根为 x1,x2,你能说说 x1+x2 和 x1x2的值吗?(2)如果方

    3、程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1,x2,你知道 x1+x2 和 x1x2 与方程系数之间的关系吗?说说你的理由.【教学说明】设置上述思考的两个问题,目的在于引导学生在感性认识的基础上进行理性思考,从而理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系.教学时,应给予充足的思考交流时间,让学生自主探究结论.最后师生共同进行探究,完善认知.具体推导过程可参见教材.【归纳结论】根与系数的关系(韦达定理):若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)有两实数根 x1,x2,则 x1+x2=- ,x1x2=ba.这表明两根之和为一次项系数与二次项系数的比的相反数,两根之积等于常ca数项与二次项系数的比.思考

    4、 2 在运用根与系数的关系解决具体问题时,是否需要考虑根的判别式=b 2-4ac0 呢?为什么?【教学说明】设置思考 2 的目的在于让学生明白用根与系数关系解题的前提条件是 0,否则方程就没有实数根,自然不存在 x1,x2,防止学生片面理解而导致失误.教学时可结合具体问题引起学生注意.三、典例精析,掌握新知例 1 见教材 16 页例 4.分析:对于方程(3) ,应化为一般形式后,再利用根与系数的关系来求解.【试一试】教材第 16 页练习.例 2 已知方程 x2-x+c=0 的一根为 3,求方程的另一根及 c 的值.分析:设方程的另一根为 x1,可通过求两根之和求出 x1 的值;再用两根之积求

    5、c,也可将 x=3 代入方程求出 c 值.再利用根与系数关系求 x1 值.解:设方程另一根为 x1,由 x1+3=1,x1=-2. 又 x13=-23=c,c=-6.例 3 已知方程 x2-5x-7=0 的两根分别为 x1,x2,求下列式子的值:(1)x 12+x22; (2) .12x分析:将所求代数式分别化为只含有 x1+x2 和 x1x2 的式子后,用根与系数的关系,可求其值.解:方程 x2-5x-7=0 的两根为 x1,x2,x 1+x2=5,x1x2=-7.(1)x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=52-2(-7)=25+14=39;(2) = 21x2397x【教学说明】

    6、例 1 是根与系数关系的直接应用问题,学生能够自主完成,对于课本的练习老师可让学生稍作思考后解答;例 2 侧重于逆用根与系数关系,应注意引导学生进行正确思考;而例 3 侧重于利用根与系数的关系,进行代数式求值,这里将代数式转化为只含有 x1+x2 及 x1x2 的式子是解决问题的关键,应引导学生关注这类变形方法.教学过程中仍应让学生先自主探究,独立完成,最后教师再予以评讲,让学生理解并掌握根与系数的关系;对于学生在探索过程中的成绩和问题也给予评析,进行反思.例 4 已知 x1,x 2 是方程 x2-6x+k=0 的两个实数根,且 x12x22-x1-x2=115,(1)求 k 的取值;(2)求

    7、 x12+x22-8 的值.分析:将 x1+x2=6,x 1x2=k,代入 x12x22-x1-x2=115 可求出 k 值.此时需用 =b 2-4ac 来判断 k 的取值,这是本例的关键.解:(1)由题意有 x1+x2=6,x1x2=k.x 12x22-x1-x2=(x1x2)2-(x1+x2)=k2-6=115,k=11 或 k=-11.又方程 x2-6x+k=0 有实数解,=(-6) 2-4k0,k9.k=11 不合题意应舍去,故 k 的值为-11;(2)由(1)知,x 1+x2=6,x1x2=-11,x 12+x22-8=(x1+x2)2-2x1x2-8=36+22-8=50.【教学说

    8、明】设置本例的目的在于引导学生正确认识根与系数的关系和根的判别式之间的不可分割的特征.教学时应予以强调.四、运用新知,深化理解1.若 x1,x2 是方程 x2+x-1=0 的两个实数根,则 x1+x2= ,x1x2= ;2.已知 x=1 是方程 x2+mx-3=0 的一个根,则另一个根为,m= ;3.若方程 x2+ax+b=0 的两根分别为 2 和-3,则 a= ,b=; 4.已知 a,b 是方程 x2-3x-1=0 的两根,求 ba+ab 的值 .【教学说明】设计这 4 个小题的目的在于让学生尽快掌握一元二次方程的根与系数的关系,前 3 个题,较为简单,可让学生自主完成,最后一个稍微有一点难度,只需将 + 化简即可.ba五、师生互动,课堂小结通过这节课的学习你有哪些收获和体会?有哪些地方需要特别注意的?谈谈你的看法.【教学说明】让学生通过回顾与反思加深对知识的领悟,畅所欲言,共同提高.课后作业1.布置作业:从教材“习题 21.2”中选取.2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.教学反思

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