1、赛尔教育水木艾迪考试培训网: 第 8 讲 广义积分 阶段综合问题 8.1 广义积分的定义及收敛性 定积分研究的问题: 有界函数在有界区间上的积分. 广义积分研究的问题: 有界函数在无界区间上的积分（第1 类）.无界函数在有界区间上的积分（ 第 2 类）。 清华大学东门清华科技园科技大厦 B座 18层 定义 8.1 (第一 类广义积分)设函数 在)(xf ), +a 内的任意有限区间可积,并且极限 存在, 则称 在+AaAdxxf )(lim ), +a)(xf 广义积分收敛,其广义积分为，若不收敛,则称广义积分发散。 +=AaAadxxfdxxf )(lim)(定义 8.2 (第二类广义积分)
2、设函数 在 内的任意有限闭子区间可积, 并 且极限 存在, 则称 在 上的广义积分收敛,其广义积分为 )(xf ), baBabBdxxf )(lim )(xf ), ba =BabBbadxxfdxxf )(lim)( 。 同样我们可以定义其它广义积分的收敛性: =aAAadxxfdxxf )(lim)( , 。 +=bAaAbadxxfdxxf )(lim)(8.2 收敛性的判断准则 8.2.1 第一类广义积分收敛性的判断准则 +adxxf )(准则 8.1 若第一类广义积分 收敛,则 一定收 敛, 此时称绝对收敛. +adxxf )(+adxxf )(当 收敛，而+adxxf )(+ad
3、xxf )( 方发散时,称广义积分条件收敛. 准则 8.2 若 变限积分 单 调有界，则 一定收敛。特别，对非负函数 ，只要变限积分 在xadttf )(+adxxf )(), +axadttf )()(xf ), +a 上有界，则 一定收敛。 +adxxf )(赛尔教育水木艾迪考试培训网: 清华大学东门清华科技园科技大厦 B座 18层 准则 8.3(直接比较法)非负函数 ),),()(0 + axxgxf , 若 收敛, 一定收敛; 若 发散, 一定发散. +adxxg )(+adxxf )(+adxxf )(+adxxg )()(),( xgxf ), +a准则 8.4(极限比较法) 设
4、 内的任意有限区间可积, 非负, 且 )(xg=+)()(limxgxfx, 则 (1) 当 0 时, 广义积分 与 有相同的敛散性; +adxxf )(+adxxg )(时, 广义积分收敛则 收敛; +adxxg )(+adxxf )(0=(2) 当(3) 当 = 时, 广义积分 收敛则 收敛. +adxxf )(+adxxg )(dxxap+1准则 8.5 （尺度法） 当 时收敛;当)0( a 1p 1p 时发散.因此，若,且 ,则 收敛。 +adxxf )(0)(lim =+xfxpx1pdxxxx+1 51ln的收敛性. 例 8.1 判断0lnlim3=+xxx3ln xx X 0 X
5、x ， 167,11ln535=+p 收敛. 【解】 赛尔教育水木艾迪考试培训网: 清华大学东门清华科技园科技大厦 B座 18层 1=p+=e BBexxxdx1ln1limln2时， ， xnxpx211lim+exdx+=1a清华大学东门清华科技园科技大厦 B座 18层 +=+aadxxdxx2021111,则 =a 。 aa arctan2arctan =1,4arctan = aa【解】 ， . +12arctandxxx. 例 8.7 计算 )1(arctanarctan112 +=xxddxxx【解】 dxxxxbb)11(lim421+=+=121)1(11dxxxnxarct
6、ax2ln21)1ln(21lnlim42+=+bbb2ln214+=+=1 21xxdx例 8.8 。 +=12020sec22tansectansec1dtdtttttxxdxtxtx1=或令 ， 【解】用凑微分法，则 赛尔教育水木艾迪考试培训网: =10 2201arcsin11 tdtt清华大学东门清华科技园科技大厦 B座 18层 =+ 01221 2)1(111dttttxxdx. =+1 21xedx1arccos2 e例 8.9 广义积分 . 答案： . 【解】取变换 ，则 texsec=tdttdxetxxtansec),ln(sec = ， 112arccosarcsinar
7、ccos2tantan1=eedtttIe例 8.10 计算广义积分 。 dxxxn10ln【解】 采用分部积分，即有 122!)1(212+= =nnnnInnL1101210221ln21ln21=nnnnIndxxnxxxI . x112,41=nnInII或 。 )0,1(2+=xaaxyax补 1. （2007-2-18）（本题满分 11）设 是位于曲线 D 下方、x轴上方的无界区域。 x（）求区域 绕 D 轴旋转一周所成旋转体的体积 ； )(aV（）当 a为何值时， 最小？并求此最小值。 )(aVaaxdxeaadxxaaVaaxaxlnln)(0ln0+ + = 【解】 （）+
8、+=0ln220lnlnlnlnxaadeaaeaaxaaxaaxaaxdexaaln0ln+= aaeaaaax220ln22lnln0 =+aaaa32ln2ln2 = ea =（） )(aV ，令 0)( = aV 得唯一驻点 ， 在 两侧变号，且为先正后负，所以 为最小值。 ea =)(aV2)( eeV =赛尔教育水木艾迪考试培训网: 8.3 阶段复习综合问题 定积分定义在考研中的应用 用于 求 特定极限 =+=bankdxxfknabafnab)()(lim1n运用定积分求极限常用公式为 。 )(kfknab=kxnab=其中 。 ，nnn!limn e1例 8.11 求极限 。答
9、案： 。 （清华大学考研辅导班 2004 强化班例题） nknnnynknnlnln1!lnln1=nnynn!=【解】 记 ，则 ， 或记为 =nknkn1ln1)lnln(1ln1nnknynkn=)ln(ln11nknnk=， =nknnkn1ln1lim清华大学东门清华科技园科技大厦 B座 18层 极限 nnylnlim等于广义积分 的值， 10lnxdx),2,1(,1 nknknkL=相应于将区间 分割成 1,0 的积分和式的极限， nkfkln)( =且积分和式中的 。 注意到广义积分 为第二 类广义积 分，并且收敛，于是 10lnxdxnnylnlim=nknnkn1ln1li
10、m=10lnxdx 1)ln(10= xxx ， =nnn!limne1nnylim所以 。 2sinsin1lim101=xdxnknnkn。 类似方法可以计算 nkkxkk sinsin,1=其中 。请看 2004 年考题： nnnnnn22212111lnlim +L（2004-209） 等于 B ()212.ln xdx ()21.ln2 xdx赛尔教育水木艾迪考试培训网: () ( )+21.1ln2 dxxC () ( )+212.1ln dxxDnnnnnn22212111lnlim +L+=nnnnnn12111ln2limL 【解】清华大学东门清华科技园科技大厦 B座 18层
11、 =+=nknnkn11ln1lim2 ()+=101ln2 dxx=21ln2 tdt = (B)。 22ln4)ln(2ln22121=ttttdt +=)1(01123nnnnndxxxa =nnnalim B 。 例 8.12 设 ，则(A) 。 (B) 1)11(2/3+e1)1(2/3+e 。 1)11(2/3+e(C) 。 (D) 。 1)1(2/3+e【解】 积分得 )1()1(12321)1/(0nnnnnxdxna +=+102/3)1(1+nnnxn1)1(1(12/3+nnnn= =取极限得 1)11(1)1(1limlim2/32/3+=+=ennnannnn2)(l
12、n21x( )xf例 8.13 已知 ，且xxxeef= )( 0)1( =f = , 则 . )(xf 【分析】 先求出 的表达式，再积分即可。 【解 】 令 ，则 ，于是有 tx ln=tex=tttfln)( = .ln)(xxxf = ， 即 Cxdxxxxf +=2)(ln21ln)( ( ) 01 =f积分得 . 利用初始条件 , 得 C=0，故所求函数为= 2)(ln21x()xf . 0，表示矩形 t x t， 0 y F(t)的面积. 求 =0,0,)(22xexexFxx)(1tS(1) S(t) = S 的表达式； )(1tS(2) S(t)的最小值. 【分析】曲线 y
13、= F(x)关于 y 轴对称 ，x 轴与曲线 y = F(x)围成一无界区域，所以， 面积 S可用广义积分表示 . ，属于基 本题型。 120202=+xxedxeS ， 【解 】(I) 矩形 t x t， 0 y F(t)的面积为 ， ttetS212)(=因此 ，t (0 , +). ttetS221)(=21=t (II) 由于 ，故 S(t)的唯一驻点为tettS2)21(2)(= ， 04)21( =eS 又 ，tettS2)1(8)(= ， eS11)21( = 所以， 为极小值，它也是最小值. 清华大学东门清华科技园科技大厦 B座 18层 例 8.16 设 在 )(xf )()(
14、,0)( tftfxf =),( + 上连续，且 ， =aadttftxxF )(|)( （1）证明当 时， 单调增； )(xF, aax x（2） 为何值时 取最小值； )(xF（3）当把 的最小值记为 的函数 时，试求 a 1)(2aaf)(xF )(xf赛尔教育水木艾迪考试培训网: 【解】 （） ， , aax 清华大学东门清华科技园科技大厦 B座 18层 +=axxadttfxtdttftxxF )()()()()()(xF+=+=xaxaaxxadttfdttfdttfxxfxxfxxfdttfxxf)()()()()()()()(,0)(2)()()( aaxxfxfxfxF =+
15、= 故 单调增 )(xF（） +=xaxadttfdttfxF )()()(+= xaxadttfuduf )()()(=+=xxxaxadttfdttfdttf )()()( 0=x 0=x0)( = xF 0)0( F因为 ， 0)( xf 有唯一解 由 知 是 的极小值点 )(xF（） ，1)()(2)0(20=aafdtttfFa1)0( =f 。对 求导得到一阶线性方程 ， aaafaaf 2)()(2 =+=1)2()(222aCeCdaaeeafaa， 由 ，得到 。 12)(2=xexf2,1)0( = Cf),(0bax 例 8.17 设 在 内有定义，且在)(xf ),(
16、ba 处可导。数列 满足条件： ,nnyx00limlim, xyxbyxxannnnnn=x=)(022dtxtxfdxdx（ C ）。 (A) 0。 (B) 。 (C) 1 。 (D) -1。 xxf cos)(cos1cos)(cos)(20022=uduufdtxtxfx【解】令 , 则有uxt sin= ，答案：（ C）。 赛尔教育水木艾迪考试培训网: 清华大学东门清华科技园科技大厦 B座 18层 例 8.20 设 ， 在 上有二阶连续导数，且0a )(xf , aa + 0)0( =f ， （1）写出 的带 Lagrange余项的一阶麦克劳林公式公式。 )(xf（2）证明在 上至
17、少存在一点, aa + ，使得 。 =aadxxffa )(3)(3【解】 （1） 有 , aax 22!2)()0(!2)()0()0()( xfxfxfxffxf +=+= 其中 (变量)在 之间。 x,0（2）由上式两边取积分得到 +=aaaaaadxfxxdxfdxxf )(2)0()(2=aadxfx )(212 由于 在)(xf )(xf , aa + , aa +上连续，因此 在 上存在最大最小值 ，使。 Mm,Mxfm )(于是由积分估值定理可得到 =aaadxxMdxfx022)(21aaaxdxxfdxxm02)( Mdxxfamaa)(33即有 ， 对 在 上应用 连续函
18、数 的介值定理，则在)(xf , aa + , aa + 上至少存在一点 ，使得 . =aadxxffa )(3)(3注意如下错误做法。由泰勒公式，得 20)(“21)0()( xxfxfxf += a，其中 ,0aax 。两边从 到 积分，得a=aaxfadxxf )(“31)(03。 x错误原因： 在 之间且与0x x,0 有关。 dxxnxnn+101sin1lim例 8.21 求极限 . dxxnxn+101sin1【解】 +=+=1021010)sin1(cossin1sin1 xxdxxxxxdxnnn赛尔教育水木艾迪考试培训网: dxxxxInn+=102)sin1(cos110
19、10+=a)(xf ),( +清华大学东门清华科技园科技大厦 B座 18层 =+dttftf)()(41lim20 B 。 )0(21f )2( f (A) 。 (B) 。 (C)0(f )(f 。 (D) 【解】由罗必达法则 dttftf+)()(41lim208)()(lim02200=dxxfdxxfdd)0(8)2(2)2(2lim0fff=例 8.23 把 时的无穷小量 +0xdttdttdttxxx=03002sin,tan,cos2 排序，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 B , . (B) , . (A) , ,(C) . (D) . 【解 】 首先 0co
20、s2tanlimcostanlimlim20020002=+xxxdttdttxxxxx，可排除(C),(D)选项，另外 xxxxdttdttxxxxxtan221sinlimtansinlimlim230003002=+=+20lim41xxx ，可见 是比 低阶的无穷小量，故应选(B). 例 8.24 设 ， ，则 B =0,10,00,1)(xxxxf=xdttfxF0)()(A) F(x)在 x = 0点不连续 . (B) F(x)在 ( , +)内连续，但在 x = 0点不可导. 赛尔教育水木艾迪考试培训网: )()( xfxF =(C) F(x)在( , +)内可导，且满足 . )
21、()( xfxF =(D) F(x)在( , +)内可导，但不一定满足 . 【不可取的分析】先求分段函数 的变限积分 ，再讨论函数 F(x)的连续性与可导性即可。 =xdttfxF0)()()(xf【正确分析 】 可积，F( x)连续； 有第一类间断点，F( x)不可导，故选(B). )(xf )(xf【不需要的详解】当 x 0时， ，当 x = 0时， F(0) = 0. 即 F(x) = |x|， xdtxFx=01)(显然，F( x)在( , +)内连续，但在 x = 0点不可导 . 故选(B). 清华大学东门清华科技园科技大厦 B座 18层 例 8.25 设 在)(xf ,0 ，且 ，于是 则=00)()( dxxfdttf00)()( dxxfdxxf =00)()( dxxfdttf 0)()(0= dttftf 。
