1、高邮市 20162017 学年第一学期高三数学（理）期初调研测试总分：160 分 时间：120 分钟一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知角的终边过点 (1,3)P，则 sin的值为 2若实数 ,0xy且 ，则 2xy的最小值是 3若矩阵 2A 3的逆矩阵为 4 1x的解集为 5已知 312,sin,sin4543，则 cos4 6已知函数 xAfi（ ,0）的部分图象如图所示，则 xf的解析式为 7函数 124sinxy的对称中心是 8设 ,x满足约束条件 0,63yx，则目标函数 3zxy的最大值为 9若 0m， n， 1，
2、且 tmn（ 0t）的最小值为 16，则 t 10已知二阶矩阵 aMb属于特征值 5的一个特征向量为 12e，则ab 11把函数 1()3sincos2fxx的图象上各点向右平移 (0)个单位，得到函数()cos2g的图象，则 的最小值为 12如果 2tasi5icsfxx，那么 3f 13已知变换 T：将图象上点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 倍，再将所得图象绕原点逆时针旋转90，则变换 T 对应的矩阵是 14已知 0,cb且 92bca，则 cba2的最小值为 二、解答题：（本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（本题满分 14 分）设二次函
3、数 cbxf2，函数 F(x)f(x)x 的两个零点为 m，n（1）若 m1，n2，求 ,的值；（2）若 cb，解不等式 0xf.16（本题满分 14 分）已知函数 2sin3sicosinsi4fxxx.（1）求 f的最小正周期和单调减区间； （2）若 0042xxfx为 的一个零点，求 0cos2x的值.17（本题满分 15 分）已知矩阵 120A， 201 B（1）求 B的值；（2）椭圆 24xy在矩阵 B 对应的变换作用下得到曲线 F，求 F 的方程（3）求矩阵 A 的特征值和特征向量18（本题满分 15 分）已知 a,b,c 分别是ABC 内角 A，B，C 的对边，且 3sincos
4、AaC（1）求 C的值；（2）若 ,3，求ABC 的面积19（本题满分 16 分）如图，某市欲规划一居民小区 ABCD，AD=2 千米，AB =1 千米，A=90，政府决定从该地块中划出一个直角三角形地块 AEF 建活动休闲区（点 E，F 分别在线段 AB，AD 上） ，且该直角三角形 AEF 的周长为1 千米，AEF 的面积为 S （1）设 AE=x，求 S 关于 x 的函数关系式；设AEF=，求 S 关于 的函数关系式；（2）试确定点 E 的位置，使得直角三角形地块 AEF 的面积 S 最大，并求出 S 的最大值20（本题满分 16 分）已知 aR，函数 23()log()fxa.（1）当
5、 2时，求不等式 0f的解集；（2）设 0a，若对任意 1,2t，函数 ()fx在区间 ,1t上的最大值与最小值的差不超过 1，求 a的取值范围.高邮市 20162017 学年第一学期高三数学（理）期初调研测试参考答案一、填空题1 30 2 3 2 1 4 21, 5 6 6 sinfx 7 Zk,8 8 69 9 10 215 11 6 12- 5 13 01 14 6二、解答题：15解 ： （ 1） 因 函数 F(x)f(x) x 的两个零点为1，22xxcb所 以 cb， 解 得 06 分（ 2） 112xcxxf 8 分若 即 时 ， f的解集为 ,1,c10 分若 即 时 ， 0的解
6、集为 12 分若 c即 时 ， 的解集为 ,14 分16解：（1） 1cos213insicosinco2xfxxx1ic322sin62x（或 sx）3 分所以 f的最小正周期为 5 分由 Zkk,，得 Zkx,63所以 fx的单调减区间为 k,6,37 分（结果中少 Zk，扣 2 分）（2） 016sin200 f ，所以 412sin0x9 分又 4x， 73x，所以 41562cos011 分（不交待 x的范围，此步不给分，但不影响后面的得分）所以 6sin2sin6co2cos62coss 0000 xxx81534123514 分（缺少公式展开过程，扣 1 分）17解：（1） 12
7、0AB 21 405 分（无矩阵代入过程直接写结果，扣 2 分）（2）设 0(,)Pxy是椭圆上任意一点，点 (,)Pxy在矩阵 B 对应的变换下变为点 0(,)Pxy 则有 00 1，即0xy，所以0又因为点 在椭圆上，故 2041y，从而 20()1xy所以，曲线 F的方程是 x10 分（无设点过程，扣 2 分）（3）矩阵 A 的特征多项式 f令 0f得 或 113 分将 2代入 0yx解得 yx，所以属于 2一个特征向量是 1将 1代入 解得 2，所以属于 1一个特征向量是 215 分（求对一个给 1 分）18解：（1）因为 A、 C为 B的内角，由 3sincosa知 in0,cosA
8、C，结合正弦定理可得：ico3 分（未交待 s0,s，本次不扣分）所以 3tanC, 5 分又因为 ，所以 6. 7 分（未交待 C 的范围，扣 2 分）（2）解法 1：因为 ca， 3b，所以 24， 10 分整理得： 10 解得： 52a（负值舍去） 13 分所以 3(51)28ABCS15 分法 2：由 ca结合正弦定理得： sini24AC， ， , 15co1, 9 分（直接写出 Acos的值，无用公式过程，扣 1 分） sini()sin()BCsincosinAC= 13513428,11 分由正弦定理得： ibAaB， 13 分 1513(51)sin228ABCS 15 分.
9、19解：（1）设 AF=y，由勾股定理可得 x2+y2= 22xy，解得 y=x（由 y0 可得 0x ） ，可得 S=124（0x ） ；4 分设 AEx，AF=xtan ，EF= cos ，由 x+xtan+ cos=1，可得 x= in1 ，即有 S=12F= 2is（0 ） ；7 分（每少一个变量范围扣 1 分）（2）法一：由得 S=4x（0x ） ，设1,2tx，则 1t则 1323224444tS tt12 分当且仅当 2t= ，即 t= ，即 x=1时，等号成立 14 分答：当点 E 距离点 A2千米时，直角三角形地块 AEF 的面积 S 最大，最大值为324平方千米 16 分法
10、二：由 令sincosin1,24t ，则 21214Stt因 ,，且函数在 ,上单调递增，所以当 2t时，S 有最大值324， 12 分此时 4，cos24in1x14 分答：当点 E 距离点 A21千米时，直角三角形地块 AEF 的面积 S 最大，最大值为324平方千米20解：（1）由 23log0x，得 321x，解得 ,所以 ()f为 , 7 分（未写成集合形式扣 1 分）（2）当 120x时， 123ax， 22133loglogaaxx，所以 f在 ,上单调递减函数 在区间 t上的最大值与最小值分别为 ft， 1ft2233loglog1ft aatt即 20at，对任意 ,成立 12 分因为 0，所以函数 23yatt对称轴 213ax在区间 ,上单调递增， 12t时，y有最小值 34，由 0，得 2a故 a的取值范围为 , 16 分
