1、10在ABC 中，a，b，c 是角 A，B，C 的对边，已知 bcosC+ bsinCac=0，则角 B=（ ）A B C D11过双曲线 =1（a 0，b0）的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为 A，与另一条渐近线交于点 B，若 =2 ，则此双曲线的离心率为（ ）A B C2 D12已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f（x）=|e x3|，若函数 y=f（x）k 恰有4 个零点，则实数 k 的取值范围是（ ）A （0，ln3） B （0，2） C （0，e ） D （0，3）二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13函数 f（x）=sin（2x ） ，x 0
2、，的递增区间是 14设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 27a3a6=0，则 = 15已知曲线 f（x）=x lnx 在点（1，f（1） ）处的切线与曲线 y=x2+a 相切，则 a= 16已知函数 f（x）=cos2x+ 2sinx，x 0，的值域为1， ，其中 0，则角 的取值范围是 三、解答题（17-21 题每小题 12 分，22 题 10 分要有必要的文字说明和推理过程）17 （12 分）已知数列a n为等差数列，S n 为其前 n 项和，若 a3=20，2S 3=S4+8（1）求数列a n的通项公式（2）设 bn= （nN *） ，T n=b1+b2+bn，求 Tn18 （1
3、2 分）已知函数 f（x） = sinx+ cosx（xR） （）若 a0， 且 f（a ）=2 ，求 a；（）先将 y=f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，再将得到的图象上所有点向右平行移动 （0）个单位长度，得到的图象关于直线 x= 对称，求 的最小值19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD，侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是ABC=60的菱形，M 为 PC 的中点（1）求证：PCAD；（2）求直线 MD 与平面 ABCD 所成角的余弦值20 （10 分）已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，短轴的一
4、个端点为（0， ） （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线 l 的斜率存在，且与椭圆 C 相交于 A、B 两点（ A、B 异于顶点） ，且以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标21 （12 分）已知函数 f（x） =x2（1） k2alnx（k N，a R 且 a0） （1）求 f（x）的极值；（2）若 k=2016，关于 x 的方程 f（x）=2ax 有唯一解，求 a 的值选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 22 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系 xOy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线
5、 C1 的极坐标方程为 =2cos，曲线 C2 的参数方程为（t 为参数）（1）判断曲线 C1 与 C2 的位置关系；（2）设 M（x，y）为曲线 C1 上任意一点，求 x+y 的取值范围2016-2017 学年湖南省娄底市双峰一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1 （2016 秋娄底校级月考）设 A=x|2x1，B=x|y=log 2（x+1），则 AB=（ ）Ax|1x0 Bx|x 1 Cx|x0 Dx|x1【考点】并集及其运算【专题】应用题；集合思想；定义法；集合【分析】求出集合 A，集合 B，然后求解它们的并集即可【解答】
6、解：因为集合 A=x|2x1=x|x0，B=x|y=log2（x+1）=x|x 1，所以 AB=x|x1故选：D【点评】本题考查集合的求法并集的基本运算，考查计算能力，常考题型2设复数 z 满足 =i，则|z|=（ ）A1 B C D2【考点】复数求模【专题】计算题；数系的扩充和复数【分析】先化简复数，再求模即可【解答】解：复数 z 满足 =i，1+z=izi，z（1+i）=i1 ，z= =i，|z|=1，故选：A【点评】本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础3 （2016 春泉州校级期末）实数 a= ，b= ，c= 的大小关系正确的是（ 20.2log0.）Aacb Ba bc C
7、ba c Dbca【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质；不等关系与不等式【专题】函数的性质及应用【分析】根据指数函数，对数函数和幂函数的性质分别判断 a，b，c 的大小，即可判断【解答】解：根据指数函数和对数函数的性质，知 0，0 1， ，2log.2.即 0a1，b0，c 1，bac故选：C【点评】本题主要考查函数数值的大小比较，利用指数函数，对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键4 （2016浙江二模）已知命题 P：“若 b2=ac（a，b，c R） ，则 a，b，c 成等比数列” ，q：“函数f（x）=cos（ +x）是奇函数 ”，则下列命题为真命题的是（ ）Apq Bpq
8、 Cpq Dpq【考点】复合命题的真假【专题】转化思想；综合法；简易逻辑【分析】分别求出 p，q 的真假，从而判断出复合命题的真假【解答】解：对于命题 p：若 b2=ac，不妨取 a=b=c=0，显然满足题意，但是不是等比数列，故该命题为假命题，对于命题 q：“函数 f（x）=cos （ +x）= sinx 是奇函数”，故命题 q 是真命题，故 pq 是真命题，故选：A【点评】本题考查了复合命题的判断，考查三角函数以及数列问题，是一道基础题5 （2016鹰潭校级模拟）若| |=1，| |= ，且 （ ） ，则向量 ， 的夹角为（ ）A45 B60 C120 D135【考点】数量积表示两个向量的
9、夹角【专题】计算题【分析】设向量 的夹角为 ，由 =0，可得 =1，再利用两个向量的夹角公式求出 cos，进而求得 的值【解答】解：设向量 的夹角为 ，由题意可得 = =0，可得=1，即 = cos=1 cos，解得 cos= 再由 0 可得 = ，故选 A【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式，两个向量数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于中档题6 （2015柳州一模）已知 m、n 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面，给出下列命题：若 ，m ，则 m；若 m，n，且 mn，则 ；若 m，m ，则 ；若 m，n，且 mn，则 其中正确命题的序号是（ ）A B C D【考点】命题的真假判断
10、与应用；空间中直线与平面之间的位置关系【分析】对于当 ，m 时，m 不一定成立；对于可以看成 m 是平面 的法向量，n 是平面 的法向量即可；对于可由面面垂直的判断定理作出判断；对于m，n，且 mn， ， 也可能相交【解答】解：当 ，m 时，m 不一定成立，所以错误；利用当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面垂直，故成立；因为 m，则一定存在直线 n 在 ，使得 mn，又 m 可得出 n，由面面垂直的判定定理知，故成立；m，n，且 mn， ， 也可能相交，如图所示， ，所以错误，故选 B【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定及几何特征是解
11、答的关键7 （2016 春莆田校级期中）在区间0，4上随机取两个实数 x，y，使得 x+2y8 的概率为（ ）A B C D【考点】几何概型【专题】计算题；数形结合；综合法；概率与统计【分析】分别求出在0，4上随机取两个实数 x，y，x+2y8 对应的区域，利用面积之比求解即可【解答】解：由题意，在区间0，4上随机取两个实数 x，y，对应的区域的面积为 16在区间0，4内随机取两个实数 x，y，则 x+2y8 对应的面积为 =12，所以事件 x+2y8 的概率为 = 故选：D【点评】本题考查几何概型知识、二元一次不等式表示的平面区域等，属基本运算的考查8 （2016浙江二模）已知 a，b 是正
12、实数，则“ab 3” 是“ + 2”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C既非充分也非必要条件 D充要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】由 a，b 是正实数，ab3，可得 ，利用基本不等式的性质可得 + 2，反之不成立，例如取 a=b=2，即可判断出结论【解答】解：由 a，b 是正实数，ab3， ， + 2 2，反之不成立，例如取 a=b=2，“ab3”是“ + 2”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了不等式的性质、基本不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9 （2014西宁校级模拟
13、）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A B C1 D2【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题【分析】几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，利用三视图的数据，直接求出棱柱的体积即可【解答】解：由题意可知几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，直角边分别为：1， ，棱柱的高为 ，所以几何体的体积为： =1故选 C【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查想的视图能力与空间想象能力10 （2016 秋 娄底校级月考）在ABC 中，a，b，c 是角 A，B ，C 的对边，已知bcosC+ bsinCac=0，则角 B=（ ）A B C D
14、【考点】正弦定理【专题】方程思想；转化思想；解三角形【分析】bcosC+ bsinCac=0，利用正弦定理化简得：sinBcosC+ sinBsinCsinAsinC=0，再利用和差公式、诱导公式、三角形内角和定理化简可得： sinB=cosB+1，进而得出【解答】解：在ABC 中，bcosC+ bsinCac=0，利用正弦定理化简得：sinBcosC+ sinBsinCsinAsinC=0，即 sinBcosC+ sinBsinC=sinA+sinC=sin（B +C）+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC=sinBcosC+sinC（cosB+1） ， sinB=cosB
15、+1，即 sin（B ）= ，0B， ，B = ，即 B= 故选：B【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、和差公式、诱导公式、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11 （2016中山市模拟）过双曲线 =1（a 0，b0）的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为 A，与另一条渐近线交于点 B，若 =2 ，则此双曲线的离心率为（ ）A B C2 D【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；数形结合【分析】先由 ，得出 A 为线段 FB 的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到 a，b 之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率【解答】解：如图因为 ，所以 A
16、为线段 FB 的中点，2=4，又1= 3，2+3=90 ，所以1=2+4=22=3故2+3=90=32 2=301=60 =4e=2故选：C【点评】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题12 （2016 秋 娄底校级月考）已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，f（x）=|ex3|，若函数 y=f（x） k 恰有 4 个零点，则实数 k 的取值范围是（ ）A （0，ln3） B （0，2） C （0，e ） D （0，3）【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】求出 f（0）=2，利用函数 f（x）是定
17、义在 R 上的偶函数，函数 y=f（x）k 恰有 4 个零点，即可得出结论【解答】解：由题意，f（0） =2，函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，函数 y=f（x）k 恰有 4 个零点，0k2故选：B【点评】本题考查函数的奇偶性，考查函数的零点，考查学生的计算能力，比较基础二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13 （2016 秋 娄底校级月考）函数 f（x）=sin（2x ） ，x 0，的递增区间是 ，【考点】正弦函数的图象【专题】转化思想；三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用【分析】由 +2k2x +2k，解得 +k xk + ， （kZ） ，对 k 取值即可得出【解答】解：由
18、 +2k2x +2k，解得 +kxk + ， （kZ） ，令 k=0，可得 x ；令 k=1，可得 x + 又 x0，可得函数 f（x）的单调递增区间为： ， 故答案为： ， 【点评】本题考查了正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14 （2016 春 苏州期末）设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，若 27a3a6=0，则 = 28 【考点】等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】设出等比数列的首项和公比，由已知求出公比，代入等比数列的前 n 项和得答案【解答】解：设等比数列a n的首项为 a1，公比为 q，由 27a3a6=0，得 27a3a3q3=0，即 q
19、=3， = 故答案为：28【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前 n 项和，是基础的计算题15 （2016 秋 娄底校级月考）已知曲线 f（x）=xlnx 在点（1，f （1） ）处的切线与曲线 y=x2+a 相切，则 a= 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】综合题；方程思想；综合法；导数的概念及应用【分析】求出 f（x）=x lnx 的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线 y=x2+a相切，可联立切线与曲线方程，根据=0 得到 a 的值【解答】解：f（x）=x lnx 的导数为 y=lnx+1，曲线 f（x）=x lnx 在 x=1 处的切线斜率为 k=1，则曲线 f（x）=x lnx 在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y=x1由于切线与曲线 y=x2+a 相切，故 y=x2+a 可联立 y=x1，得 x2x+a+1=0，所以有=1 4a4=0，解得 a=
