1、河北衡水中学 2016-2017 学年度高三下学期数学第三次摸底考试（理科）必考部分一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，则集合 等于（ ）13lg21| ,|3xMxfNxMNA B C D2,3,2,2,12. ，若 ，则 等于（ ）zC12ziziA B C D714i7414i4i3.数列 为正项等比数列，若 ，且 ，则此数列的前 5 项和 等na3a1123,2nnaN5S于 （ ）A B41 C D1239494. 已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点，以线段 为边作正三角形1F2 21
2、0,xyab12F，如果线段 的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率 等于（ ）12M1 eA B C. D 23265.在 中， “ ”是“ ”的（ ）CsincosABABA充分不必要条件 B必要不充分条件 C. 充要条件 D既不充分也不必要条件6.已知二次函数 的两个零点分别在区间 和 内，则 的取值范围是 2fxb2,1,03f（ ）A B C. D12,01,818,08,7.如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的等边三角形，若该简单几何体的体积是 ，23则其底面周长为（ ）A B C. D2312512538.20 世纪 30 年代，德国数学家洛萨-科拉茨提出
3、猜想：任给一个正整数 ，如果 是偶数，就将它减x半；如果 是奇数，则将它乘 3 加 1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到 1，这就是著x名的“ ”猜想.如图是验证“ ”猜想的一个程序框图，若输出 的值为 8，则输入正整数 的31xnm所有可能值的个数为（ ）A3 B 4 C. 6 D无法确定9. 的展开式中各项系数的和为 16，则展开式中 项的系数为（ ）2axx 3xA B C. 57 D33176310. 数列 为非常数列，满足： ，且 对任何的正na3951,48a12311nnaa整数 都成立，则 的值为（ ）1250A1475 B1425 C. 1325 D127511
4、.已知向量 满足 ，若 ， 的最大值和最小值,2,172分别为 ，则 等于（ ）,mnA B2 C. D35215212.已知偶函数 满足 ，且当 时， ，关于 的不等式fx4fxf0,4xln2xf在 上有且只有 200 个整数解，则实数 的取值范围是（ ）20fxaf2,0aA B C. D1ln6,31ln,l631ln2,l63l,2二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题纸上13.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的 5 家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5 家商场商品的售价 元和销售量 件之间的一组数据如下表所示：xy价格 8.5 9
5、9.5 10 10.5销售量 y12 11 9 7 6由散点图可知，销售量 与价格 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是 ，则 yx 3.2yxa14.将函数 的图象向右平移 个单位（ ） ，若所得图象对应的函数为偶函3sin2cosfxm0数，则 的最小值是 m15.已知两平行平面 间的距离为 ，点 ，点 ，且 ，若异面、 3AB、 CD、 4,3ABCD直线 与 所成角为 60，则四面体 的体积为 ABCDD16.已知 是过抛物线 焦点 的直线与抛物线的交点， 是坐标原点，且满足、 20ypxFO，则 的值为 3,3OABFSAB三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
6、 17. 如图，已知 关于 边的对称图形为 ，延长 边交 于点 ，且 ，CADCBADE5,2DE.1tan2BA（1）求 边的长；BC（2）求 的值.cosA18.如图，已知圆锥 和圆柱 的组合体（它们的底面重合） ，圆锥的底面圆 半径为 ， 为1O12 1O5rA圆锥的母线， 为圆柱 的母线， 为下底面圆 上的两点，且 ，BDE、 2O6,.4DEAB， .52AA（1）求证：平面 平面 ； ABDOE（2）求二面角 的正弦值19.如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第 3 个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一
7、方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第 3 个台阶，当有任何一方登上第 3 个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为 X（1）求游戏结束时小华在第 2 个台阶的概率；（2）求 的分布列和数学期望X20.如图，已知 为椭圆 上的点，且 ，过点 的动直线与6,12P2:10xyEab25abP圆 相交于 两点，过点 作直线 的垂线与椭圆 相交于点 2:FxyaAB、 PABEQ（1）求椭圆 的离心率；E（2）若 ，求 23ABPQ21. 已知函数 ，其中 为自然对数的底数 （参考数据：11,2xxxabefRgRee）
8、12427.39.8,.65e，（1）讨论函数 的单调性；fx（2）若 时，函数 有三个零点，分别记为 ，证明：ayfxg123123xx、 、1243x选考部分请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中直线 的倾斜角为 ，且经过点 ，以坐标系 的原点为极点， 轴xOy1l1,PxOyx的非负半轴为极轴，建立极坐标系 ，曲线 的极坐标方程为 ，直线 与曲线 相交于xE4cos1lE两点，过点 的直线 与曲线 相交于 两点，且 AB、 P2lCD、 12l（1）平面直角坐标系中，求直线 的一般方程和曲线 的标
9、准方程；1（2）求证： 为定值2CD23.选修 4-5：不等式选讲已知实数 满足 ab、 23ab（1）求 的取值范围；（2）若 ，求证： 0214试卷答案一、选择题1-5:DAADB 6-10: ACBAB 11、12：CC二、填空题13. 39.4 14. 15. 6 16. 692三、解答题17.解：（1）因为 ，所以 ，所以 1tan2BAC2tan4tan13BACE3cos5BAE因为 ，57ABDE所以 ，22cos495所以 ，又 ，所以 45CAB23C（2）由（1）知 ，2E所以 ，2492cos7BA所以 ，因为 ，in21tan2BC所以 ，55si,cosBACA所以
10、 coB25210sincosC18.解：（1）依题易知，圆锥的高为 ，又圆柱的高为 ，2h 6.4,ABOD所以 ，22ODA因为 ，所以 ，B2BD连接 ，易知 三点共线， ，12、 、 1O、 、 2OD所以 ，2所以 ，222 226.456.4BDAB解得 ，又因为 ，圆 的直径为 10，圆心 在 内，86E2O2OBDE所以易知 ，所以 09D因为 平面 ，所以 ，因为 ，所以 平面 ABABA又因为 平面 ，所以平面 平面 DEE（2）如图，以 为原点， 、 所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系Exy、则 0,8,6.4,0,4,31.DABO所以 ，D设平面 的法向理为 ，O,
11、uxyz所以 ，令 ，则 86.40431.0DAuxzzA12x,415u可取平面 的一个法向量为 ，B,0v所以 ，182cos,5uv所以二面角 的正弦值为 BADO31019.解：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有 个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，39他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第 次划拳小华赢”为 ；事件“第 次划拳小华平”*iNiAi为 ；事件“ 第 次划拳小华输 ”为 ，所以 iBiiC319iiiPABPC因为游戏结束时小华在第 2 个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第 1 个台阶，并且小明在第 2 个台阶，最后一次划拳小华平；其概率为 ，
12、2214781pAPB第二种：小华在第 2 个台阶，并且小明也在第 2 个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为 3 2212123412345293pCAPBCAPCAPC所以游戏结束时小华在第 2 个台阶的概率为 127950834p（2）依题可知 的可能取值为 2、3、4、5，X，41234531PAPC，2121239PXAP121231233BPBAPB1231231237APCA，4581XPX所以 的分布列为：2 3 4 5P917821所以 的数学期望为：X3251248E20.解：（1）依题知 ，261,0ab解得 ，所以椭圆 的离心率 ；23,abE232ea（2）依题知圆 的
13、圆心为原点，半径为 ，F,rAB所以原点到直线 的距离为 ，AB222 31d因为点 坐标为 ，所以直线 的斜率存在，设为 P6,12ABk所以直线 的方程为 ，即 ，AB62ykx6102kxy所以 ，解得 或 261kd0k6当 时，此时直线 的方程为 ，0kPQ2x所以 的值为点 纵坐标的两倍，即 ；P1当 时，直线 的方程为 ，26kPQ162yx将它代入椭圆 的方程 ，消去 并整理，得 ，E23x34102x设 点坐标为 ，所以 ，解得 ，Q1,y160234176x所以 176Px21.解：（1）因为 的定义域为实数 ，1xxafeR所以 xfae当 时， 是常数函数，没有单调性00f当 时，由 ，得 ；由 ，得 ax10fx1所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增f,当 时，由 得， ； 由 ，得 ，00fx fx所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增f1,1（2）因为 ，2axg所以 ，即 1210xxbee1111220x xxxebbe 令 ，则有 ，即 1xttet20tet设方程 的根为 ，则 ，20b12、 12A所以 是方程 的根123x、 、 1*,*xxtete 由（1）知 在 单调递增，在 上单调递减xte,且当 时， ，当 时， ，txmax12tete
