1、河北定州中学 2016-2017 学年第二学期高三第 2 次月考数学试卷一、选择题1 已知 x表示大于 x的最小整数，例如 34， 1.3，下列命题中正确的是（ ）函数 f的值域是 0,1；若 na是等差数列，则 na也是等差数列；若 是等比数列，则 也是等比数列；若 1,204x，则方程 12x有 2013 个根.A. B. C. D. 2已知函数 ln,3fxgmxn，若对任意的 0,x,总有 fxg恒成立，记3m的最小值为 f，则 ,f最大值为（ ）A. 1 B. e C. 21 D. e3 已知 O为直角坐标系的坐标原点，双曲线2:1(0)xyCbaa上有一点5,Pm（ 0） ，点 P
2、在 x轴上的射影恰好是双曲线 的右焦点，过点 P作双曲线 C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为 A， B，若平行四边形 AOB的面积为 1，则双曲线的标准方程是（ ）A. 214yxB. 213xyC. 216yxD. 2137xy4 在 RtABC中， 4， 3CB， M， N是斜边 AB上的两个动点，且 2MN，则MN的取值范围为（ ）A. 52, B. 4,6 C. 198,25 D. 145,25 已知函数 xfxae，曲线 yfx上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与 y轴垂直，则实数 的取值范围是（ ）A. 2,e B. 2,0 C. 2, D. 2,0e6 已知
3、抛物线的焦点 F到准线 l的距离为 p，点 A与 F在 l的两侧， AFl且 2p， B是抛物线上的一点， BC垂直 于点 且 2BC， 分别交 ， C于点 ,DE，则 F与BDF的外接圆半径之比为（ ）A. 12 B. 3 C. 2 D. 27 已知 ,0,，则“ 1sin3”是“ 1sin3”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8 已知函数 lfxaex与 2lnxge的图象有三个不同的公共点 ,其中 e为自然对数的底数,则实数 的取值范围为( )A. ae B. 1 C. e D. 3a或 19 已知过抛物线 2(0)ypx
4、的焦点 F的直线与抛物线交于 A, B两点,且 3FB,抛物线的准线 l与 x轴交于点 C, 1Al于点 1,若四边形 1CF的面积为 123,则准线 l的方程为( )A. 2 B. 2 C. 2x D. x10 已知 fx是定义在 R上的可导函数，且满足 0fxf，则（ ）A. 0 B. 0f C. fx为减函数 D. 为增函数11 函数 ()lnxf与 1ga的图象上存在关于 y轴对称的点，则实数 a的取值范围是（ ）A. R B. ,eC. ,e D. 12 设函数 fx是 R上的奇函数， fxfx，当 02时， cos1fx，则2时， f的图象与 轴所围成图形的面积为（ ）A. 48
5、B. 24 C. 2 D. 36二、填空题13 已知点 P为函数 xfe的图象上任意一点，点 Q为圆 21xey上任意一点（ e为自然对数的底） ，则线段 PQ的长度的最小值为_ 14 在三棱锥 SABC中， 是边长为 3 的等边三角形， 3,2SAB，二面角S的大小为 120，则此三棱锥的外接球的表面积为_ 15 已知函数 2exkfx（ k 是常数， e 是自然对数的底数，e2.71828）在区间 02， 内存在两个极值点，则实数 k 的取值范围是_16 某运动队对 ,ABCD四位运动员进行选拔，只选一人参加比赛，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：甲说：“是
6、C或 D参加比赛” ； 乙说：“是 B参加比赛” ；丙说：“是 ,都未参加比赛” ； 丁说：“是 参加比赛”.若这四位教练中只有两位说的话是对的，则获得参赛的运动员是_三、解答题17 已知函数 ln(,fxab为实数)的图像在点 1,f处的切线方程为 1yx.（1）求实数 ,b的值及函数 fx的单调区间；（2）设函数 1fgx，证明 1212()gx时， 12x. 18 设函数 2lnfa， x= a.（）求函数 x的单调区间；（）若函数 Ffgx有两个零点 12,x.(1)求满足条件的最小正整数 a的值；(2)求证： 120x.19已知函数 24xfe.（I）讨论函数的单调性,并证明当 时，
7、 240xe;（）证明：当 0,1a时，函数 23(2)xeagx有最小值，设 gx最小值为 ha，求函数 h的值域.20 已知椭圆2:1(0)xyCab， O是坐标原点， 12,F分别为其左右焦点， 123F, M是椭圆上一点， 12FM的最大值为 23（）求椭圆 的方程;（）若直线 l与椭圆 C交于 ,PQ两点，且 OQ（i）求证： 221O为定值;（ii）求 面积的取值范围.21 已知函数 21lnafxx（ R， a为常数） ，函数 121xage（ e为自然对数的底）.（1）讨论函数 f的极值点的个数；（2）若不等式 xg对 1,x恒成立，求实数的 a取值范围.22 已知函数 3,f
8、R.（1）求 x在 2,上的最大值和最小值；（2）设曲线 yf与 x轴正半轴的交点为 P处的切线方程为 ygx，求证：对于任意的正实数 x，都有 g.23 已知中心在原点，焦点在 x轴上的椭圆 C过点 21,，离心率为 2， 1A， 2是椭圆C的长轴的两个端点（ 2A位于 1右侧） ， B是椭圆在 y轴正半轴上的顶点.（1）求椭圆 的标准方程；（2）是否存在经过点 0,且斜率为 k的直线 l与椭圆 C交于不同两点 P和 Q，使得向量OPQ与 2AB共线？如果存在，求出直线方程；如果不存在，请说明理由.24 已知函数 1,xfxaeR.（1）讨论 fx的单调区间；（2）当 0mn时，证明： nm
9、e.参考答案1 D2 C3 A4 C5 D6 B7 A8 B9 A10 A11 C12 A13 21e14 15 2e， ， 16 B17 解析：（1）由题得，函数 fx的定义域为 0,， 1lnfxax，因为曲线 fx在点 1,f处的切线方程为 1yx，所以 b0afln， ， 解得 ,0ab.令 1x，得 1xe，当 0e时， 0f， f在区间 10,e内单调递减；当 1x时， fx， fx在区间 ,内单调递增.所以函数 f的单调递减区间为 10,e，单调递增区间为 1,e.（2）由（1）得， 1lnfxgx.由 1212g()xx，得 12ll，即 212-ln0x.要证 ，需证 212
10、11-lnx，即证 2121lxx， 设 21t()x，则要证 2121lxx，等价于证： tln()t.令 u(t)lnt，则22 0tt， t在区间 1,内单调递增， 1u, 即 2lnt，故 2x.18解析：（） 2 (0)axf 当 0a时， 0fx在 ,上恒成立，所以函数 fx单调递增区间为 0,，此时 f 无单调减区间 当 0a时，由 0fx，得 2a， 0fx，得 2ax，所以函数 f的单调增区间为 ,，单调减区间为 ,. （） （1） 22)(12 0)axxaxFx（ ） （ ）因为函数 有两个零点，所以 0，此时函数 f在 ,单调递增， 在 ,2a单调递减. 所以 Fx的最
11、小值 2a，即 24ln0a. 因为 0a，所以 4ln0.令 2h，显然 ha在 ,上为增函数，且38120,4lnl026hh，所以存在 002,3aha. 当 0a时， a；当 0a时， h，所以满足条件的最小正整数 3a. 又当 3时， 3ln,1FF，所以 3a时， fx有两个零点综上所述，满足条件的最小正整数 的值为 3. （2）证明 ：不妨设 120x，于是 22112-ln-ln,xxa即 112lnl0xaa，22112lnllxxxax所以21lnla . 因为 02F，当 ,2ax时， 0Fx，当 ,2a时， 0Fx，故只要证 1 即可，即证明2112lnlx ， 即证
12、2 211211lnxxx，也就是证 212ln . 设 12(0)xtt令 lntmt ，则 22114tmtt（ ）. 因为 0t，所以 0t， 当且仅当 1时， ，所以 mt在 ,上是增函数又 0，所以当 0,1mt总成立,所以原题得证19 解：（ 1）由 24xfe得22240,44xxfxee故 f在 ,和 上单调递增， 当 2x时，由上知 21fxf，即 14e，即 40e，得证. （2）对 23xag求导，得22334eexxxa， 2x 记 24xa， 由（）知，函数 区间 2,内单调递增， 又 210a， 0a，所以存在唯一正实数 0x，使得 002exxa于是，当 0,x时
13、， x， gx，函数 g在区间 0,内单调递减；当 0,时， ， 0，函数 在区间 0,x内单调递增所以 gx在 2,内有最小值 200e3xag， 由题设即 02e3xah 又因为 024xa所以 0201e4xhgx根据（）知， f在 ,内单调递增， 021,0xa，所以 02x令 21e(0)4xu，则 23e4xu，函数 u在区间 ,内单调递增，所以 u，即函数 ha的值域为21e,420 解：（ 1）由题意得 2,1ab，得椭圆方程为： 214xy（2）i)当 ,OPQ斜率都存在且不为 0 时，设 :OPlk， 12,Qxy由 214ykx消 得 2124k， 2214ykx同理得22kx， 224yx故 2222115OPQ 当 ,斜率一个为 0，一个不存在时，得 221154OPQ综上得 22154OPQ，得证。 ii) 当 ,斜率都存在且不为 0 时，2419k又 2249014kk所以 5OPQS 当 ,斜率一个为 0，一个不存在时, 1OPQS综上得 41OPQ21解：（1） 2afxx 32a(0)x，由 0fx得： 3，记 3h，则 213hx，由 h得 ，且 0x时， 0x， 时， 0h，
