1、2017 届江西省吉安市第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题 数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）2|0,|lg1,AxxRBxxZABA B C D 0,2,2022. 复数 满足 ，则复数 的共轭复数在复平面内的对应点位于（ ）z1iizA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3. 命题“存在 ”的否定是 （ ）00,2xRA不存在 B对任意的 x00,2xRC对任意的 D存在 00,x 4. “ ”是“直线 与 互相平行”的 （ ）2
2、a1:30lay2:14lxayA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D即不充分也不必要条件5. 张丘建算经是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元 466-485 年间，其中记载着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布 尺， 天共织530布 尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（ ）390A B C. D 16216271313296. 阅读如图所示的程序框图，则该算法的功能是 （ ）A 计算数列 前 项的和 12n5B计算数列 前 项的和 C. 计算数列 前 项的和 1n6D计算数列 前 项的和27. 已知实数 满足 ，
3、则 的取值范围是 （ ）,xy10,21yzxyzA B C. D 5,30,50,55,38. 的外接圆的圆心为 ，半径为 且 ，则向量 在向量 方向上CO1,2ABCOABABC的投影为 （ ）A B C. D 123232129. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A B C. D32432310. 已知点 是双曲线 右支上一点， 分别为双曲线的左、右焦点， 为 的内心，P169xy12,FI12PF若 成立，则 的值为 （ ）1212IFIIFSSA B C. D5845433411. 三棱锥 的外接球为球 ，球 的直径是 ，且 都是边长为 的等边三角形，CDOA,
4、BC1则三棱锥 的体积是 （ ）A B C. D26212431212. 设函数 是定义在 上的可导函数为 ，且有 ，则不等式fx,0fx0fxf的解集 （ ）320152573xfA B 8,2016C. D 6第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知 ，则二项式 的展开式中 的系数为 _.1eadx51ax3x14. 直线 过抛物线 的焦点 且与 相交于 两点，且 的中点 的坐标为l2:0CypFC,ABM，则抛物线 的方程为 _.3,215. 已知函数 等于拋掷一颗均匀的正六面体骰子得到的点数，则 在 上cos,3afxx yfx0,
5、4有偶数个零点的概率是 _.16. 在平面直角坐标系中，已知三个点列 ，其中 满足,nnABC,1,nnnAaBbC向量 与向量 共线，且 ，则 _.（用 表示）1nAnBC116,0nbab三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17. （本小题满分 12 分）已知函数 .22sico3sfxxx（1）求函数 的单调减区间; fx（2）已知 中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，其中 ,若锐角 满足ABCabc7aA,且 ,求 的值.36f13sin4c18. （本小题满分 12 分）为了整顿食品的安全卫生，食品监督部门对某食品厂生产
6、甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，随机在两种食品中各抽取了 个批次的食品，每个批次各随10机地抽取了一件，下表是测量数据的茎叶图（单位: 毫克）规定：当食品中的有害微量元素的含量在 时为一等品，在 为二等品， 以上为劣质品.0,110,220（1） 用分层抽样的方法在两组数据中各抽取 个数据，再分别从这 个数据中各选取 个，求甲的一等55品数与乙的一等品数相等的概率;（2）每生产一件一等品盈利 元，二等品盈利 元，劣质品亏损 元，根据上表统计得到甲、乙两种502020食品为一等品、二等品、劣质品的频率，分别估计这两种食品为一等品、二等品、劣质品的概率. 若分别从甲、乙食
7、品中各抽取 件, 设这两件食品给该厂带来的盈利为 ,求随机变量 的频率分布和数学期望.1X19. （本小题满分 12 分）在四棱柱 中，底面 是菱形，且1ABCDABCD.11, 60AB（1） 求证: 平面 平面 ;ABD1（2）若 ,求平面 与平面 所成角的大小.121BD20. （本小题满分 12 分）设椭圆 的焦点 ,过右焦点 的直线 与 相交2:10xyCab12F2lC于 两点，若 的周长为短轴长的 倍.,PQ1F3（1）求 的离心率; C（2）设 的斜率为 ，在 上是否存在一点 ,使得 ？若存在，求出点 的坐标; 若l M2OPQM不存在，说明理由.21.（本小题满分 12 分）
8、已知函数 为常数）.ln(fxmx（1）讨论函数 的单调性; fx（2）当 时，设 的两个极值点 恰为 的32m2gfx122,x2lnhxcbx零点，求 的最小值.1212yxh请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 ,直线 的极坐标方程分别xOyx 1C2为 .4sin,co24（1） 求 与 交点的极坐标;1C2（2）设 为 的圆心， 为 与 交点连线的中点，已知直线 的参数方程为 为，P1Q1C2 PQ3(12xtatRb
9、y参数) 求 的值 .,ab23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 .21fx（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的值 ;0fm,2,m（2） 若不等式 对任意的实数 恒成立，求实数 的最小值.23yafxx,xyRa江西省吉安市第一中学 2017 届高三上学期期中考试数学（理）试题参考答案一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1-5. DDBAA 6-10.CCDCB 11-12. BA二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13. 14. 15. 16. 80132248yx或 2396nN三、解答题17.解：（1） ,22sincos3sin23cos2i
10、n3fxxxxx由正弦定理可得 ,则 ，714132,sinsin2432abcRBCAR134bcA由余弦定理知 ，整理，得 .221cosbcabca 0bc18.解：（1）从甲中抽取的 个数据中，一等品有 个，非一等品有 个，从乙中抽取 个数据中，554035一等品有 个，非一等品有 个，设“从甲中抽取 个数据中任取 个，一等品的个数为 ” 为563022i事件 ,则 .12iA13230 225551,10CCCPAPAPA设“从乙中抽取 个数据中任取 个，一等品的个数为 ” 为事件 ,则5iiB.12223305551,10CPBBBCC甲的 一等品数与乙 的一等品数相等的概率为 :
11、.210 2150APA（2）由题意，设“从甲中任取一件为一等品” 为事件 ，则 ,114P设“从甲中任取一件为二等品” 为事件 ，则 ,2C24设“从甲中任取一件为劣质品” 为事件 ，则 .33105设“从乙中任取一件为一等品” 为事件 ，则 ,1D6P设“从乙中任取一件为二等品” 为事件 ，则 ,22设“从乙中任取一件为劣质品” 为事件 ，则 . 可取33105X.,40,3,710402PXCDA 323 13112 231,5 55PXCDPCDA A,12 8,705XA.1602的分布列为X4304701P12531528562. 64004701542EX19.解：（1）因为 ,
12、所以 和 均为正三角形，于是111,ABDA1AB1D，设 与 的交点为 ，则 ，又 是菱形，所以 ，而ABDCOBCC，所以 平面 ，而 平面 ，故平面 平面 . 1O1C111A（2）由 及 知 ，又由 得1ABD12A1BAD11,ABD，故 ，于是 ，从而 ，结合190112O1OA得 底面 .如图，建立空间直角坐标系，则1O1C,设平面 的一个法11,0,0,0,0120ABDABADB1BD向量为 ，由 得 ,令 ，得 ，设 平面的一个法向量,nxyz1nyxzx,n1A为 ，设平面 设平与平面 所成角为 ，则 ，故 .2,0CAAB1B2cosC4520.解：（1） 的周长为 ，
13、依题意知 ，即 . 1PQF4a43ab263,13baea（2）设椭圆方程为 ，直线的方程为 ，代入椭圆方程得 ，223xycyxc2240xc设 ，则 ,设 ，则 12,xy 2121,8x0,M20y由 得 ,代入 得 ,2OMPQ012xy22 21 123434xyxyc因为 2221 1233, 0xycc而 ,从而 式不成立. 故不存在点221212243xxxcxc，使 成立.OPQ21.解：（1） ，当 时，由 解得 ,即当 时， ,0mfxx10mx110xm单调递增， 由 解得 ,即当 时， 单调递减,当0,fx1ff时， ,即 在 上单调递增,当 时， 故 ，即m0fx
14、fxx在 上单调递增 ,所以当 时， 的单调递增区间为 ,单调递减区间减区间为fx0,0mfx10m，当 时， 的单调递增区间为 .1,mfx,（2） ,则 ,所以 的两根 即为22lngxfmx21xggx12,x方程 的两根. 因为 ,所以 ,又因为 为21032121240,m12的零点，所以 ,两式相减得2lnhxcbx21122ln,lnxcbxcb,得 ,而 ,1212122l 0x2121lx12hxcb所以 121212ycxb1212121212lncxcx 112212lnlnxxxA令 ,由 得120,l1xttyt21xm2211xxm因为 ,两边同时除以 ，得 ，因为
15、 ，故 ，解得 或 ，12x12x2tm32152t1t2t所以 ，设 ，所以 ，则 在 上是减函0tlntGtA21 0tGtAyGt0,数，所以 ，即 的最小值为 .min12l3t 1212xyh2ln322.解：（1）圆 的直角坐标方程为 ,直线 的直角坐标方程为 ,联立得1C24x2C40xy得 所以 与 交点的极坐标为 .2240xy210xy124,2,（2）由（1）可得, 的直角坐标为 ,故 的直角坐标方程为 ，由参数方程,PQ,3PQ0xy可得 ，所以 ，解得 .2bayx,12ba1,2ab23.解：（1）由题意知,不等式 解集为 ,由 得,0xm21xm,所以 ,由 ,解得 .1mx232（2）不等式 等价于 ，由题意知23yafx12yax， 因为 ，所以 ，即max13yx 334x24ya对任意都 成立，则 .而 ,当24yyaRmax24yya22yyyy且仅当 ,即 时等号成立，故 ,所以实数 的最小值为 .yy1 4
