1、1 4.1 函数与方程 核心必知 1利用函数性质判定方程解的存在 (1)函数零点： 函数yf(x)的图像与横轴的交点的横 坐标称为这个函数的零点，其就是方程f(x) 0的解 (2)函数零点的判定定理： 若函数yf(x)在闭区间a，b上的图 像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符 号相反，即f(a)f(b)0，则在区间 (a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点， 即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少 有一个实数解 2利用二分法求方程的近似解 (1)二分法：在区间a，b上f(x)的图 像是一条连续的曲线，且f(a)f(b)0， 通过不断地把方程的解所在区间一分为二， 使区间的两个端点逐步
2、逼近方程的解，进而 得到一个近似解像这样每次取区间的中点， 将区间一分为二，再经比较，按需要留下其 中一个小区间的方法称为二分法 (2)用二分法求方程近似解的过程(如图)：其中“初始区间”是一个两端函数值异 号的区间；“M”的含义：取新区间，一个 端点是原区间的中点，另一端点是原区间两 端点中的一个，新区间两端点的函数值反号； “N”的含义：方程解满足要求的精确度 问题思考 1函数的零点是一个点吗？ 提示：不是，是一个使f(x)0的x的 取值 2函数的零点、相应方程的根、相应 函数图像与x轴交点的横坐标三者之间有何 关系？ 提示：等价关系，函数有几个零点相 应方程有几个根相应函数的图像与x轴有
3、 几个交点 3如果函数yf(x)在区间a，b上 的图像是一条连续的曲线，并且有f(a)f(b) 0，那么在(a，b)上零点的个数是多少？2 什么情况下在(a，b)上有且只有一个零点？ 若f(a)f(b)0，在区间(a，b)上就没有零 点吗？ 提示：若函数yf(x)在区间a，b上 的图像是连续不断的一条曲线，当 f(a)f(b)0时在(a，b)上一定有零点， 但是零点的个数不能确定；当(a，b)是f(x)的 单调区间时只有一个零点；当f(a)f(b) 0时也不一定没有零点 讲一讲 1(1)函数f(x)4 x 16的零点为 _ (2)函数f(x)x 的零点的个数是( ) 4 x A0 B1 C2
4、D3 (3)函数f(x)e x x2的零点所在的 一个区间是( ) A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2) (4)已知函数f(x)2 x 3x 2 .问方程f(x) 0在区间1,0内有没有实数解？为什 么？ 尝试解答 (1)令4 x 160，则 4 x 4 2 ，解得x2，所以函数的零点为x2. 答案：2 (2)选C 令f(x)0，而x 0， 4 x x2，故有两个 (3)选C 由f(0)10，f(1) e10，知函数f(x)的零点在区间(0,1) 内 (4)f(1) 30，f(0)10， 1 2 又函数f(x)2 x 3x 2 的图像是连续 曲线， f(x)在区间1,0内有零
5、点， 即f(x)0在区间1,0内有实数 解 (1)求函数f(x)的零点的方法：令f(x) 0，解方程f(x)0即可 (2)判断函数零点的个数，常用的方法 有： 解方程法：当能直接求解零点时，就 直接求出进行判断 用定理法：用零点存在性定理并结合 函数的单调性 利用图像的交点法：有些题目可先画 出某两个函数yf(x)，yg(x)的图像， 其交点的横坐标是函数yf(x)g(x)的零 点3 (3)判断方程的解所在的区间常转化为 函数的零点问题，当方程f(x)0无法解出 时，常用函数零点的判定定理：函数图像 的连续性；区间端点函数值的符号相反 练一练 1函数f(x)xlog 2 x的零点所在 区间为(
6、 ) A. B. 0， 1 8 1 8 ， 1 4 C. D. 1 4 ， 1 2 1 2 ，1 解析：选C f f log 2 ( 1 4 ) ( 1 2 ) ( 4 log2 1 4 ) 2 1 2 ( 4 2 ) 0. ( 2 1 ) 2试判断方程x 3 2 x 在区间1,2内是 否有实数解 解：设函数f(x)x 3 2 x ， 则f(1)1210，f(2) 8440， f(1)f(2)0. 又函数f(x)x 3 2 x 的图像是连续曲线， 函数f(x)x 3 2 x 在区间1,2内至 少有一个零点，即方程x 3 2 x 在区间1,2 内至少有一个实数解 讲一讲 2当a取何值时，方程 a
7、x 2 2x10的一个根在(0,1)上，另一个 根在(1,2)上？ 尝试解答 (1)当a0时，方程即为 2x10，只有一根，不符合题意 (2)当a0时， 设f(x)ax 2 2x1， 因为方程的根分别在区间(0,1)，(1,2) 上， 所以Error! 即Error! 解得 a1. 3 4 (3)当a0时，设方程的两根为 x 1 ，x 2 ， 则x 1 x 2 0，x 1 ，x 2 一正一负，不 1 a 符合题意 综上，当 a1时，方程 3 4 ax 2 2x10的一个根在(0,1)上，另一个 根在(1,2)上 若将本例中根的存在情况变为一根小于 1，另一根大于1，则a的取值如何？ 解：设f(
8、x)ax 2 2x1， 由已知得：Error!或Error! 即Error!或Error! 解得0a1. 4 解决该类问题，有两种常用途径： (1)利用零点的判定定理构建不等式求 解 (2)画出符合题意的草图，转化为函数 问题数形结合构建关于参数的方程或不等 式，从而求解 练一练 3已知函数f(x)x 2 xm在区间 (1,1)上有零点，求实数m的取值范围 解：法一：当函数f(x)x 2 xm 2 m ， ( x 1 2 ) 1 4 其对称轴x (1,1)， 1 2 故函数在区间(1,1)上只有1个零点 时， 0或Error!或Error! 即14m0或Error!或 Error! 解得m 或
9、0m2或m0. 1 4 当函数f(x)x 2 xm在区间 (1,1)上有2个零点时，Error! 即Error! 解得 m0. 1 4 综上所述，实数m的取值范围为 . 1 4 ，2 ) 法二：函数f(x)x 2 xm在区间 (1,1)上有零点 方程 x 2 xm0在区间(1,1)上 有解 方程 x 2 xm在区间(1,1)上有解 函数 yx 2 x与函数ym在区间 (1,1)上有交点， 函数yx 2 x在区间(1,1)上的值 域为 ， 1 4 ，2 ) m2， 1 4 实数m的取值范围为 . 1 4 ，2 ) 讲一讲 3求方程lg x3x的近似解(精确 到0.1) 尝试解答 令f(x)lg
10、xx3，在同一坐标系 中，作出ylg x 和y3x的图像如图 所示，观察图像可以发现lg x3x有唯 一解x 0 ， x 0 2,3，且f(2)0，f(3)0， 利用二分法可列下表： 计算次数 左端点 右端点 1 2 3 2 2.5 3 3 2.5 2.755 4 2.5 2.625 5 2.562 5 2.625 由于区间(2.562 5,2.625)内的所有值 若精确到0.1都为2.6，所以原方程的近似 零点为2.6. 求方程近似解的步骤：构造函数，利 用图像或单调性确定方程解所在的大致区间， 通常限制在区间(n，n1)，nZ；利用 二分法求出满足精确度的方程解所在的区间 M；写出方程的近
11、似解 练一练 4求函数f(x)x 3 2x 2 3x6的一 个正数零点(精确到0.1) 解：由于f(1)60， 可取区间1,2作为计算的初始区间 用二分法逐次计算，列表如下： 计算次数 左端点 右端点 1 1 2 2 1.5 2 3 1.5 1.75 4 1.625 1.75 5 1.687 5 1.75 6 1.718 75 1.75 7 1.718 75 1.734 375 由上表可知，区间1.718 75,1.734 375中的每一个数精确到0.1都等于1.7， 所以1.7就是函数的一个误差不超过0.1的 正数零点 求函数f(x)2 x lg(x1)2的零点 个数 解 法一：f(0) 1
12、0210， f(2)4lg 322lg 30， f(x)在(0,2)上必定存在零点 又显然f(x)2 x lg(x1)2在 (1，)上为增函数，故f(x)有且只有 一个零点 尝试用另一种方法解题 法二：在同一平面直角坐标系中作出 h(x)22 x 和g(x)lg(x1)的图像 由图像，知ylg(x1)和y22 x 有 且只有一个交点61函数yx 2 2x3的零点和顶点的坐标为( ) A3,1；(1，4) B3，1；(1,4) C3,1；(1，4) D3,1；(1，4) 答案：D 2下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是( ) 解析：选C 当且仅当函数f(x)在区间a，b上连续且f(a)f(b
13、)0时，才能用二 分法求其零点，观察函数的图像知：选项A中函数没有零点；选项B和D中函数虽然有零 点，但是在零点附近的函数值符号相同，故不能用二分法求零点；选项C中函数有零点， 且符合零点存在定理的条件 3(北京高考)函数f(x)x x 的零点个数为( ) 1 2 ( 1 2 ) A0 B1 C2 D3 解析：选B 因为y 在 x0，)上单调递增，y x 在xR上单调递减， ( 1 2 ) 所以f(x) x 在x0，)上单调递增，又f(0)10，所以 ( 1 2 ) 1 2 f(x) x 在定义域内有唯一零点 ( 1 2 ) 4已知函数f(x)x 3 x 2 2x2，f(1)f(2)0，用二分
14、法逐次计算时，若x 0 是 1,2的中点，则f(x 0 )_. 解析：由题意知f(x 0 )f f(1.5)，代入解析式易计算得0.625. ( 12 2 ) 答案：0.6255(湖南高考)若函数f(x)|2 x 2|b有两个零点，则实数b的取值范围是 _ 解析： 由f(x)|2 x 2|b0，得|2 x 2|b. 在同一平面直角坐标系中画出y|2 x 2|与yb的图象，如图所示， 则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)|2 x 2|b有两个零点 答案：(0,2) 6判断下列函数在给定的区间内是否存在零点 (1)f(x)x 2 8x16，x1,8； (2)f(x)log 2 (x
15、2)x，x1,3； (3)f(x) ，x2,4 2 x3 解：(1)f(1)9，f(8)16，f(1)f(8)0，但是f(4)0且41,8，所以函数 在区间1,8内存在零点4. (2)由于f(1)log 2 (12)1log 2 0，f(3)log 2 (32)3log 2 0，因此 3 2 5 8 f(1)f(3)0， 又函数f(x)在区间1,3上的图像是连续曲线，所以函数在区间1,3内存在零点 (3)因为函数的定义域为(，3)(3，)，所以函数yf(x)的图像在区间2,4上 不是一条连续曲线，故不能用零点的存在性定理来判断是否存在零点 函数的图像如图所示，观察图像，可得函数在区间2,4内不
16、存在零点 一、选择题 1下列函数有两个零点的是( )Ayx1 Byx 2 2x3 Cy2log 2 x DyError! 解析：选D 易知A只有一个零点；对于B，方程x 2 2x30无解；对于C，令 2log 2 x0，也无解；对于D，y0有两解x2 012和x0. 2(重庆高考)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc) (xc)(xa)的两个零点分别位于区间( ) A(a，b) 和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内 C(b，c)和(c，)内 D(，a) 和(c，)内 解析：选A 令y 1 (xa)(xb)(xb)(xc)(xb)2x(ac)， y 2 (xc)(xa)，由
17、abc作出函数y 1 ，y 2 的图像(图略)，由图可知两函数图像的两 个交点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，即函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和 (b，c)内 3函数f(x)ln(x1) 的零点所在的大致区间是 ( ) 2 x A(0,1) B(1,2) C(2，e) D(3,4) 解析：选B f(1)ln 220，f(2)ln 310，则函数f(x)的零点所在的大 致区间是(1,2) 4若方程|ax|xa(a0)有两个解，则a的取值范围是 ( ) A(1，) B(0,1) C(0，) D 解析：选A 分三种情况，在同一坐标系中画出y|ax|和yxa的图像如图： 结合图像可
18、知方程|ax|xa有两个解时，有a1. 二、填空题 5用二分法求方程x 3 2x50在区间2,3内的实根，取区间中点为x 0 2.5，那 么下一个有根的区间是_ 解析：令f(x)x 3 2x5，可知，f(2)、f(3)分别等于1、16，又因为f(2.5) 0，显然下一个有根的区间 45 8 为2,2.5) 答案：2,2.5) 6方程2 x x 2 3的实数解的个数为_ 解析：分别作出函数f(x)3x 2 与函数g(x)2 x 的图像，如图所示f(0) 3，g(0)1，从图像上可以看出它们有2个交点 答案：2 7已知函数f(x)Error!则函数 yf(x)2的零点是_ 解析：当x1时，y3 x
19、 2，令y0，得xlog 3 21， 当x1时，yx2，令y0，得x2不合题意， 综上，零点是log 3 2. 答案：log 3 2 8已知yx(x1)(x1)的图像如图所示，今考虑f(x)x(x1)(x1) 0.01，则方程式f(x)0 有三个实根； 当x1时，恰有一实根(有一实根且仅有一实根)； 当1x0时，恰有一实根； 当0x1时，恰有一实根； 当x1时，恰有一实根 正确的有_ 解析： 函数f(x)的图像如图所示，由图像易知，当x1时，方程f(x)0恰有一实根； 当1x0时，方程f(x)0没有实根；当0x1时，恰有两个实根；当x1时，没有实根 答案： 三、解答题 9判断方程x 3 x10
20、在区间1,1.5内有无实数解；如果有，求出一个近似解(精 确到0.1) 解：设函数f(x)x 3 x1，因为f(1)10， f(1.5)0.8750，且函数f(x)x 3 x1的图像是连续的曲线，所以方程 x 3 x10在区间1,1.5内有实数解 取区间(1,1.5)的中点x 1 1.25，用计算器可算得 f(1.25)0，因为f(1.25)f(1.5)0， 所以x 0 (1.25,1.5) 再取(1.25,1.5)的中点x 2 1.375，用计算器可算得 f(1.375)0.220， 因为f(1.25)f(1.375)0， 所以x 0 (1.25,1.375) 同理，可得x 0 (1.312
21、 5,1.375)， x 0 (1.312 5,1.343 75) 由于区间(1.312 5,1.343 75)内的所有数精确到0.1都是1.3，所以1.3是方程 x 3 x10在区间1,1.5内的一个近似解 10已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1. (1)求f(x)的解析式； (2)若函数h(x)f(x)ax，x2,3时有唯一零点，且不是重根，求实数a的取值 范围； (3)当x1,1时，不等式f(x)2xm恒成立，求实数m的取值范围 解：(1)设f(x)ax 2 bxc，(a0)， 由f(0)1，得c1， 故f(x)ax 2 bx1. 因为f(x1)f(x)2x，
22、即2axab2x， 所以Error!所以Error! 所以f(x)x 2 x1. (2)h(x)f(x)axx 2 (a1)x1， 则h(2)32a，h(3)73a. 所以h(x)0在区间2,3上有唯一零点，且不是重根，只需Error!或Error! 即Error!或Error! 解得 a . 3 2 7 3 经验证，知当a 时，方程h(x)0在区间2,3上有唯一解x2；当a 时，方程 3 2 7 3 h(x)0在区间2,3上有唯一解x3； 故a的取值范围是 . 3 2 ， 7 3 (3)由题意，得f(x)2xm，即x 2 3x1m0在区间1,1上恒成立 设g(x)x 2 3x1m，其图像的对称轴为直线x ， 3 2 所以g(x)在区间1,1上是减少的 所以只需g(1)0，即m10，解得m1. 即m的取值范围为(，1)
