1、 2017 年温州中学奥数班综合评估试卷 M A T H E M A T I C S （本卷满分：150 分 考试时间：150 分钟）一、填空题（共 16 小题，每题 7 分，计 112 分） 1. 设 xhgxf， 是定义域为 R的三个函数，且有命题：P. 若 xgf， 均为增函数，则 xhgxf， 中至少有一个为增函数；Q . 若 ， f， hxg均是以 T为周期的函数，则 h， 均是以 T为周期的函数对于以下说法：P 真，Q 真；P 真，Q 假；P 假，Q 真；P 假，Q 假正确的是 2. 一等腰梯形腰和底的长分别为 2和 3，则此梯形面积最大值是 3. 设动直线 Zmkxy,与椭圆 1
2、62yx交于不同的两点 A，B，与双曲线124x交于不同的两点 A，B ，且 0DC，则符合条件直线的条数为 4. 已知复数 y,满足 14yx，则 xy的不同取值的种数为 5. 在矩形 ABCD 中，AB=1，BC=2，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 CD 上，若 1EF，则AFE的最小值是 6. 如图所示，在一个高为 10，底面半径为 1 的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计） 一个平面与两个乒乓球均相切已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则此椭圆的离心率是 7. 已知
3、 21a， 201nna，则使得 1kka的 k 的值是 8. 若存在凸 n 边形，其各内角及其正切值都为有理度数，则正整数 n 的最大值是 9. 已知周六降雨概率为 40%，周日降雨概率为 30%，周六降雨的条件下周日降雨概率是周六不降雨的条件下周日降雨概率的 2 倍设周六周日两天至少有一天下雨的概率为 ba，其中 ba,为互质的正整数则 ba的值是 10. c是三个不同的正整数， 615431c则所有满足要求的集合 c,的个数为 11. 设 0m， 231xp： ， 0 22mxq： ，若 p 是 q 的必要而不充分条件，则 m 的取值范围是 12. 已知 abc = -1， 2cba，则
4、 55cab的值为 13. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M、N 分别是 AC1、A 1B1 的中点点 P 在该正方考号：姓名：第 6 题体的表面上运动，则总能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹的周长等于 14. 记 x为不超过 x 的最大整数若集合 1 yxyxS， ，则集合 S 所表示的平面区域的面积为 15. 已知线段 AB 是半径为 2 的球 O 的直径，C、D 两点在球 O 的球面上，2CD，ABCD， 13545A，则四面体 ABCD 体积的取值范围是 16. 过抛物线 2xy上的一点 ， 作抛物线的切线，分别交 x轴于 D，交 y轴于 B点
5、C 在抛物线上，点 E 在线段 AC 上，满足 1E；点 F 在线段 BC 上，满足 2F，且121，线段 CD 与 EF 交于点 P当点 C 在抛物线上移动时，则点 P 的轨迹方程是 二、解答题（共 2 小题，17 题 14 分，18 题 24 分，计 38 分） 17. 是否存在一个非等腰三角形 AB，满足 BAcoscos请说明理由18. 已知整数列 na， b满足 1na， 12nnba，对于正整数 n，定义函数 xf2，证明：若存在某个 xfk有两个整数零点，则必有无穷多个 xn有两个整数零点 设 1234,a是各项为正数且公差为 0d的等差数列() 是否存在 1,ad，使得 234
6、1,a依次成等比数列，并说明理由() 是否存在 及正整数 nk，使得 35124,nknka依次成等比数列，并说明理由1. 2. 3. 4.5. 6. 7. 8.9. 10. 11. 12.13. 14. 15. 16.17.18.2017年 奥数班综合性评估 数学试卷 制备人：前进者2017 年温州中学奥数班综合性评估 参考答案及解析一、填空题（共 16 小题，每题 7 分，计 112 分）1 考点：周期，增减 函数 答案： 2 考点：三角，导数 2014 年北京大学全国优秀中学生体验营 答案： 47 提示 S 取 max 时，上底为 3，设底角为 x， xS2sin33 考点：椭圆，双曲线
7、，直线，向量 答案： 9 提示 k = 0 时， 012， m；k 0 时， 1k4 考点：复数 答案： 2 提示（如下）5 考点：向量，函数，圆，切线 答案： 5 提示（如下）6 考点：椭圆，圆柱 答案： 415 提示（如下）7 考点：数列 答案：2013 提示 变形累加，推导两边8 考点：抽屉原理，三角 答案： 8 提示（如下）9 考点：概率 2016年美国数学邀请赛 答案：107 提示（如下）10 考点：排列与组合，集合 2016年美国数学邀请赛 答案：728 提示（如下）11 考点：充要条件，函数，不等式 答案： ，9 12 考点：代数式 2013 年清华保送（注：原题条件多余，此题已
8、删去） 答案： 3 解 将 acb1代入 12cb23ac()再代入 55，55cab= 546931-ca= 546923- ca= 3621-ac= 362-c将()代入， 55cab=313 考点：立体几何，动点轨迹 答案： 52 14 考点：平面线性规划，绝对值，分类讨论 答案： 15 考点：立体几何（球，体）2016 年全国高中数学联赛 广西预赛 答案： 34， 16 考点：抛物线，轨迹方程 答案： 3213xy 提示 方法一：常规推导出 EF，CD 直线方程；方法二：面积法，P 为 ABC的重心注意：x 的取值不可为 32二、解答题（共 2 小题，17 题 14 分，18 题 24 分，计 38 分） 17 考点：三角及反三角，奇偶分析，函数，构造 （本题 14 分）18（ 1） 考点：奇偶性，零点，函数 （本题 8 分）解析 18（ 2） 考点：数列，反证法，对数，构造函数，求导，零点存在 （本题 16 分）分析：解答：
