1、江西省赣中南五校 2017 届高三特色班第一次适应性考试数 学 试 卷一、选择题：在下列每题所给的 ABCD 四个选项中，只有一个为符合题意的最佳选项。1.“ ”是“方程 表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆”的( B ) A.充分不必要条件 B. 充要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 必要不充分条件2. 1.复数 ， 为 的共轭复数，则 （ C ） A.2i B.i C.-i D. -2i3. 要得到函数 的图像，只需将函数 的图像沿 x 轴（ A ） A.向左平移 个单位 B.向左平移 个单位 C.向右平移 个单位 D.向右平移 个单位4.墙上挂有一边长为 a 的正方形木板，它的四个角
2、的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为 的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上 每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（ A ） A. B. C. D.与 a 的取值有关5.某厂节能降耗技术改造后，在生产过程中记录了产量 x（吨） 与相应的生产能耗 y（吨）的几组对应数据如右表所示，根据 右表提供的数据，求出 y 关于x 的线性回归方程为 ， 那么 a 的值等于 （A ） A.0.35 B.3.15 C.3.5 D.0.46. 为调查高中三年级男生的身高情况，选取了 5000 人作为样本，右图是此次调查中的某一项流程图，若输出的结果是 3800，则身高在 170
3、cm 以下的频率为（ A ） A.0.24 B.0.38 C.0.62 D.0.767. 设 分别是方程 和 的实根，则 的取值范围是( C )8. 正三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的体积为( A )9. 设直线 与圆 相交于 A,B 两点，是直角三角形（O 为坐标原点），则点 P 到点 M（0，1）的距离的最大值为( A )10. 设 的内角 A， B， C 所对的边分别是 a,b,c，且 则角 A 的大小为（ B ）A B C D 11. 椭圆 的左右焦点分别为 ，弦 过 ，若 的内切圆周长为 ， 两点的坐标分别为 ，则 值为（ A ）A B C D12. 设 ，当 时， 恒成立，则实
4、数 的取值范围是 ( D )A B C D 二、填空题：每题 5 分，共 20 分。 13.已知 为正实数，则 的最小值为_2/3_.14. 已知双曲线 的渐近线与圆 没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为_（1,2）_.15. 设 对任意 恒成立，其中 是整数，则 的取值的集合为_-2,8_.16. 已知点 P（ a， b）与点 Q（1,0）在直线 2x3 y10 的两侧，则下列说法正确的是_2 a3 b10； a0 时， 有最小值，无最大值；存在 MR ，使 M 恒成立；当 a0 且 a1， b0 时，则 的取值范围为（ ， ）（ ，） 三、综合题17. （12 分）已知向量 ， ，函
5、数 （）求 的最大值及相应的 的值；（）若 ，求 的值17 解：（）因为 ， ，所以因此，当 ，即 （ ）时， 取得最大值 ；（）由 及 得 ，两边平方得，即 因此， 18. （12 分）（理科生）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495，(495,500，(510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图 4（1）根据频率分布直方图，求重量超过 505 克的产品数量,（2）在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 Y 为重量超过 505 克 的产品数量，求 Y 的分布列；（3）从该
6、流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率。18.（12 分）（文科生）广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2016 年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查，随机抽取了 名广场舞者进行调查，将他们年龄分成 6 段： ， ， ， ， ，后得到如图所示的频率分布直方图. （I）计算这 40 名广场舞者中年龄分布在 的人数；（II）估计这 40 名广场舞者年龄的众数和中位数； （III）若从年龄在 中的广场舞者中任取 2 名，求这两名广场舞者中恰有一人年龄在 的概率. 解： （1）由表中数据知，这 40
7、名广场舞者中年龄分布在的人数为 4 分 (2)由直方图可知这组数据的众数为 6 分 因为 故中位数为 8 分 （3）由直方图可知，年龄在 有 2 人，分别记为 ，在 有 4 人，分别记为，现从这 6 人中任选两人，共有如下 15 种选法： 其中恰有 1 人在 有 8 种，故其概率为 12 分19. （12 分）如图在四棱锥 中,底面 是边长为 的正方形,侧面 底面 ,且 ,设 、 分别为 、 的中点.() 求证: /平面 ;() 求证:面 平面 ; () 求二面角 的正切值.19 解：法一:()证明: 为平行四边形 连结 , 为 中点, 为 中点在 中 / 且 平面 , 平面 ()证明:因为面
8、 面 平面 面 为正方形, , 平面 所以 平面 又 ,所以 是等腰直角三角形, 且 即 ,且 、 面 面 又 面 面 面 ()【解】:设 的中点为 ,连结 , , 则 由()知 面 , , 面 , , 是二面角 的平面角 中, 故所求二面角的正切值为法二:如图,取 的中点 , 连结 , . , . 侧面 底面 , , , 而 分别为 的中点, , 又 是正方形,故 . , , . 以 为原点,直线 为 轴建立空间直线坐标系, 则有 , , , , , . 为 的中点, ()证明:易知平面 的法向量为 而 , 且 , /平面 ()证明: , , ,从而 ,又 , , ,而 , 平面 平面 ()
9、 【解】:由()知平面 的法向量为 . 设平面 的法向量为 . , 由 可得 ,令 ,则 , 故 , 即二面角 的余弦值为 , 所以二面角 的正切值为 20. （12 分）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，短轴两个端点为 ，且四边形 是边长为 2 的正方形（1）求椭圆方程；（2）若 分别是椭圆长轴的左右端点，动点 满足 ，连接 ，交椭圆于点 证明：为定值；（3）在（2）的条件下，试问 轴上是否存在异于点 的定点 ，使得以 为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理有。 【解析】（1） ， ， 椭圆方程为 ,4 分（2） ，设 ，则 ,直线 ： ，即 ，代入椭圆 得 ,，
10、， ，（定值）,8 分（3）设存在 满足条件，则 ,从而得 m=0，存在 Q（0，0）满足条件.12 分21. （12 分）设函数 ， . （I）讨论函数 的单调性； （II）如果对任意的 ， ，都有 成立，求实数 的取值范围.21.解：（1） 当 时， ，函数 在 上单调递增； 当 时，令 ，此时，函数 在 单调递减，在 单调递增.5 分 （2）由 得 ，由 得 因为 ，所以 又因为 ，所以 由题意， 恒成立 设 ， 因为 令 ，则 显然 时， ， 所以在 在 单调递减 所以，当 所以，函数 ，在区间 上单调递减 所以 故 . .12 分 选做题22. 如图，已知 AB 是 O 的直径， A
11、C 是 O 的切线， BC 交 O 于点 E. （）若 D 为 A C 的中点，证明： DE 是 O 的切线； （）若 OA CE，求 ACB 的大小.22.【解析】（1）连接 ,可证, 所以 DE 是圆 O 的切线. (2) 23. 在极坐标系 ox 中， P 为曲线 ： 上的任意一点，点 Q 在射线 OP 上，且满足，记 Q 点的轨迹为 . （）求曲线 的直角坐标方程； （）设直线 ： 分别交 与 交于 A、B 两点，求 .23. 【解析】（1） (2) 24. 设函数 . （I）当 时，解不等式 ； （II）若 的解集为 ， ，求证： .24.解：（1）当 时，不等式为 ， 或 或 ， 或 . 不等式的解集为 . .5 分 （2）证明： 即 ，解得 ，而 解集是 ， ，解得 ，所以 . （当且仅当 时取等号）. .10 分
