1、2016-2017 学年河北省衡水市故城高中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知等差数列a n中， a2=5，a 4=11，则前 10 项和 S10=（ ）A55 B155 C350 D4002已知向量 =（4 ，2）， =（x，3），且 ，则 x 等于（ ）A9 B6 C5 D33若实数 a，b 满足 a+b=2，则 3a+3b 的最小值是（ ）A18 B6 C2 D24如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 BC1，CD 1 的中点，则下列说法错误的是（ ）AM
2、N 与 CC1 垂直 BMN 与 AC 垂直 CMN 与 BD 平行 DMN 与 A1B1 平行5数列（1） n（2n1）的前 2 016 项和 S2016 等于（ ）A 2 016 B2 016 C 2 015 D2 0156若正数 x，y 满足 x+3y=5xy，则 3x+4y 的最小值是（ ）A B C5 D67如果实数 x、y 满足 ，目标函数 z=kx+y 的最大值为 12，最小值 3，那么实数 k 的值为（ ）A2 B2 C D不存在8某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A4 B2 C D89已知向量 =（cos，sin），向量 =（
3、， 1）则 |2 |的最大值，最小值分别是（ ）A4 ，0 B4，4 C16，0 D4，010数列 an= ，其前 n 项之和为 ，则在平面直角坐标系中，直线（ n+1）x +y+n=0在 y 轴上的截距为（ ）A 10 B9 C10 D911平面四边形 ABCD 中，AD=AB= ，CD=CB= ，且 ADAB，现将ABD 沿着对角线 BD翻折成ABD，则在ABD 折起至转到平面 BCD 内的过程中，直线 AC 与平面 BCD 所成的最大角的正切值为（ ）A1 B C D12已知整数的数对列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），
4、（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），则第 60 个数对是（ ）A（3，8 ） B（4， 7） C（4，8） D（5，7）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13设 0 ，向量 =（sin2，cos）， =（ 1，cos ），若 =0，则 tan= 14已知点 x，y 满足不等式组 ，若 ax+y3 恒成立，则实数 a 的取值范围是 15已知正三棱锥 PABC，点 P，A ，B，C 都在半径为 的球面上，若 PA，PB，PC 两两垂直，则球心到截面 ABC 的距离为 16已知数列a n满足 a1=0，a 2=1，a n+2=3an+12an，则a n的前 n
5、 项和 Sn= 三、解答题（本大题共 6 小题，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17（10 分）已知不等式 mx22xm+10 （1）若对于所有的实数 x，不等式恒成立，求 m 的取值范围；（2）设不等式对于满足|m|2 的一切 m 的值都成立，求 x 的取值范围18（12 分）已知三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2，A 1 在底面 ABC 内的射影 O为底面ABC 的中心，如图所示：（1）连结 BC1，求异面直线 AA1 与 BC1 所成角的大小；（2）连结 A1C、A 1B，求三棱锥 C1BCA1 的体积19（12 分）已知数列a n的前 n 项和为 S
6、n，且 Sn= 1（nN *）（）求数列a n的通项公式；（）在数列b n中，b 1=5，b n+1=bn+an，求数列b n的通项公式20（12 分）设ABC 的三个内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b ，c ，且满足（）求角 B 的大小；（）若 ，试求 的最小值21（12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，AB=4，PA=3， A 点在 PD 上的射影为 G 点，E 点在 AB 上，平面 PEC平面 PDC（）求证：AG平面 PEC；（）求 AE 的长；（）求二面角 EPCA 的正弦值22（12 分）祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来
7、，在 11 个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商在第一年初到大陆创办一座 120 万元的蔬菜加工厂 M，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元；从第七年开始，每年初 M 的价值为年初的 75%（1）求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式；（2）设 An= ，若 An 大于 80 万元，则 M 继续使用，否则须在第 n 年初对 M 更新，证明：必须在第九年初对 M 更新2016-2017 学年河北省衡水市故城高中高三（上）第二次月考数学试卷
8、（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知等差数列a n中， a2=5，a 4=11，则前 10 项和 S10=（ ）A55 B155 C350 D400【考点】等差数列的前 n 项和【分析】根据已知等差数列a n中，a 2=5，a 4=11，我们易构造出基本量（首项与公差）的方程组，解方程组后，即可得到首项与公差，代入等差数列前 n 项和公式，即可得到答案【解答】解：等差数列a n中，a 2=5，a 4=11，a1+d=5，a 1+3d=11，解得 a1=2，d=3，则 S10=210+ =155故选
9、 C【点评】本题考查的知识点是等差数列的性质和数列与函数的综合，属于中档题其中根据已知构造出基本项（首项与公差）的方程组，是解答本题的关键2已知向量 =（4 ，2）， =（x，3），且 ，则 x 等于（ ）A9 B6 C5 D3【考点】平行向量与共线向量【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解： ，2x 12=0，解得 x=6故选 B【点评】熟练掌握向量共线定理是解题的关键3若实数 a，b 满足 a+b=2，则 3a+3b 的最小值是（ ）A18 B6 C2 D2【考点】基本不等式【分析】先判断 3a 与 3b 的符号，利用基本不等式建立关系，结合 a+b=2，可求出 3a+3b 的最小值【
10、解答】解：由于 3a0，3 b0，所以 3a+3b=6当且仅当 3a=3b，a=b，即 a=1，b=1 时取得最小值故选 B【点评】本题主要考查了均值不等式的性质和应用，解题时要注意公式的正确应用，属于基础题基本不等式求最值时要注意三个原则：一正，即各项的取值为正；二定，即各项的和或积为定值；三相等，即要保证取等号的条件成立4如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 BC1，CD 1 的中点，则下列说法错误的是（ ）AMN 与 CC1 垂直 BMN 与 AC 垂直 CMN 与 BD 平行 DMN 与 A1B1 平行【考点】棱柱的结构特征【分析】先利用三角形中位线定理证明 M
11、NBD，再利用线面垂直的判定定理定义证明 MN与 CC1 垂直，由异面直线所成的角的定义证明 MN 与 AC 垂直，故排除 A、B、C 选 D【解答】解：如图：连接 C1D，BD，在三角形 C1DB 中，MN BD，故 C 正确；CC 1 平面 ABCD，CC 1BD，MN 与 CC1 垂直，故 A 正确；ACBD，MN BD，MN 与 AC 垂直，B 正确；A 1B1 与 BD 异面，MNBD，MN 与 A1B1 不可能平行，D 错误故选 D【点评】本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键5数列（1） n（2n1）
12、的前 2 016 项和 S2016 等于（ ）A 2 016 B2 016 C 2 015 D2 015【考点】数列的求和【分析】由相邻两项之和为 2，可求和【解答】解析 S 2016=1+35+7+（2 2 0151）+（22 0161）=21008=2 016故选 B【点评】本题考查了数列求和，探究规律是关键，属于基础题6若正数 x，y 满足 x+3y=5xy，则 3x+4y 的最小值是（ ）A B C5 D6【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】将 x+3y=5xy 转化成 =1，然后根据 3x+4y=（ ）（3x+4y），展开后利用基本不等式可求出 3x+4y 的最小值【解答】解
13、：正数 x， y 满足 x+3y=5xy， =13x+4y= （ ）（3x+4y ）= + + + +2 =5当且仅当 = 时取等号3x+4y5即 3x+4y 的最小值是 5故选：C【点评】本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知变形，然后进行“1”的代换，属于基础题7如果实数 x、y 满足 ，目标函数 z=kx+y 的最大值为 12，最小值 3，那么实数 k 的值为（ ）A2 B2 C D不存在【考点】简单线性规划【分析】先画出可行域，得到角点坐标再通过对斜率的分类讨论得到最大最小值点，与原题相结合即可得到答案【解答】解：可行域如图：得：A（1，4.4 ），B
14、（5，2），C（1，1）所以：l 1：x 4y+3=0 的斜率 k1= ；L 2：3x+5y 25=0 的斜率 k2= 当k（0， ）时，C 为最小值点， A 为最大值点；当k 时， C 为最小值点， A 为最大值点，； 当 k 0 时，C 为最小值点，A 为最大值点，；当k 时，C 为最小值点，B 为最大值点，由得 k=2，其它情况解得不符合要求故 k=2故选：A【点评】本题主要考查简单线性规划以及分类讨论思想解决本题计算量较大也可以利用选择题的特点把答案直接代入，看哪个答案符合要求即可8某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A4 B2 C D8【
15、考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图复原的几何体是长方体的三分之二，依据三视图的数据，得出长方体长、宽、高，即可求出几何体的体积【解答】解：三视图复原的几何体是长方体，长方体长、宽、高分别是：2，2，3，所以这个几何体的体积是 223=12，长方体被一个平面所截，得到的几何体的是长方体的三分之二，如图所示，则这个几何体的体积为 12 =8故选 D【点评】此题考查了由三视图判断几何体，考查三视图的读图能力，计算能力，空间想象能力，本题是基础题，常考题型9已知向量 =（cos，sin），向量 =（ ， 1）则 |2 |的最大值，最小值分别是（ ）A4 ，0 B4，4 C16，0 D4，0【考点
16、】平面向量数量积的运算；三角函数的最值【分析】先表示 2 ，再求其模，然后可求它的最值【解答】解：2 =（2cos ，2sin+1），|2 |= ，最大值为 4，最小值为 0故选 D【点评】本题考查平面向量数量积的运算，三角函数的最值，是中档题10数列 an= ，其前 n 项之和为 ，则在平面直角坐标系中，直线（ n+1）x +y+n=0在 y 轴上的截距为（ ）A 10 B9 C10 D9【考点】数列与解析几何的综合【分析】由题意因为数列 an= ，其前 n 项之和为 ，有数列通项的特点利用裂项相消得方法得到 n 的方程解出 n 的值是直线（n+1）x+y+n=0 的方程具体化，再利用直线在 y 轴上的截距求出所求【解答】解：因为数列a n的通项公式为 且其前 n 项和为：
