1、第一次月考数学（理）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合 ，则集合 （ ）2|03,|4AxBxABA B C D,20,3【试题解析】本题考查并集概念及不等式求解。解一元二次不等式得 ，在数轴上将集合 集合 表示的区域表示出来， 是集合 和集合 中元素的合并，即 ，故而正确选项为B.【答案】B2. 已知命题 “ ，有 成立” ，则 为（ ）:p0a1xepA ，有 成立 B ，有 成立 0a1xe 0a1xeC ，有 成立 D ，有 成立【试题解析】解析：本题考查命题的否定。全称命
2、题 的否定为 。因此选 C。【答案】C3. 有一长、宽分别为 的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能50,3m性相同，一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出 ，则工作人员能及时听到152m呼唤(出现在声音可传到区域) 的概率是（ ）A B C D34383163【试题解析】解析：本题考查几何概率。如右图，工作人员的巡视路线是 A-B-C-D-A，呼救者的声音传播区域是以 为圆心半径为 的圆。因此工作人员仅在在圆与矩形相交的弦 和 上能听到呼救，概率为 。如图，过圆心做 于 ， ，勾股定理可求得 ， ， ，所求概率为 ，选 B【答案】B4. 设抛物线 的
3、焦点在直线 上, 则该抛物线的准线方程为（ ）2ypx2380xyA B C D4x 2x1x【试题解析】解析：本题考查抛物线基本性质。 焦点坐标为 ，准线方程为 .将点代入直线方程可求得 ，从而准线方程为 ，选 A【答案】A5. 已知公差不为 的等差数列 满足 成等比数列 , 为数列 的前 和，则 的值0na134,anSna325S为（ ）A B C D2323【试题解析】解析：本题考查等差数列，等比数列性质。不妨设 的公差为 ，则， 成等比数列即 ，整理得 ， ，选 A【答案】A6. 执行如图所示程序框图所表示的算法，输出的结果是 ，则判断框中应填入（ ）80A B C D8n8n9n9
4、n【试题解析】解析：本题是算法与数列求和综合题。每次循环中，n 初始为 1，递增为 1，S 初始为 0，递增为 ，因此，S 可视为首项为 3,公差为 2 的等差数列的前 n 项和。 得，因此，循环继续的条件应该是 。当 时中止循环，输出 S 结果 80。故而选 A。【答案】A7. 如图所示的是函数 和函数 的部分图象, 则函数 的解析式是（ ）sin2fxgxgxA B Csin23gx5cos26gxDi 【试题解析】解析：本题考查三角函数周期性和图像的平移变换。观察图形可知， ， 周期均为，从图中给出的数据可知， 是将 向右平移 而得到的。 向右平移 后得 ，再由诱导公式知，从而选项 B
5、正确。此外，也可利用特殊值法求解： 由 ，排除 C,D； 由 ，排除 A，故而选 B。【答案】A8. 已知 ,則下列不等式一定成立的是（ ）1122loglabA B ln01abC D143ab 3【试题解析】解析：本题考查对数函数，指数函数及不等式性质。底数大于 0 且小于 1 时，对数函数是减函数，因此由 知 .因此 ，选项 B 错误； ，选项 D 错误；又当 时， ，所以选项 A 不一定成立；排除法可知选 C.事实上，根据指数函数的单调性和幂函数单调性有 ，也可知选 C。【答案】C9. 如图可能是下列哪个函数的图象（ ）A B 21xy2sin41xyC Dln2xe【试题解析】解析：
6、本题考查函数图像识别。一般要用到定义域，值域，奇偶性，导数等方面的知识。对本题而言，可用排除法求解。由函数过原点可排除 C 选项；又观察可知 时 恒大于零，而对于 A 选项， 时， ，因此排除 A 选项；对于 B 选项， 时， 的因子 为正，因子 为负，因子 在 之间摆动，因此 不会恒为正，故而排除 B 。因此选 D，可验证，D 选项符合该图像。 【答案】D10. 已知函数 ,函数 ,若存在 ,使得21xfsin206gaxa 12,0x成立, 则实数 的取值范围是（ ）12fxgA B C D4,32,1343,21,23【试题解析】解析：本题是函数值域与不等式、集合的综合题。第一步，求 的
7、值域： 在时，设 ， 则 可转化为，根据对勾形函数的图像可知 在 上单调递增，所以，当 t=1 时 有最小值 0，当 t=2 时有最大值 1， 值域为 . 而在 时， ， ， 值域为 . 第二步，求 的范围： 已知条件中， “存在 ,使得 ”，即意味着 和 的值域有公共部分。这里可以反向求解，列不等式使 和 的值域没有公共部分，即 或 ，解得 。取其补集即得 ，选 A【答案】A11. 已知双曲线 的右顶点 为坐标原点, 以 为圆心的圆与双曲线 的2:10,xyCabAOAC某渐近线交于两点 .若 ,且 ,则双曲线 的离心率为（ ） ,PQ6A3QPCA B C D7473727【试题解析】解析
8、：本题考查双曲线离心率求解。题中 且 aa ，故而 是等边三角形。作 于 D，则 D 是 PQ 中点。又 ，不妨设，又因为 是双曲线右顶点到渐近线的距离，由点到直线的距离公式可知 从而可求得 ，进而离心率 【答案】C12. 如图, 网格纸上小正方形的边长为 ,粗线画出的是其个多面体的三视图, 若该多面体的所有顶点都在球1表面上，則球 的表面积是（ ）OA B C D 36485664【试题解析】解析：本题作为选择题得压轴题，具有较高综合性，对学生空间想象力及计算能力要求较高。对于复杂几何问题，建立坐标系通常能化繁为简。由三视图可知，几何体是以 P 为顶点，以 为底面的四面体。其中 PC=4,B
9、C=2,AB= ,AC= ,。A,B,C,P 四点在球体上，求球体的表面积，关键是求球的半径。这里将四面体看作以 为底面，以 A 为顶点的四面体。并以 C 点位原点，以 CB 为 x 轴，以 CP 为 y 轴，以 CD 为 z 轴建立坐标系。C(0,0,0),B(2,0,0),A(4,0,4),P(0,4,O)由于 ，故而，外接球的球心一定在经过 BP 中点且垂直平面 的直线上，由中点坐标公式可知其横坐标为 1，纵坐标为 2， 因此设球心为 E（1,2,t）则球心到球上各点的距离均等于半径。，即 解得 ，故而球的体积为 ，选 C。【答案】C第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 2
10、0 分，将答案填在答题纸上）13. 由曲线 所围成图形的面积为 2,yx【试题解析】解析：本题考查定积分。首先令两个函数相等，求得积分区域 ，则两曲线所围成的图形面积为 【答案】14. 已知函数 在区间 内有定义且不是单调函数, 则 的取值范围为 2logfx2mm【试题解析】解析： 的草图如右所示。从图中可以看出，函数在区间 内有定义且不是单调函数，需要满足 ，解得. 区间表示为 。注意，取值范围的表示方法可以是不等式，也可以是区间，或者集合。【答案】 AA15. 如图所示, 分别是与 轴、 轴正方向相同的单位向量，若 ，记1260,xOyexy 12mxey，设 ，若 的模长为 ，则 的最
11、大值是 mapqapq【试题解析】解析：本题考查平面向量的坐标表示及运算，综合了解三角形的知识。注意题中的坐标系不是直角坐标系，根据三角形规则，向量 模长的计算方式为，即 ，由均值不等式得： ，解得 ，故而 的最大值为 .【答案】16. 如图，已知 是边长为 的正方形， 为 的中点， 为 的交点，过 作ABCD11QCD1,2.iPn1AQiP的垂线，垂足为 ，则 C1iQ0iiSP【试题解析】解析：本题是解析几何与数列裂项求和的结合题。解法通常是先找出面积表达式规律性再求和。本题可以以 D 为原点，以 为 y 轴正半轴， 为 x 轴负半轴，建立坐标系，则 方程为， 方程为 ，从而求得 , ，
12、同理，由 可求得 ,从而可知【答案】三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17. （本小题满分 12 分）已知函数 .2sincos3fxx（1）若 ,求 的取值范围;02xfx（2）设 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ,已知 为锐角, , ABCCabcA3,2fbc求 边上的中线长.（1）（2）由 ,得 ,又 为锐角, .设 的中点为 ,则, 边的中线长为 .【答案】见解析18. （本小题满分 12 分）如图, 在多面体 中 , 四边形 为矩形, 均为等ABCDEFABCD,AEBCF边三角形, 为线段 的中点.1,2EFAB
13、N:P（1）求证: 平面 ;D（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.N【试题解析】解：（1）连结 交 于 ,连结 四边形 是矩形, 是 的中点, 是 的中点, , 又 平面 平面 平面 .（2）取 的中点 的中点 ，连结 ,过 作 交 于点 ,面 面 , ,又平面 .如图, 以 为坐标原点 , 轴 , 轴 建立空间直角坐标系 , 为等边三角形, 梯形 为等腰梯形,.设平面 的法向量为 ,则 ,令 得, ,直线 与平面 所成角的正弦值为 .【答案】见解析19. （本小题满分 12 分）某超市为了了解顾客结算时间的信息, 安排一名工作人员收集, 整理了该超市结算时间的统计结果,如表:结算所需的时间(分) 12345频率 0.40.10.假设每个顾客结算所需的时间互相独立, 且都是整数分钟, 从第一个顾客开始办理业务时计时.（1）估计第三个顾客恰好等待 分钟开始结算的概率;（2） 表示至第 分钟末已结算完的顾客人数, 求 的分布列及数学期望.X2X(注: 将频率为概率)【试题解析】解：设 表示顾客结算所需的时间.用頻率估计概率,得 的分布如下：
