1、2017 届浙江省建人高复高三上学期开学摸底考试数学试卷一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知 U=R，集合 A=x|x0，B=x|2x4，则 ()UAB=（ ）Ax|x0 Bx|2x4 Cx|0x2 或 x4 Dx|0x2 或 x42已知1113223,5abc，则下列关系中正确的是（ ）Aabc Bba c Ca cb Dcab3函数21()fx的图象在点（1， (1)f）处的切线方程为（ ）Axy+1=0 B3xy1=0 Cxy1=0 D3xy+1=04若三角形的三边均是正整数，其中一边长为 5，另外两边的长分
2、别为 b，c，且满足 b5c，则这样的三角形共有（ ）A10 个 B14 个 C15 个 D21 个5已知函数 ()fx=2sin（2x+） （|） ，若()28f，则 ()fx的一个单调递增区间可以是（ ）A B C D6已知点 F 是双曲线21(0,)xyab的右焦点，点 E 是左顶点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于点 A，若 tanAEF 1，则双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ）A （1，+ ） B （1，2） C （1，1+ ） D （2，2+ ）7矩形 ABCD 中，AB BC，将ABC 沿着对角线 AC 所在 的直线进行翻折，记 BD 中点为 M，则在翻折过程中，下
3、列说法错误的 是（ ）A存在使得 ABDC 的位置 B存在使得 ABBD 的位置C存在使得 AMDC 的位置 D存在使得 AMAC 的位 置8已知定义在1，+）上的函数 8(2), 1)()(xxff给出下列结论：函数 ()fx的值域为（0，8 ；对任意的 nN，都有3(2)nf；存在 k 1,84，使得直线 y=kx 与函数 y= ()fx的图象有 5 个公共点；“函数 ()fx在区间（a ，b）上单调递减 ”的充要条件是“存在 nN，使得（a，b）（2 n，2 n+1） ”其中正确命题的序号是（ ）A B C D二、填空题（共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，满分 36
4、分）9若抛物线 C：y 2=2px 的焦点在直线 x+y3=0 上，则实数 p= 10.已知复数 13zi（其中 i是虚数单位） 20za，则实数 a ； |za.11已知 是第四象限角，且 sin（+ ）= ，则 sin= tan（ ）= 12.已知，某几何体的三视图（单位：cm）如右图所示，则该几何体的体积为 （cm 3） ；表面积为 （cm 2）13已知定义在 R 上的奇函数 ()fx=1,(0) xg，则 (1)f= ；不等式 ()f7 的解集为 14如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1，E，F 分别是上底面 A1B1C1D1 和侧面 CDD1C1 的中心，若 AFxByz，则 x
5、+y+z= 15记 maxa，b= ，设M=max|xy 2+4|，|2y 2x+8|，若对一切实数x，y，Mm 22m 都成立，则实数 m 的取值范围是 三、解答题（共 5 小题，满分 74 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16设函数 y=lg（x 2+4x3）的定义域为 A，函数 y= ，x（0，m ）的值域为 B（1）当 m=2 时，求 AB；（2）若“xA”是“xB” 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围17如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， ADBC，ADC=90，平面 PAD底面ABCD，Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 上的点，PA
6、=PD=AD=2，BC=1，CD= （1）求证：平面 PQB平面 PAD；（2）若 PM=3MC，求二面角 MBQC 的大小18.已知：数列 na中，12,6na， nN（1）求 134,；（2）猜想 na的表达式并给出证明；（3）记： 121nnSa，证明：32nS.19.已知 12,F是椭圆 C：2315xy的左右焦点（1）若点 M 在椭圆 C 上，且 1260FM，求 12F的面积；（2）动直线 ()ykx与椭圆 C 相交于 A，B 两点，点 (,0)Tt，问是否存在 tR，使得 TAB为定值，若存在求出 t的值，若不存在，请说明理由.20已知函数221()ln,(),mfxxgxR，令
7、 ()()Fxfgx（）求函数 的单调递增区间；（）若关于 x的不等式 ()1Fx恒成立，求整数 的最小值；（）若 m= 1，且正实数 12,满足 12()()xF，求： 12x的取值范围数学（参考答案）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知 U=R，集合 A=x|x0，B=x|2x4，则 ()UAB=（ ）Ax|x0 Bx|2x4 Cx|0x2 或 x4 Dx|0x2 或 x4【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先求出补集 UB，再根据交集的定义求出 ()U【解答】解：B=x|2x4， UB=x|x2 或 x4
8、，A=x|x0， ()UA=x|0x2 或 x4 ，故选：D2已知111323,5abc，则下列关系中正确的是（ ）Aabc Bba c Ca cb Dcab【考点】对数值大小的比较【分析】利用指数函数与幂函数的单调性即可得出【解答】解： ，b=（ ） c=（ ） ， ，a=（ ） b=（ ） ， abc故选：A3函数21()fx的图象在点（1， (1)f）处的切线方程为（ ）Axy+1=0 B3xy1=0 Cxy1=0 D3xy+1=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，可得切线的方程【解答】解：函数 f（x）=x 2+ 的导数
9、为 f（x）=2x ，可得图象在点（1，f（1） ）处的切线斜率为 k=21=1，切点为（1，2） ，可得图象在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y2=x 1，即为 xy+1=0 故选：A4若三角形的三边均是正整数，其中一边长为 5，另外两边的长分别为 b，c，且满足 b5c，则这样的三角形共有（ ）A10 个 B14 个 C15 个 D21 个【考点】计数原理的应用【分析】本题根据三角形的三边关系首先确定出 a、b、c 三边长的不等关系，即可直接得出有几个三角形【解答】解：依题意得 且 b，cN *，满足区域内共有 1+2+3+4+5=15 个整点，即满足条件的数对（b，c）有 15 组，
10、 （1，5） ， （2，5） ， （2，6） ，（3，5， ） ， （3，6） ， （3，7） ， （4，5， ） ， （4，6） ， （4，7） ， （4，8） ， （5，5， ） ， （，5，6） ， （5，7） ， （5，8） ，（5，9） ，从而满足条件的三角形有 15 个，故选：C5已知函数 ()fx=2sin（2x+） （|） ，若()2f，则 ()fx的一个单调递增区间可以是（ ）A B C D【考点】正弦函数的单调性【分析】由正弦函数最值的结论，得 x= 是方程 2x+= +2k 的一个解，结合| 得 = ，所以f（x）=2sin （2x+ ） ，再根据正弦函数的图象与性质，得
11、函数的单调增区间为 +k， +k（kZ） ，对照各选项可得本题答案【解答】解：当 x= 时， f（x）=2sin（2x+）有最小值为2x= 是方程 2x+= +2k 的一个解，得 = +2k， （kZ）|，取 k=0，得 = 因此函数表达式为：f（ x）= 2sin（2x+ ）令 +2k2x+ +2k，得 +kx +k， （kZ）取 k=0，得 f（x）的一个单调递增区间是 故选：D6已知点 F 是双曲线21(0,)yab的右焦点，点 E 是左顶点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于点 A，若 tanAEF 1，则双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ）A （1，+ ） B （1，2）
12、C （1，1+ ） D （2，2+ ）【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可得 E（a，0） ，F（c，0） ，|EF|=a+c ，令 x=c，代入双曲线的方程可得|AF| ，再由正切函数的定义，解不等式结合离心率公式，计算即可得到所求范围【解答】解：由题意可得 E（a，0） ，F（c，0） ，|EF|=a+c，令 x=c，代入双曲线的方程可得 y=b= ，在直角三角形 AEF 中，tan AEF= = 1， 可得 b2a （c+a） ，由b2=c2a 2=（c a） （c+a） ，可得 caa ，即 c2a，可得 e= 2，但 e1，可得 1e2 故选：B 7矩形 ABCD 中，AB BC
13、，将ABC 沿着对角线 AC 所在 的直线进行翻折，记 BD 中点为 M，则在翻折过程中，下列说法错误的 是（ ）A存在使得 ABDC 的位置 B存在使得 ABBD 的位置C存在使得 AMDC 的位置 D存在使得 AMAC 的位 置【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；棱锥的结构特 征【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：当 ABBD 时，AB平面 BDC，此时 ABDC，即 A 正确；由（A）可知，B 正确；当 CD平面 ABD 时，AM DC，正确；由于ABDCDB，BD 中点为 M，AM=CM，AMAC 不可能，故不正确故选：D8已知定义在1，+）上的函数8(2),
14、1)()(xxff给出下列结论：函数 ()fx的值域为（0，8 ；对任意的 nN，都有3(2)nf；存在 k 1,84，使得直线 y=kx 与函数 y= ()fx的图象有 5 个公共点；“函数 ()fx在区间（a ，b）上单调递减 ”的充要条件是“存在 nN，使得（a，b）（2 n，2 n+1） ”其中正确命题的序号是（ ）A B C D【考点】命题的真假判断与应用【分析】根据分段函数的表达式结合函数的最值进行求解判断，利用 f（2 n）= f（1）进行求解判断，作出函数 f（x）和 y=kx 的图象，利用数形结合进行判断，根据分段函数的单调性进行判断【解答】解：当 1x2 时，f（x）= 8
15、x（x2）=8（x1） 2+8（0，8，f（1）=8 ，f（2 n）= f（2 n1 ）= f（2 n2 ）= f（2 n3 ）= f（2 0）= f（1）= 8=23n ，故正确，当 x2 时，f（x）= f（ ）0，4，故函数 f（x）的值域为（ 0，8；故正确，当 2x4 时，1 2，则 f（x）= f（ ）= 8（ 1） 2+8=4（ 1） 2+4，当 4x8 时，2 4，则 f（x）= f（ ）= 4（ 1） 2+4=2（ 1） 2+2，作出函数 f（x）的图象如图：作出 y= x 和 y= x 的图象如图，当 k（ ， ） ，使得直线 y=kx 与函数 y=f（x）的图象有 3 个
16、公共点；故错误，由分段函数的表达式得当 x（2 n，2 n+1）时，函数 f（x）在（2 n，2 n+1）上为单调递减函数，则函数 f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是 “存在 nN，使得（a，b）（2 n，2 n+1） ”为真命题 ，故正确， 故选：C二、填空题（共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，满分 36 分）9若抛物线 C：y 2=2px 的焦点在直线 x+y3=0 上，则实数 p= 6 【考点】抛物线的简单性质；直线与抛物线的位置关系【分析】求出直线与坐标轴的交点，得到抛物线的焦点坐标，然后求出 p，即可得到抛物线的准线方程【解答】解：直线 x+y3=0
17、，当 y=0 时，x=3，抛物线的焦点坐标为（3，0） ，可得 p=6，10.已知复数 13zi（其中 i是虚数单位） 20za，则实数 a 2 ； |za2 .11已知 是第四象限角，且 sin（+ ）= ，则 sin= tan（ ）= 【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 cos（+ ）的值，进而可求 sin，cos，tan 的值，从而利用两角差的正切函数公式即可解得得解 tan（ ）的值【解答】解：因为： 是第四象限角， ，所以： ，解得： ，可得：sin= ， 所以： ，所以：故答案为： ， 12.已知，某几何体的三视图（单位：
18、cm）如右图所示，则该几何体的体积为 12 （cm 3） ；表面积为 3062 （cm 2）13已知定义在 R 上的奇函数 ()fx=1,(0) xg，则 (1)f= 1 ；不等式 ()fx7 的解集为 （，2 【考点】函数奇偶性的性质【分析】由奇函数关于原点对称的性质，即可求得 f（1） ；不等式 f（f（x） ）7 的解集等价于 f（x）3的解集，即可求得答案【解答】解：R 上的奇函数 f（x）= ，f（1）=f（1）=（ ） 1 1=1， 不等式 f（f （x） ）7，f（3）=7， f（x）3，R 上的奇函数 f（x）= ， g（x）=1 2 x，f（x） 3 等价于 或 ，可以解得
19、x2， 即不等式 f（ f（x） ）7 的解集为（，2故答案为：1；（，214正方体 ABCDA 1B1C1D1，E，F 分别是上底面 A1B1C1D1 和侧面 CDD1C1 的中心，若 =x +y +z，则 x+y+z= 【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】构造辅助线，分别表示出 和 ，两式相减消去 ，即可求得 = + + ，即可求得 x+y+z 的值【解答】解：如图，由题意可知：连接 AC，BC 交点 为 O，则点 E 在平面 ABCD 内的射影为 O， = + + ，点 F 在平面 ABCD 内的射影为 M， = + + ， 得： = + ， = + + ，x+y+z= ， 故答案
20、为： 15记 maxa，b= ，设 M=max|xy 2+4|，|2y 2x+8|，若对一切实数 x，y，Mm 22m 都成立，则实数 m 的取值范围是 1 ，1+ 【考点】分段函数的应用【分析】设 M=max|xy 2+4|，|2y 2x+8|，可得 2M|xy 2+4|+|2y2x+8|y 2+12|12，所以 M6，利用对一切实数 x，y，Mm 22m 都成立，即可求出实数 m 的取值范围【解答】解：M=max|x y2+4|，|2y 2x+8|，2M|xy 2+4|+|2y2x+8|y 2+12|12， M6，对一切实数 x，y，Mm 2 2m 都成立，m 22m6，1 m1+ ， 实
21、数 m 的取值范围是1 ，1+ ，故答案为：1 ，1+ 三、解答题（共 5 小题，满分 74 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16设函数 y=lg（x 2+4x3）的定义域为 A，函数 y= ，x（0，m ）的值域为 B（1）当 m=2 时，求 AB；（2）若“xA”是“xB” 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的定义域【分析】 （1）先求出 A=（1，3） ，再求出 B=（ ，2） ，取交集即可；（2）根据：“xA” 是“xB”的必要不充分条件，得不等式解出即可【解答】解：（1）由x 2+4x30，解得：1x3，A=（1
22、，3） ，又函数 y= 在区间（0，m）上单调递减，y（ ，2） ，即 B=（ ，2） ，当 m=2 时，B=（ ，2） ，AB=（1，2） ；（2）首先要求 m0，而“x A” 是“x B”的必要不充分条件，B A，即（ ，2） （1，3） ，从而 1，解得：0m117如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， ADBC，ADC=90，平面 PAD底面ABCD，Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 上的点，PA=PD=AD=2，BC=1，CD= （1）求证：平面 PQB平面 PAD；（2）若 PM=3MC，求二面角 MBQC 的大小【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂
23、直的判定【分析】 （1）推导出四边形 BCDQ 是平行四边形，从而 BQAD，进而 AD平面 PQB，由此能证明平面 PQB平面 PAD（2）以 Q 为原点，QA 为 x 轴，QB 为 y 轴，QP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 MBQ C 的大小【解答】证明：（1）Q 为 AD 的中点，PA=PD=AD=2，BC=1，PQAD，QD BC， 四边形 BCDQ 是平行四边形，DCQB，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC，ADC=90 ， BQAD ，又 BQPQ=Q，AD平面 PQB， AD平面 PAD，平面 PQB平面 PAD解：（2）PQAD，平面 PAD底面
24、ABCD，平面 PAD底面 ABCD=AD，PQ底面 ABCD，以 Q 为原点，QA 为 x 轴，QB 为 y 轴，QP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 Q（0，0，0） ，B（0， ，0） ，C（1， ，0） ， P（0，0，） ，设 M（a，b，c） ，则 ，即（a，b，c ）= （1 ， ， ）=（ ， ， ） ， ，b= ，c= ，M （ ， ， ） ，=（ ， ， ） ， =（0， ，0） ，设平面 MQB 的法向量 =（x，y，z ） ，则，取 x=1，得 =（1，0， ） ，平面 BQC 的法向量 =（0，0，1） ，设二面角 MBQC 的平面角为 ，则 cos= = ，= ， 二面角 MBQC 的大小为 18.已知：数列 na中，12,6na， nN（1）求 134,；（2）猜想 na的表达式并给出证明；（3）记： 121nnSa，证明：32nS.18：解：
