1、2017 届江西省赣中南五校高三下学期期中联合考试数学试题一、选择题1集合 的真子集个数为 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，集合有 3 个元素，所以集合的真子集个数为 ，故填：C.2已知集合 ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 或 ，所以 ，故选 C.3 设函数 是 上的奇函数， ，当 时， fxRfxfx02，则 时， 的图象与 轴所围成图形的面积cos1f2x为（ ）A. B. C. D. 48436【答案】A【解析】由题设 ，则函数 是周期为 的2fxfxffxyfx2奇函数，画出函数 的图像，结合函数的图像可知：只要求出该,0y函数 的图像与
2、 轴所围成的面积即可。容易算得函数,2yfxx的图像与 轴所围成的面积是,0,f，故借助函数图像的对称性求得函数20112Scosxd 的图像与 轴所围成的面积是 ，应选答案 A 。,2,yfxx84S点睛：解答本题的思路是充分依据题设条件与函数图像的对称性，借助定积分的计算公式先求得函数 的图像与 轴所围成的面积，再乘以 8 即可得到,0,2yfx函数 的图像与 轴所围成的面积是 。整个求解过,fx84S程中体现了数学中等价转化与化归的数学思想的巧妙、灵活运用。4定义在 上的函数 为减函数，且函数 的图象关于点 对称，若，且 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】
3、根据平移可知函数 关于 对称，函数是奇函数，即 ，整理为： ，因为 ，所以 或 ，画出可行域，设 ，目标函数表示斜率为 1 的一组平行线，当目标函数过点 时取得最小值，当目标函数过点 时，函数取得最大值， ，所以 的值域为 ，故选 B.5如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图还原几何体，红色线表示削下去的部分，剩下的蓝色的线为三视图的几何体， ，所以几何体的体积是 ，故选 C.6已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱1ABC的体积为 ， ， ，则此球的表面积是（ ）32,60B
4、ACA. B. C. D. 248【答案】C【解析】根据余弦定理可知 ，那么 ，点 分别是斜边 的3BC09ACB,EF,AB中点，点 为 的中点，点 为三棱柱外接球的球心，设三棱柱的高为 ， OEFOh，解得， ， ，代入可12Vh2h2221R得 ，所以此球的表面积为 ，故选 C.R248S【点睛】本题重点考察了几何体与外接球的问题，属于中档题型，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个
5、多边形需有公共点） ，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.7在直角坐标系中，点 ，点 到直线 的距离分别为 和 ，则符合条1,2A3,1BL12件的直线条数为（ ）A. B. C. D. 324【答案】B【解析】8直线 与两条直线 ， 分别交于 、 两点，线段 的中点坐标为 ，那么直线 的斜率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设 ， ， ，解得： ，所以 ，所以直线 的斜率 ，故选 C.9已知函数 是定义在
6、上的奇函数，当 时， ，给出下fxR0x(1xfe）列命题：当 时， ；0(1xfe）函数 有 个零点；fx2 的解集为 ，,0, ，都有 .其中正确命题的个数是（ ）12,xR12fxfA. B. C. D. 43【答案】C【解析】设 ， ， ，所以0x1xxfxfee不正确；因为函数是 上的奇函数，所以 ，当 时， ，解R000f得 ，根据函数是奇函数，所以当 时， ，所以函数有 3 个零1xfxx点；所以不正确；当 时， ，解得： ，当 时， 0x1xe1x，解得 ，所以 的解集为： ，所10xe1x0fx0,1,以正确；当 时， ，函数在 处取得最大值， 2ee2x，根据奇函数的性质，
7、函数的最小值 ，所以2fe fe，所以对任意的 ，都有 ，所以正确.所22112,x12fxf以正确，故选 C.10抛物线 的焦点为 ， 是 上一点，若 到 的距离是 到 轴距离的两倍，且三角形 的面积为 （ 为坐标原点） ，则 的值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】设点 ，根据已知可知 ，解得： ， ，所以，解得 ，故选 B.【点睛】本题考查了抛物线的方程和几何性质，属于基础题型，抛物线的最重要的几何性质就是抛物线上任一点到焦点的距离和到准线的距离相等，这样就可以得到抛物线的焦半径公式 ，这样抛物线的焦半径和坐标建立起联系，如果题设倾向于用平面几何知识解决问题，那有焦半径，也一定需
8、做出到准线的距离，然后再用平面几何解决问题.11李冶(1192-1279)，真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中益古演段主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为 亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，13.75则圆池直径和方田的边长分别是（注： 平方步为 亩，圆周率按 近似计算）24013A. 步、 步 B. 步、 步 C. 步、 步 D. 步、 步10520637408【答案】B【解析】设圆池的半径为 步，则方田的边长为 步，由题意
9、，得rr ，解得 或 （舍） ，所以圆池的直径为2403rr1.752401r7020 步，方田的边长为 60 步，故选 B点睛：求解数学文化试题主要分三步完成：（1）理解数学文化背景，挖掘出包含的数学意义；（2）联想相关的数学模型，将数学文化背景中的数学问题转化为纯数学问题；（3）利用数学知识求解，并回答求解的问题12已知函数 关于 的方程 ，有 不同的实数解，则 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】设 ， ，解得 ，当 时， ，函数单调递增， ， ，函数单调递减，当 时函数取得最大值 ，方程化简为 ，解得： 或 ，如图画出函数的图象，当 时，方程有 5 个实根，故选 C.
10、【点睛】本题考查了类二次方程实数根的相关问题，以及数形结合思想方法的体现，这种嵌入式的方程形式也是高考考查的热点，这种嵌入式的方程首先从二次方程的实数根入手，一般因式分解后都能求实根，得到和 ，然后再根据导数判断函数的单调性和极值等性质，画出函数 的图象，若直线 和函数的交点个数得到参数的取值范围.二、填空题13已知平面向量 的夹角为 ，且 ，若 ，则 _.【答案】【解析】 ，解得： ，故填：1.14某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_ .【答案】 10256【解析】由题设提供的三视图可以看出该几何体是由两个等腰梯形与两个全等的直角三角形和一个正方形围成的，其面积分别为 ，2424
11、6, 62ABEFABCDSS且 ，所以该几何体的表面积为1245,BCECDS，应填答案 。10625AFBDA 102515下图的矩形，长为 ，宽为 ，在矩形内随机地撒 颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为 颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为_. 【答案】【解析】矩形面积为 10，设阴影面积为 ， ，解得 ，故填： .三、解答题16设 为数列 的前 项和，且 ， .(1)求数列 的通项公式；(2)求数列 的前 项和 【答案】 （1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：(1) 利用通项与和的关系， ，求出数列的首项，推出数列 的等比数列，求解通项公式；(2) ，是等差数列乘以等比数列
12、，利用错位相减法求解数列的和即可.试题解析：(1)当 时， ，易得 .当 时， ，整理得 ， ，数列 构成以首项为 ，公比为 的等比数列，数列 的通项公式 .(2)由(1)知 ,则 ，则 ， ，由-得： ， .【点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列， （2）裂项相消法求和， ， ,等的形式， （3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以 2 得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和. 17中央电视台为了解该卫视朗读者节目的收视情况，抽查东
13、西两部各 个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示其中一个数字被污损，(1)求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率(2)随着节目的播出，极大激发了观众对朗读以及经典的阅读学习积累的热情，从中获益匪浅，现从观看节目的观众中随机统计了 位观众的周均阅读学习经典知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁） ，并制作了对照表（如下表所示）：年龄 岁周均学习成语知识时间 （小时）由表中数据，试求线性回归方程 ，并预测年龄为 岁观众周均学习阅读经典知识的时间【答案】 （1） ；（2） 时， 小时.【解析】试题分析：(1) 的情况有 10 种，求出满足东部
14、各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数 的基本事件的个数，即可求出概率；(2)求出回归系数，可得回归方程.再预测年龄为 岁观众周均学习成语知识时间.试题解析：(1)设被污损的数字为 ，则 有 种情况.令 ，则 .东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有种情况，其概率为 .(2) . 时， 小时.18在三棱锥 中，三条棱 两两互相垂直，且 ， 是边的中点.(1)求异面直线 与 所成的角的大小；(2)设 与平面 所成的角为 ，二面角 的大小为 ，分别求 的值【答案】 （1）异面直线 与 成 角；（2） ， .【解析】试题分析：（1）求异面直
15、线所成的角，一般通过平移，转化为求相交直线所成的角，所以取 的中点 ，连结 ， 即为所求；（2）点 在平面 内的射影为点 ， 为 的中心，连结 交 于点 ，连结 ， ，分别在直角三角形内求值.试题解析：(1)取 的中点 ,连结 ，显然 ，所以三角形 是等边三角形.所以异面直线 与 成 角.(2)过 作 ，垂足为 ，因为 ，所以 平面 ，所以 ，所以 平面 ，则 与平面 所成的角 .因为 ，所以 平面 ，所以 ，.因为 ，则二面角 的大小为 ，.19在平面直角坐标，直线 ： 经过椭圆 的一个焦点，且点 到直线 的距离为 (1)求椭圆 的方程；(2) 、 、 是椭圆上的三个动点 与 关于原点对称，且 问 的面积是否存在最小值？若存在，求此时点 的坐标；若不存在，说明理由【答案】 （1） ；（2） 点的坐标是 .【解析】试题分析：（1）根据已知 ，代入点到直线的距离求 ，根据求解，得到椭圆的标准方程；（2）分 为长轴端点和短轴端点时，求出面积，再设直线 的方程为 ，求出点 的坐标，根据 求出点 的坐标，根据坐标求 的面积,根据基本不等式求最值.试题解析：（1）对于直线 ： ，令 ，得 ，
