1、“超级全能王”浙江省高三 2017 年 3 月联考第卷一、选择题：本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数 1zi对应的向量为 OP，复数 2z对应的向量为 OQ，那么向量 P对应的复数为（ ）A 1i B i C 1i D 1i2.在二项式 61(2)x的展开式中，常数项是（ ）A-240 B240 C-160 D1603.若 logae，7cos3b， 317lgsin6，则（ ）A b B a C bc D cab4.设抛物线的顶点在原点，其焦点在 x轴上，又抛物线上的点 (1,)A与焦点 F的距离为
2、2，则 a（ ）A4 B4 或-4 C. -2 D-1 或 25.“函数 ()ln()fxaxe存在零点”是“ 1a”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充要条件 D既不充分不用必要条件6.若实数 ,xy满足不等式组201yx，则 2|1|xy的最大值是（ ）A 143 B 193 C. 4 D17.已知函数 ()|()fxMPNxR，其中 MN是半径为 4 的圆 O的一条弦， P为单位圆 O上的点，设函数 的最小值为 t，当点 在单位圆上运动时， t的最大值为 3，则线段 MN的长度为（ ）A 43 B 23 C. 3 D 28.过双曲线21(0,)xyab上任意一点 P，作与
3、y轴平行的直线，交两渐近线于 ,AB两点，若24PAB，则该双曲线的离心率为（ ）A 103 B 3 C. 62 D 529.矩形 CD中， A， 1C，将 AB与 C沿 A所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线 与直线 成的角范围（包含初始状态）为（ ）A 0,6 B 0,3 C. 0,2 D 20,310.已知在 (,1上递减的函数 ()1fxt，且对任意的 12,xt，总有12|)|fxf，则实数 t的取值范围为（ ）A , B ,2 C. 2,3 D ,二、填空题（本大题共 7 小题，11-14 题每题 6 分，15-17 题每题 4 分，共 36 分，将答案填在答题纸上）11.等比
4、数列 na的前 项和为 nS，已知 1a， 12,5S成等差数列，则数列 na的公比 q 12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ；体积为 .13.在平面直角坐标系中， (,0)Aa， (,)Db， 0a， (,2)C， 90AB， D是 AB的中点，当A在 x轴上移动时， 与 b满足的关系式为 ；点 的轨迹 E的方程为 14.已知集合 ,Pcd(,1,2345,678)，则满足条件 8abcd的事件的概率为 ；集合 的元素中含奇数个数的期望为 15.已知 5sin(3)sin()2R，则 cos()3 16.已知 2140,xyxy，则 2xy的取值范围为 17.若两个函数 (
5、)f， ()g在给定相同的定义域上恒有 ()0fxg，则称这两个函数是“和谐函数” ，已知 ()20fxa， ()lg()xaR在 *xN上是“和谐函数” ，则 a的取值范围是 三、解答题 （本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18. 已知 ()sin)(0,|)2fx满足 ()(2fxfx，若其图像向左平移 6个单位后得到的函数为奇函数（1 ）求 ()f的解析式；（2 ）在锐角 ABC中，角 ,的对边分别为 ,abc，且满足 (2)cosaBbA，求 ()f的取值范围19. 如图，在梯形 D中， /C， ADCB， 60A，平面 CFE平面AB，四边
6、形 FE是矩形， a，点 M在线段 EF上，且 2M（1）求证： /AM平面 BDF；（2 ）求直线 与平面 E所成角的余弦值20. 设函数 321()(3)fxax，其中 aR，函数 ()fx有两个极值点 12,x，且10（1 ）求实数 a的取值范围；（2 ）设函数 1()()xfax，当 12x时，求证： |()|9x21. 如图，过椭圆 M：2y的右焦点 F作直线交椭圆于 ,AC两点（1 ）当 ,AC变化时，在 x轴上求点 Q，使得 AFCQ；（2 ）当直线 Q交椭圆 M的另一交点为 B，连接 并延长交椭圆于点 D，当四边形 ABC的面积取得最大值时，求直线 AC的方程22.已知每一项都
7、是正数的数列 na满足 1， *1()2naN（1 ）用数学归纳法证明： 21n；（2 ）证明： 6na；（3 ）记 nS为数列 1|n的前 项和，证明： *6()nSN试卷答案一、选择题1-5: DCADB 6-10: BADCB 二、填空题11.2 21n 12. 16235 203 13. 2ab 2(0)yx 14. 0 2 15. () 16. ,1) 17 4,5三、解答题18.（1） ()(2fxfx， )f ， T， ，则 (fx的图象向左平移 6个单位后得到的函数为 ()sin2)3gx，而()gx为奇函数，则有 3k， Z，而 |2，则有 ，从而 ()sin2)3fx.（2
8、 ） ()cosaBbA，由正弦定理得： 2isi()sinCBC， (0,)C， sn0， 1cos2B， 3 A是锐角三角形， 2CA， 6， 0， sin(2)(,13， i,fA.19.（1）证明：在梯形 ABCD中， /B， a， 60AB，四边形 是等腰梯形，且 3C， 120DB， 90ACC， ，又 3BDa， 2ABa.设 与 交于点 N， 3，由角平分线定理知： C，连接 FN，则 /AMF且 ，四边形 是平行四边形， /AM，又 N平面 BD， /平面 BD.（2 ）由题知： /CE， 点 到平面 EF的距离等于点 C到平面 BEF的距离，过点 C作 BF的垂线交 F于点
9、 H， ACF， BC， F， 平面 ，即 E平面 ， CHEF，又 H， ， 平面 B.在 RtBCF中， 2a，在 AEM中， 23AEMa，直线 与平面 BF所成角的正弦值为 64CHA，即直线 A与平面 E所成角的余弦值为 10.20.（1） 2()3fxa，由题可知： 12,为 ()f的两个根，且 24(3)0a，得 6a或 2.而 123,()xa由（1） （2 ）得： 1x，设 1,2)u，有 133()xau4而 42yu在 ,)上为减函数，则 3，即 3a，即 2a，综上， a.（2 ）证明：由 10x， 12x，知，()()xf121ax()x1212x210x2211|(
10、)|xx212)x211(4x2a，由（1）可知 32a，所以 20419a，所以 |()|9x.21.（1）设 12,)(,)AyCx， (,)Qq，当 ,不在 轴上时，设直线 A的方程为 1xty，代入椭圆 M的方程可得： 2()0tyt.则 122ty， 12t，由题知， 12AQOykxq122()()yxq1221()()tytqx1212()0tyq即 1212()ty2(1)0tq，由题知无论 t取何值，上式恒成立，则 ，当 ,AC在 x轴上时定点 (,0)Q依然可使 AQFC成立，所以点 的坐标是 2.（2 ）由（1 ）知， AFC， BD，所以 ,BC关于 x轴对称， ,D关
11、于 x轴对称.所以四边形 ABCD是一个等腰梯形，则四边形 的面积 1212|SxyA21|tyA2(1)|8tA由对称性不妨设 0t，求导可得：42 3()8tSA，令 0，可得 217t由于 ()St在 3,)上单调递增，在 317(,)2上单调递减，所以当 217t时，四边形 ABCD的面积 S取得最大值.此时，直线 AC的方程是 3172xy.22.证明：（1）由题知， 10a， *10()naN当 n时， 1， 126，237a， 31a成立；假设 nk时，结论成立，即 21kka，因为212 211213()nn nnaaA所以 2123121()()nkknaa 210()()ka即 n时也成立，由可知对于 *N，都有 21na成立.（2 ）由（1 ）知， 21n，所以 121naa ，同理由数学归纳法可证 2n，2226n.猜测： 13na，下证这个结论.因为 1()4nn，所以 13na与 n异号.注意到 0，知 2103a， 2103na，即 221nn.所以有 21222nna a ，从而可知 6n.（3 ） 112 |2nnnaaa112|nna16|7na所以 11126|()|77nnn 116()|7n 5()A所以 232431|nSaa156()()n13567n
