1、1四川大学 2011 年攻读硕士学位研究生入学考试题一、 （本题满分 20 分）1. (5 分)设 是数域 上的线性空间， .令 .证明： 是 的子空间VFVs,21 1FkWisiiWV（称为由 生成的子空间）.s,21证明：取 且 ，W,siik1siik1，则 si iisiisiik111 )(W，则 siiisiikk11)(由、，得 是 的子空间WV2. （15 分）设 是数域 上的 阶方阵组成的线性空间，设 是由如下的 个矩阵生成的 的子空间：)(2FM2V4)(2FM， ， ， ，041A30152A4123A5492A（1）求 并写出 的一个基.Vdim（2）设映射 ： 为：
2、 ，其中 表示矩阵 的迹.fF)()(trf)(tr求 并写出 的一个基.keriker解：（1）取 的一个基 、 、 、 ， 在这个基下对应的矩阵是)(2M1E212EVFM)(2 B有 ，则),(),( 43212121 ABE 5430129235B 003618255430125543012935则 ，故 的一个基为 、 、dimV1A23（2）取矩阵 ，使得 ，根据题意，有C)(f 21c由 ，有方程321xAx0483xx此方程的基础解系由 个线性无关的向量构成，即 、),7()8,(2，41326),07(,(321AC 1823),70)(,(3212AC则有 ，故 的一个基为
3、 、kerdimffker12二、 （本题满分 20 分）设 ， 都是数域且 .FKKF1.(5 分)设 是 上的 维列向量.证明： 在 上线性相关当且仅当 在s,21 ns,21 Fs,21上线性相关 .K证明：取 的极大无关组为s,21 r,21必要性：在 上线性相关，则方程 有解（ ）s,21 FirX),(21 si,21有 ，则方程 在 上有解KXirX),(21 K故 在 上线性相关s,21充分性：在 上线性相关，则方程 在 上有解s,21 irX),(21 K在 上有K,(),( 2121 irrr 由 ，则在 上也有Fir,21 ),(),( 2121 irr 故方程 在 上有
4、解irX)(故 在 上线性相关s,212.（5 分）设 ， 为 上的 阶方阵.证明： ， 在 上相似当且仅当 ， 在 上相似.ABFnABFABK证明：必要性：由 ， 在 上相似，存在可逆矩阵 ，使得 )(MPnP1又 ，则 ， 在 上相似)(KMPnK充分性：由 ， 在 上相似，则在 上 ， 有相同的行列式因子 （ ）ABAB)(kDn,21由 ， ，有 属于)(Fn)(kDF则在 上 ， 也有相同的行列式因子 )(k故 ， 在 上相似AB3.（5 分）设 上的 次多项式 在 上有 个根 .Fn)(xfKnnx,21证明： 属于 .12)(jijixF3证明：令 （ ）011)( axxax
5、f nn Fan01,由根与系数的关系，有、 、nna21 nx121212 由 为对称多项式，则可由 表示)(jijix 0,aan故 属于12jiji F4.(5 分)证明：关于数的加法和乘法 是 上的线性空间 .K证明：取 上的元素 、 ，数 、Kab由 ， ，有 为 上的元素F， 为 上的元素aba)( baK则关于数的加法和乘法 是 上的线性空间KF三、(本题满分 20 分)给定任意的可逆矩阵 .请说出 4 种求 的方法（使用计算机程序的方法除外） ，并简要说明理由 .A1A解：法 1：通过初等变换由行变，有 ；由列变，有1EA 1AE法 2：通过伴随矩阵由 ，有EA* nnnAA
6、21221111*法 3：通过 H-C 定理令 的特征多项式为 011)( aaEf n如 ，有 ，则 含特征值 ， 不可逆0a )121ann故 ，则 OEAAfn 0)(有 aaAn 0120101 法 4：通过 的最小多项式令 的最小多项式 011)( amm同上，有 ，则0a OEAaA14有 EaAaAmm01201101 四、 （本题满分 20 分）设 ， 是素数.1)(21xxxfp p1.（10 分）证明 在有理数域 上不可约.fQ2.（10 分）令 ，其中 是全体 阶复矩阵组成的集合.把 中的矩阵按相似)(OAfCMAn)(CMn 关系分类，即 ， 属于同一类当且仅当存在可逆
7、的复矩阵 使得 .问 中的全部矩阵可以分成几类？B 1BA说明理由.1.证明： ，令 ，有1)(xfp1y yCyyf pkkp11)()1( 0122111)( pppppkk CCyCyf由艾森斯坦判别法， 为素数， 、 不能整除 、 不能整除121,pp p21pC故 在有理数域不可约，即 在有理数域不可约.)(yf )(xf2.证明： 由 ，又 ，则 不是 的特征值OAf)(1)0(fA由 ，则 有 个特征值 （ ）CMnnini,21则存在可逆矩阵 ，使得PJ1除去排列次序外是由 唯一确定的，则 可能为JA， ，n112 n1021 n0021共有 种，则 中的全部矩阵可分为 类n五
8、、 （本题满分 20 分）设 是数域 上的 维线性空间， 表示 上的全体线性变换组成的线性空间.VFn)(VEd1.（10 分）求 并写出 的一个基.)(dimEn)(VEd2.（10 分）设 ，设 的特征多项式为 .证明：如果 可以分解为非平凡的 不变子空间的直AA)(xf A和，那么， 在 上可约.问：此结论的逆命题是否成立？说明理由.)(xfF51.解：设 是 的一组基， 是 维的，可知 V 的全体线性变换与 同构， 故 V 的全体线nE,12 nn2 n性变换组成的线性空间是 维的。2设 V 的一组基为 ，令12n， ， ， 12=,1,2ij nij nA ， ， ，则对任意的 ，有
9、EdVA121221=nnnnAa ， ， ， ， ， ， ， ， ，121nnnaa ， ， ， ， ， ， 12A ， ， ， ， ， ，显然 线性无关，且对任意的 都可以由 线性表出，所以 是1nA， ， EdV1nA， ， 1nA， ，的一组基EndV2.证明： 在 上可约，但 在 上不一定有根，故逆命题不成立)(xfF)(xfF六、 （本题满分 20 分）设 是 维欧式空间，内积为Vn)(,1.（10 分）设 是 中的一个线性无关的向量组.证明如下的 Schmidt 正交化定理：存在 中的一个两两s,21 V正交的向量组 满足：对任意 有 与 等价.s sk1k,21 k,212.（
10、10 分）对 中的任意一个向量组 ，证明： 线性无关的充分必要条件是矩阵Vt,2 t是正定矩阵.),(),(),(),(111tt t 1.证明：由 无关，把 正交化，得正交向量组s,2 s,21 s,21则 rr ss ),()( 211在 和 中分别任取 个向量s,2 s k有 ，故 和 等价rr kk ),()( 211 s,21 s,21令 （ ）ii,故存在 中的一个两两正交的向量组 满足：对任意 有 与 等Vs,21 skk,21 k,21价2.证明：必要性：线性无关，则 构成 的一个子空间t,21 t,21 V),(21tLW则 为 的一个基t W6是这个基下的度量矩阵，故此矩阵
11、正定),(),(),(),(111tt t 充分性： ),(),(),(),(),(),( 2121111 tttt t 由该矩阵正定，有该矩阵的秩为 （ ） ，令矩阵 ，则nt),(21ttnA tAr)(由 ，由 ，故)()ArtrArt)(r)则有 线性无关t,21八、 （本题满分 15 分）求实矩阵 使得X0134解： ，即 的特征值为 、 、)3(01324 XE 4X30当 时，3 0303014 ，基础解系由两个特征向量构成，即 、2)(4XErn T),1(T)0,1(当 时，0 00134，基础解系由一个特征向量构成，即2)(4Xrn T)3,1(则有 个特征值对应 个线性无关的特征向量， 可对角化334X令 ，有301P3/101P7由 ，得 ，则4141)(XPP 14PX00334/4/1/X
