1、2017 届湖南师大附中高三（上）入学摸底考试数学（理）试题一、选择题1设 i 为虚数单位，则复数 的虚部是A3i B3i C3 D3【答案】D【解析】试题分析： 23i，故 的虚部是3.选 D.【考点】复数的概念2记集合 A ，B ，若 0AB，则 a 的取值范围是A （，0） B （，0 C0，） D （0，） 【答案】A【解析】试题分析：A（a，） ，B1，1，由 0AB 知 a 0，故 a 的取值范围是（，0） 选 A.【考点】集合的运算3某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是A圆柱 B圆锥 C棱锥 D棱柱【答案】B【解析】试题分析：易知仅圆锥的三视图中一定不会
2、出现正方形选 B.【考点】三视图4二项式（x2） 5展开式中 x 的系数为A5 B16 C80 D80【答案】C【解析】试题分析：由二项式定理知，其展开式中含 x 的项为 C x（2） 4，故其系数为 C （2） 480.选 C.【考点】二项式定理的应用5在数列 中，a 12，a n1 a nln ，则 anA2ln n B2 ln nC2nln n D1nln n【答案】A【解析】试题分析：由已知得 an1 a nln ln（n1）ln n，所以ana 1（a 2a 1）（a 3a 2）（a na n1 ）2（ln 2ln 1）（ln 3ln 2）（ln nln（n1） ）2ln n，故选
3、A.【考点】由递推公式求通项公式6考生甲填报某高校专业意向，打算从 5 个专业中挑选 3 个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有A10 种 B60 种 C125 种 D243 种【答案】B【解析】试题分析：易知不同的填法种数为 A 60.选 B.【考点】排列的应用7某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响部分统计数据如下表：使用智能手机 不使用智能手机 合计学习成绩优秀 4 8 12学习成绩不优秀 16 2 18合计 20 10 30附表：P（K 2k 0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.84
4、1 5.024 6.635 7.879 10.828经计算 K210，则下列选项正确的是A有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C有 99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D有 99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响【答案】A【解析】试题分析：因为 7.879K210.828，故有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响故选 A.【考点】独立性检验8函数 ysin ，x 的单调递增区间是A. BC. D 和【答案】D【解析】试题分析：令 z x，函数 ysin z 的单调递减区间为，由 2k x2k 得 4k x4k
5、 ，而 z x 在 R 上单调递减，于是 ysin 的单调递增区间为 ，而 x2，2，故其单调递增区间是 和 .故选 D【考点】三角函数 的性质9非负实数 x、y 满足 ln（xy1）0，则关于 xy 的最大值和最小值分别为A2 和 1 B2 和1 C1 和1 D2 和2【答案】D【解析】试题分析：依题意有 ，作出可行域，易求得 xy 的最大值和最小值分别为 2 和2，选 D.【考点】 简单的线性规划问题10如果执行如图所示的程序框图，则输出的数 S 不可能是A0.7 B0.75 C0.8 D0.9【答案】A【解析】试题分析：此程序框图执行的是输入一个正整数 n，求 的值 S，并输出 S.S
6、1 .令 S 等于 0.7，解得 n 不是正整数，而 n 分别输入 3，4，9 时，可分别输出0.75，0.8，0.9.故选 A.【考点】程序框图【名师点睛】本题考查程序框图，解题的关键是确定程序功能，本程序实质上是求数列的和 S 的值，象这种数列求和，我们都是用裂项相消法求得 ，为此可令 为选项值，反求 ，如求得 不是正整数，则说明此值不可能出现.如果数列 是等差数列，则数列 ， 等等可用此法求和.11已知函数 f（x）e x，g（x）x1则下列命题中的假命题是A xR，f（x）g（x）B x1，x 2R，f（x 1）g（x 2）C x0R，f（x 0）g（x 0）D x0R，使得 xR，f
7、（x 0）g（x 0）f（x）g（x）【答案】A【解析】试题分析：设 F（x）f（x）g（x） ，则 F（x）e x1，于是当 x0 时F（x）0，F（x）单调递减；x0 时 F（x）0，F（x）单调递增从而 F（x）有最小值 F（0）0，于是可以判断 A 为假，其余为真故选 A.【考点】导数与函数的单调性、极值【名师点睛】本题可用数形结合思想解题，作出函数 的图象，可知直线是函数 在 处的切线，从图象可知，都正确，只有是错误的.数形结合思想是中学数学的一个重要的数学思想，通过“形”能直观地得出结论，减少推理过程，减少计算.12将函数 yln（x1） （x0） 的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角
8、（0，） ，得到曲线 C，若对于每一个旋转角 ，曲线 C 都仍然是一个函数的图象，则 的最大值为 A B C D【答案】D【解析】试题分析：因为 x0 时，y 是 x 的减函数且 0y1，当且仅当x0 时等号成立，故函数 yln（x1） （x0） 的图象的切线中，在 x0 处的切线的倾斜角最大，其值为 ，由此可知 max 选 D.【考点】函数的概念，导数的几何意义.【名师点睛】本题考查函数的概念与导数的几何意义，根据函数的概念，一个图形能作为一个函数的图象只要满足对任意实数 直线 与之最多只有一个交点，对函数 ，求得导数为 ，它在 上单调递减，因此在旋转过程中，只要图形的所有切线不超过 轴即可
9、.二、填空题13 exdx_【答案】e1.【解析】试题分析： exdxe x| e1.【考点】微积分基本定理14已知a n为等比数列，a 4a 72，a 5a68，则 a1a 10 _【答案】7【解析】试题分析：因为 a4a7a 5a68，又 a4a 72，由此解得 ，或，所以 或 ，从而 a1a 10a 1（1q 9）7【考点】等比数列的性质15M、N 分别为双曲线 1 左、右支上的点，设 是平行于 x 轴的单位向量，则 的最小值为_【答案】4【解析】试题分析：由向量数量积的定义， 即向量 在向量 上的投影与 模长的乘积，故求 的最小值，即求 在 x 轴上的投影的绝对值的最小值，由双曲线的图
10、像可知 的最小值为 4.【考点】向量的数量积【名师点睛】本题考查向量的数量积，可用数量积的几何意义求得其绝对值的最小值，也可设点的坐标，用坐标表示出向量，由数量积计算及双曲线的范围可得结论，设，其中 ， ， ，不妨设，则 ，最小值为.16已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，令 F（x）（xb）f（xb）2 016，若b 是 a、c 的等差中项，则 F（a）F（c）_【答案】4032【解析】试题分析：因为 b 是 a、c 的等差中项，故（cb）（ab） ，又 f（x）是定义在 R 上的偶函数，所以f（cb）f（ab） ）f（ab） ，于是F（a）F（c）（ab）f（ab）2 016（cb）f
11、（cb）2 016（ab）f（ab）（ab）f（ab）4 0324 032.【考点】函数的奇偶性【名师点睛】在涉及函数的计算问题时，函数的奇偶性可以帮助读者简化计算过程，因此有时题中函数虽然没有奇偶性，但我们可以构造具有奇偶性的函数进行辅助计算，本题设 ，则可利用函数 为奇函数的特性进行简化计算.三、解答题17在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 .（1）求 的值；（2）若 cos B ，b2，求ABC 的面积 S.【答案】 （1）2；（2） .【解析】试题分析：（1）由已知边角关系，可用正弦定理“化边为角” ，然后交叉相乘后利用两角和与差的正弦公式可得 sin（AB
12、）2sin（BC） ，从而有 sin C2sin A；（2）由（1）即得 ，利用余弦定理可得 ，再由可得面积试题解析：（1）由正弦定理，得 ，所以 .即（cos A2cos C）sin B（2sin Csin A）cos B，化简可得 sin（AB）2sin（BC） 又 ABC，所以 sin C2sin A，因此 2.（2）由 2 得 c2a.由余弦定理 b2a 2c 22accos B 及 cos B ， b2，得 4a 24a 24a 2 .解得 a1，从而 c2.又因为 cos B ，且 0B.所以 sin B .因此 S acsin B 12 .【考点】正弦定理，余弦定理，三角形面积【
13、名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题在角的变化过程中注意三角形的内角和为 这个结论，否则难以得出结论18空气质量指数（Air Quality Index，简称 AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照 AQI 大小分为六级：050 为优；51100 为良；101150 为轻度污染；151200 为中度污染；201300 为重度污染；300 为严重污染一环保人士记录去年某地某月 10 天的 AQI 的茎叶图如
14、下（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI100）的天数；（按这个月总共30 天计算）（2）将频率视为概率，从本月中随机抽取 3 天，记空气质量优良的天数为 ，求 的概率分布列和数学期望【答案】 （1）18；（2）分布列见解析，期望为 1.8【解析】试题分析：（1）从茎叶图知 10 天中有 6 天空气质量优良，因此样本中空气质量优良频率为 ，这个也是总体频率，由此可估计出本月空气优良天数；（2）由（1）估计某天空气质量优良的概率为 ， 的所有可能取值为 0，1，2，3，且B ，由此可计算出各概率，得分布列，并能计算出数学期望试题解析：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为 2
15、，空气质量良的天数为 4，故该样本中空气质量优良的频率为 ，估计该月空气质量优良的频率为 ，从而估计该月空气质量优良的天数为 30 18.（2）由（1）估计某天空气质量优良的概率为 ， 的所有可能取值为 0，1，2，3.P（0） ，P（1）C ，P（2）C ，P（3） ，故 的分布列为： 0 1 2 3P显然 B ，E3 1.8【考点】茎叶图，用样本数据估计总体数据，随机变量概率分布列，数学期望19如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB ，AF1，M 是线段 EF 的中点（1）求证：AM平面 BDE；（2）求二面角 ADFB 的大小；（3）试在线段 AC 上确定
16、一点 P，使得 PF 与 BC 所成的角是 60.【答案】 （1）见解析；（2）60；（3）点 P 是 AC 的中点【解析】试题分析：（1）要证线面平行，只要证线线平行，设 交点为 ，为 中点，由 为 中点，可得 （中点连线是经常用到的辅助线） ，从而得证线面平行；（2）由已知可以证明 CD、CB、CE 两两垂直，因此以它们所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，（ ，0，0）为平面 ADF 的一个法向量再求得平面 的一个法向量 ，求得法向量的夹角即得二面角（它们相等或互补） ；（3）在（2）基础上，可设可设P（t, t, 0） （0t ） ，则由 与 的夹角的
17、为 或 可求得 ，从而得 点位置试题解析：（1）记 AC 与 BD 的交点为 O，连接 OE，O、M 分别是 AC、EF 的中点，ACEF 是矩形，四边形 AOEM 是平行四边形，AMOEOE平面 BDE，AM平面 BDE，AM平面 BDE（2）在平面 AFD 中过 A 作 ASDF 于 S，连接 BS，ABAF，ABAD，ADAF=A，AB平面 ADF，AS 是 BS 在平面 ADF 上的射影，由三垂线定理得 BSDFBSA 是二面角 ADFB 的平面角在 RtASB 中，AS= = ，AB= ，tanASB= ，ASB=60，二面角 ADFB 的大小为 60；（3）如图设 P（t，t，0）
18、 （0t ） ，则 =（ t， t，1） ， =（ ，0，0）又 ， 夹角为 60， ，解之得 t= 或 t= （舍去） ，故点 P 为 AC 的中点时满足题意【考点】线面平行的判断，二面角，异面直线所成的角20已知椭圆 C1： 1 （ab0）的离心率为 ，P（2，1）是 C1上一点（1）求椭圆 C1的方程；（2）设 A、B、Q 是点 P 分别关于 x 轴、y 轴及坐标原点的对称点，平行于 AB 的直线l 与 C1相交于不同于 P、Q 的两点 C、D.点 C 关于原点的对称点为 E证明：直线PD、PE 与 y 轴围成的三角形是等腰三角形【答案】 （1） ；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1
19、）本小题要求椭圆标准方程，由离心率可得 ，再把点坐标代入 又得 的一个方程，两者联立可解得 ；（2）设直线 PD、PE 的斜率分别为 ，则要证直线 PD、PE 与 y 轴围成的三角形是等腰三角形，只需证 ，为此先得 ，从而有 ，于是可设直线 方程为 ，同时设 ，由直线 方程与椭圆方程可得，计算 ，可得结论试题解析：（1）因为 C1离心率为 ，所以 a24b 2，从而 C1的方程为： 1 .代入 P（2，1）解得：b 22，因此 a28.所以椭圆 C1的方程为： 1 .（2）由题设知 A、B 的坐标分别为（2，1） ， （2，1） 因此直线 l 的斜率为 .设直线 l 的方程为：y xt.由 得
20、：x 22tx2t 240.当 0 时，不妨设 C（x 1，y 1） ，D（x 2，y 2） ，于是 x 1x 22t，x 1x22t 24.设直线 PD、PE 的斜率分别为 k1，k 2，则要证直线 PD、PE 与 y 轴围成的三角形是等腰三角形，只需证 k1k 20，又 k1k 2 ，则只需证（y 21） （2x 1）（2x 2） （y 11）0，而（y 21） （2x 1）（2x 2） （y 11）2（y 2y 1）（x 1y2x 2y1）x 1x 24x 2x 1x 1x2t（x 1x 2）x 1x 24x 1x2t（x 1x 2）42t 242t 240所以直线 PD、PE 与 y
21、轴围成的三角形是等腰三角形【考点】椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合问题【名师点睛】解析几何中的直线与曲线相交的综合性问题，可设出直线 方程，同时设交点坐标为 ，由直线 方程与椭圆方程可得 ，然后计算相关量，象本题计算 ，并把 用 表示出来，把刚才所得代入可得结论21已知函数 f（x）aln x x2ax（a 为常数）有两个极值点（1）求实数 a 的取值范围；（2）设 f（x）的两个极值点分别为 x1，x 2.若不等式 f（x 1）f（x 2）（x 1x 2）恒成立，求 的最小值【答案】 （1） ；（2） 【解析】试题分析：（1）由极值的定义知 在 上有两个不等实根，求出，即 在 上有两个不等实
22、根，由一元二次方程根的分布知识可得 的范围；（2）先求得 ，注意到（1）中以及 ，代入 ，可化为，因此研究 的最值，由 知在 上是减函数，因此 ，且 可无限接近 ，因此 的最小值就是 试题解析：（1）f（x） xa （x0） ，于是 f（x）有两个极值点需要二次方程 x2axa0 有两个不等的正根，设其两根为 x1，x 2，则 ，解得 a 4，不妨设 x1x2，此时在 上 f（x）0， 上 f（x）0，上 f（x）0.因此 x1，x 2是 f（x）的两个极值点，符合题意所以 a 的取值范围是 .（2）f（x 1）f（x 2）aln x 1 x ax 1aln x 2 x ax 2aln（x 1x2） （x x ）a（x 1x 2）.3aln（x 1x2） （x 1x 2） 2x 1x2a（x 1x 2）a于是 ln a a1，a .令 （a）ln a a1，则 （a） .因为 a 4，所以 （a）0.于是 （a）ln a a1 在 上单调递减因此 （a）（4）ln 43.且 可无限接近 ln 43.又因为 x1x 20，故不等式 f（x 1）f（x 2）（x 1x 2）等价于.所以 的最小值为 ln 43.【考点】导数与极值，不等式恒成立，一元二次方程根的分布22选修 41：几何证明选讲
