1、 数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合 ，且 ，则集合 可能是（ ） |0BxABAA B C 1,2|1x1,0D R2. 复数 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ）1izA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3. 已知平面向量 满足 ，且 ，则向量 与 夹角的余弦值为,ab5:2,1abab（ ）A B C 32322D 14. 执行如图所示的程序框图，若输人的 值为 ，则输出的 值为（ ）a1kA B C D12345. 已知数列 中， 为其前 项和
2、， 的值为（ ）na11, ,nnaNS5SA B C D57662636. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A B C D233291697. 为了得到 ，只需将 作如下变换（ ）cos2yxsin3yxA 向右平移 个单位 B向右平移 个单位 36C向左平移 个单位 D向右平移 个单位12 128. 若 为不等式组 ，表示的平面区域，则当 从 连续变化到 时，动直线02xya1扫过xyaA中的那部分区域的面积为（ ）A B C D13234749. 焦点在 轴上的椭圆方程为 ，短轴的一个端点和两个焦点相连x210xyab构成一个三角形，该三角形内切圆的半
3、径为 ，则椭圆的离心率为（ ）3A B C D141322310. 在四面体 中， ，二面角SAC,ABSA的余弦值是 ，则该四面体外接球的表面积是（ ）3A B C D86624611. 已知函数 ，则关于 的方程 实根个52log1xfxxfxaR数不可能为（ ）A 个 B 个 C 个 D 个234512. 函数 部分图象如图所示，且 ，sin2,0fxAxA0fafb对不同的 ，若 ，有 ，则（ ）12,ab12ffx123fxA 在 上是减函数 B 在 上是增函数 fx5,12 fx5,12C 在 上是减函数 D 在 上增减函数f,36f,36第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5
4、分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中 项的系数为 41x2x14. 已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，双曲线20yp1,Mm5的左顶点为 ，若双曲线一条渐近线与直线 垂直，则实数 21yxaAAa15. 如图，为测量出山高 ，选择 和另一座山的山顶 为测量观测点，从 点测得MNCA点的仰角 点的仰角 以及 ，从 点测得M60,C 45B75M，已知山高 ，则山高 CA1BmNm16. 设函数 ，对任意 ，不等式21,xxfge12,0,x恒成立，则正数 的取值范围是 12gxfkk三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
5、.） 17. （本小题满分 12 分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区 2015 年人口总数为 万，实施“放开二胎”新政策后专45家估计人口总数将发生如下变化：从 2016 年开始到 2025 年每年人口比上年增加 万人，0.5从 2026 年开始到 2035 年每年人口为上一年的 .09（1）求实施新政策后第 年的人口总数 的表达式（注：2016 年为第一年）;nna（2）若新政策实施后的 2016 年到 2035 年人口平均值超过 万，则需调整政策，否则继49续
6、实施, 问到 2035 年后是否需要调整政策？（说明: ）.1010.918. （本小题满分 12 分）如图, 已知矩形 所在平面垂直于直角梯形 所在平ABCDABPE面, 平面 ABCD平面 ,且 ,且 . PE2,1,PE:（1）设点 为棱 中点, 在面 内是否存在点 ,使得 平面 ？若MABCDNMABCD存在, 请证明, 若不存在, 说明理由;（2）求二面角 的余弦值.DPE19. （本小题满分 12 分）某产品按行业生产标准分成 个等级，等级系数 依次 ，8X1,2.8其中 为标准 ， 为标准 .已知甲厂执行标准 生产该产品，产品的零售价5XA3XBA为 元/件; 乙厂执行标准 生产
7、该产品，产品的零售价为 元/件，假定甲、乙两厂的产6 4品都符合相应的执行标准.（1）已知甲厂产品的等级系数 的概率分布列如下所示：1XX5678P0.4ab0.1且 的数学期望 ,求 的值;11E（2）为分析乙厂产品的等级系数 ，从该厂生产的产品中随机抽取 件，相应的等级系2X3数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 的数学期望；2X（3）在（1） 、 （2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注： 产品的“性价比” ；“性价比”大的产品更具可购买性.20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 短轴的两个顶
8、点与右焦点的2:10xyCab连线构成等边三角形，直线 与圆 相切.346022（1）求椭圆 的方程;C（2）已知椭圆 的左顶点 的两条直线 分别交椭圆 于 两点, 且 ,求证: A12,lCMN12l直线 过定点, 并求出定点坐标；MN(3) 在(2) 的条件下求 面积的最大值.AMN21. （本小题满分 12 分）已知函数 (常数 ).1xfxaea0Ra且（1）证明: 当 时, 函数 有且只有一个极值点;0a（2）若函数 存在两个极值点 ,证明: .fx12x1224400fxfxee且请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 1
9、0 分）选修 4-1：几何证明选讲如图, 四点在同一个圆上， 与 的延长线交于点 ,点 在 的延长线,ABCDBCADEFBA上.（1）若 ,求 的值;1,32E（2）若 ,证明: .2FABEF23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 轴非负半轴重合，直线 的参数方xl程为:为参数), 曲线 的极坐标方程为: .312(xtyC4cos（1）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程;l（2）设直线 与曲线 相交于 两点, 求 的值.lPQ24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 .23,12fxax
10、gx（1）解不等式 ;5g（2）若对任意 ,都有 ,使得 成立, 求实数 的取值范围.1xR2x12fxga河北省衡水中学 2017 届高三摸底联考（全国卷）数学（理）试题参考答案一、选择题：每小题 5 分，共 60 分，每小题所给选项只有一项符合题意.ADCBA DCDCB DB二、填空题：每题 5 分，共 20 分.13. 14. 15. 16. 21401e2k三、解答题17.本题满分 12 分解：（1）当 时，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，10nna45.0.5因此，新政策实施后第 n年的人口总数 （单位：万）的表达式为na1045.,109nna（2 ）设 nS为数列 的前
11、n项和，则从 年到 年共 年，由等差数列及a260352等比数列的求和公式得：万102011220.47.59.97.新政策实施到 年年人口均值为 35208.634S故到 年不需要调整政策 18本题满分 12 分解：（1）连接 ， 交于点 ，连接 ，则 平面 ACBDNMNABCD证明： 为 中点， 为 中点MP为 的中位线， NPB/又平面 平面E平面 ABCD平面 = A, 平面 CD,AB平面 P ， 又 ，B平面BACD所以 平面 MN（2 ）以 A 为原点，AE，AB，AD 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立坐标系，xyz平面 PEA平面 PEA 的法向量 )1,0(1ADn另外
12、， ，),0(D),(E2P， ,设平面 DPE 的法向量 ，则,),(2zyxn，令 ，得 02zyx1x)1,2(2n32,cos1n又 为锐二面角,所以二面角 的余弦值为 APEDAPED3219本题满分 12 分解：（1） ，即 16,50.4780.16Xab7.ab又由 的概率分布列得 ,.5由 得 .302ab（2 ）由已知得，样本的频率分布表如下：2X345678f 0.20.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数 X2 的概率分布列如下：2X345678p 0.20.10.1所以， 23.4.5.6.7.8.4EX即乙厂产品的等级系数的数学期望
13、等于 4.8. （3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 ，价格为 元/件，所以其性价比为661因为乙厂产品的等级系数的期望等于 ，价格为 元/件，所以其性价比为4.844.82据此，乙厂的产品更具可购买性。 20本题满分 12 分解：（1）由题意 即 224615aba2:14xCy（2） 设 ，(,0)A1:lxmy2:l由 得240xmy2(4)0ym2284(,)mM同理 28(,)1Ni) 时， 过定点m254()MNkm256:()41MNlyxm(,0)5ii) 时 过点 过定点16:lx,0l,0（3）由（2）知3224285417AMNS 2188194()94mm令 时取等号 时去等号， 121tm且 1625S且 max1625S21本题满分 12 分解：依题意， xfae令 ，则 . xhe1xhe（1 ） 当 时， ，所以 无解，则函数 不存在大于00fx0ffx零的极值点； 当 时，由 ，故 在 ,)上 单调递增. 又x1xhaehx， ，20ha0所以 在 0,)上 有且只有一个零点. 3 分xf又注意到在 的零点左侧， ，在 的零点右侧， ， fxfx0fx所以函数 在 ,)有且只有一个极值点. fx综上所述，当 时，函数 在 (,)内有且只有一个极值点. 4 分0afx
