1、专题五 平面向量与解三角形一、选择题（本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.在菱形 中对角线 为 的中点，则 （ ）ABCD4,ECDAECA8 B10 C12 D14【答案】C考点：向量数量积【易错点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决2.设向量 ，若向量 与 平行，则 （ ）1,2,
2、abm2abmA B C D713252【答案】B 【解析】试题分析： ，这两个向量平行，故21,42,5abmabm，解得 .51401考点：向量运算，向量共线3.已知向量 ，则函数 的最小正周期与3sin2,1cos2,mxxfmnAfx最大值分别为（ ）A B C D2,32,37,2,【答案】B【解析】试题分析： ，故则函数 的最小正周2 32sin1sicosin43fxxxfx期与最大值分别为 .,3考点：三角函数恒等变形4.在 中， 且 ，则 （ ）ABC06,2AB3ABCSA B3 C 3 7D7【答案】A考点：解三角形，正余弦定理5.（理）已知 为平面向量，若 与 的夹角为
3、 与 的夹角为 ，则 （ ）,abab,3ab4abA B C 3653D2【答案】B【解析】 试题分析：根据向量加法的平行四边形法则， .sin643ab考点：向量概念及运算（文）若平面向量 满足 ，则 与 的夹角是（ ）,ab2,baabA B C D512364【答案】D【解析】试题分析：因为 ，所以 ， .ab22cos0abab 2s,4考点：两个向量垂直，两个向量所成的角6.已知函数 的部分图象如图所示，点 是该图象与 轴的交点，过点 的sinfx,BCxC直线与该图象交于 两点，则 的值为（ ）,DEBEAA-1 B C D21212【答案】D考点：三角函数图象与性质7.在 中，
4、内角 对应的边分别为 ，若 ，则角 等于（ ）ABC, ,abc22tanCbcbA30 B60 C30或 150 D60或120【答案】C【解析】试题分析：由于 ，故为 .2222 11tanC,tan,costansi2bcbcCC30,5考点：解三角形8.已知 是 所在平面内一点且 ，现将一粒黄豆随机撕在 内，则PAB20PBAAB黄豆落在 内的概率是（ ）PBCA B C D14132312【答案】D【解析】试题分析：设 为 的中线，根据 ，所以点 是 的中ADBC20,2PBAPBAP点，故 .12PBCAS考点：向量运算，几何概型9.在 中， ，若 为 的内心，则 的值为（ ）3,
5、4,5BCIABCIBAA6 B10 C12 D15 【答案】D考点：向量运算10.如图，四边形 是三个全等的菱形， ，设,OABCDEFGHI 3CODFGIA已知点 在各菱形边上运动，且 的最大值为（ ）,DaHbP,PxaybRxyA3 B4 C5 D6【答案】B考点：向量运算、线性规划11.如右图所示，已知点 是 的重心，过点 作直线与 两边分别交于 两点，GABCG,ABC,NM且 ，则 的最小值为（ ）,AMxBNy2xyA2 B C D133234【答案】C【解析】试题分析：因为 三点共线，所以 ，因为 是 重心，,MNG,MGNANAGABC所以 ， ，所以 ，化简13ABC1
6、133AxByCB13xy得 ，解得题目所给图像可知 .由基本不等式得xy ,2，即 .当且仅当31623162xy3232,xyxy，即 时，等号成立，故最小值为 .3162xy12,36xy 32考点：向量运算，基本不等式【思路点晴】本题考查了平面向量的线性运算的应用及共线定理的应用，同时考查了基本不等式在求最值中的应用.由题意可得 ，利用三角形重心的向量表示，化简可得 .然后利MGN 31xy用基本不等式来求得最值.在利用基本不等式时，所用的公式是 ，需要先配一下系数，使得2ab基本不等式满足一正、二定、三相等.12.若非零向量 与向量 的夹角为钝角， ，且当 时， 取最小值 向ab2b
7、12tbtaR3量 满足 ，则当 取最大值时， 等于（ ）cccaAcA B C D63 52【答案】AOABDMC考点：向量运算、两个向量垂直 【思路点晴】本题考查了平面向量在几何中的应用，根据题目的已知条件，结合向量运算的几何意义作出符合条件的图形是解题的关键.作出图象后，寻找 在什么位置取得最小值，计算出向量 的夹角，bta ,ab及 .由 可知 的终点 在以 为直径的圆 上，结合图象，找出当 取得最acbcCABOc大值时 的位置，由此求得结果.C第卷（非选择题共 66分）二、填空题（本大题共 4小题，每题 5分，满分 20分 ）13.已知 为 内一点，满足 ，且 ，则 的OAB0,2
8、OABCA3BACOB面积为_【答案】 3考点：向量运算14.已知平面直角坐标系中， ，则向量 在向量 的方向上的投影是_3,4baAab【答案】 35【解析】试题分析： 在 上的投影为 .ab3cos5ab考点：向量的投影15.为了在一条河上建一座桥，施工前在河的两人岸打上两个桥位桩 （如图） ，要测量 两 ,AB,AB点之间的距离，测量人员在岸边定出基线 ，测得 ，则BC005015,45mC两,AB点之间的距离为_ m【答案】 502考点：解三角形【思路点晴】研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求
9、解.归纳起来常见的命题角度有：1.两点都不可到达；2.两点不相通的距离；3.两点间可视但有一点不可到达. 能理解题目给定的含义，转化到三角形中，利用正、余弦定理进行求解.16.（理）如图，在等腰直角三角形 中， ，点 分别是 的中点，点ABC1,MN,ABC是 （包括边界）内任一点则 的取值范围为_PABCNP【答案】 34，【解析】试题分析：以 为坐标原点， 分别为 轴建立平面直角坐标系，则M,BC,xy，所以 ， 22,(,0),4PxyAN32,4AN，令 ，目标函数在点322344ANMPxyxy 233,24zxyxz分别取得最小值和最大值，其值分别为 .(,0),B ,4考点：向量
10、概念及运算（文）在等腰梯形 中，已知 ，点 和点 分别在 ACD0/,2,1,6BCABACEF线段 和 上，且 ，则 的值为_B21,36EFDEF【答案】 2918考点：向量的数量积、向量运算【思路点晴】本题主要考查向量的数量积、向量运算，利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算对向量与几何图形的综合问题，可通过向量的数量积运算把向量问题转化为代数问题来求解三、解答题（本大题共 4小题，共 46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满
11、分 10分）已知向量 ，且 分别为 的三边sin,cos,A,sin2mABmCAB、 、 AC,abc所对的角（1）求角 的大小；C（2）若 成等差数列，且 ，求 边的长sin,siAB18CABc【答案】 （1） ；（2） .36c【解析】试题分析：(1)根据数量积的运算，有 ，因为 ，故sinmCsin2sicoC；（2）因为 成等差数列，由正弦定理得 ，因为1cos,3Csi,ABab,所以 ,即 ，由余弦定理8AB18Ccos18,36abab，解得 .222cos3caba（2）由 成等差数列，得 ；sin,siBAC2sinisnCAB由正弦定理得 ，2cab ，18 ，CAB即 ，cos,36abab由余弦定理 ，222cos3Cab ，24,c 10 分6考点：三角恒等变换、向量运算、等差中项、解三角形18.（本小题满分 12分）如图， 中，三个内角 成等差数列，且 ABCBAC、 、 10,5ACB
