1、2017 届江苏省苏州市第五中学高三 12 月月考数学试题一、填空题1已知集合 ，则 1,30,0,13ABaABa【答案】【解析】试题分析：因为 ，所以 只能在 ， ， 中取值，又根据, 13集合中元素的互异性，所以 ，所以答案应填： 3a3【考点】集合的交集2设 ，若复数 的虚部为零，则 _a=【答案】-1【解析】 , 若复数 在复平面内对应的点位于(1+i)(a+i)=a1+(a+1)i实轴上，则 ，解得： ，故答案为 .a+1=03设命题 p： xR， x210，则 p 为_【答案】 xR， x210【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题 “ ”，则 为： ，故答案为 .4函数
2、 的定义域为_【答案】【解析】由 ，可得 ，所以，函数 的定义域为 ，故 x042x0 00,sinB0,sinBsinA=cosC0，即 为钝角， ，又 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC， ，即sinAcosC+cosAsinC=sinAcosCcosAsinC=2sinAcosC,tanC=2tanA,tanB=tan(A+C)，当且仅当 时，取等号，故 的最大= tanA1+2tan2A= 11tanA+2tanA122=24 1tanA=2tanA值为 ，故答案为 .24 24【易错点晴】本题主要考查两角和的正弦公式、正切函数的二倍角公式、利用基本不等式求
3、最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.14已知函数 与函数 在区间 上都有零点，则(b,c)的最小值为_【答案】-1【解析】因为函数 ，与函数 在区间 上都有零点，且f(x)=3x+a g(x)=3x+2a与 均为增函数， ，即 ， ，即 g(x) b0 a0，当 时， ，当 时，a+2b0，即 恒成立，即 恒成立，a+2b0， 的最
4、小值为 ，故答案为 .a2+2ab+2ac+4bcb22bc+c2二、解答题15在 中，角 A、 B、 C 所对应的边分别为 a、 b、 c，已知向量（1）求 A 的大小；（2）若 ， ，求 的面积b+c=8【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）根据向量垂直的性质、正弦定理可得 ，从而得 ，进而可得结果；（2）根据（1）的结论，结合条件 ，由余弦定理得 ，再根据三角形面积公式可得结果 .b+c=8试题解析：（1）由 m n 得再由正弦定理得 化简得即 ，所以 . （2）由余弦定理得 ，整理 ，将 代入得 ， .【方法点睛】本题主要考查向量的坐标表示、正弦定理及余弦定理的应用以及
5、三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，ab往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答16已知函数 f（x）=e x+ex ，其中 e 是自然对数的底数（1）证明：f（x）是 R 上的偶函数；（2）若关于 x 的不等式 mf（x）e x +m1 在（0，+）上恒成立，求实数 m 的取值范围【答案】 （1）证明见解析；（2）m【解析】试题分析（1）根据函数奇偶性的定义即可证明
6、 f（x）是 R 上的偶函数；（2）利用参数分离法，将不等式 mf（x）e x +m1 在（0，+）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数 m 的取值范围（1）证明：f（x）=e x+ex ，f（x）=e x +ex=f（x） ，即函数：f（x）是 R 上的偶函数；（2）解：若关于 x 的不等式 mf（x）e x +m1 在（0，+）上恒成立，即 m（e x+ex 1）e x 1，x0，e x+ex 10，即 m 在（0，+）上恒成立，设 t=ex， （t1） ，则 m 在（1，+）上恒成立， = = ，当且仅当 t=2时等号成立，m 【考点】函数恒成立问题17如图，一条宽为 1km 的两平行
7、河岸有村庄 A 和供电站 C，村庄 B 与 A、 C 的直线距离都是 2km， BC 与河岸垂直，垂足为 D现要修建电缆，从供电站 C 向村庄 A、 B 供电修建地下电缆、水下电缆的费用分别是 2 万元/ km、4 万元/ km（1）已知村庄 A 与 B 原来铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是 0.5 万元/km现决定利用此段旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值；（2）如图，点 E 在线段 AD 上，且铺设电缆的线路为 CE、 EA、 EB若 DCE (0 )，试用 表示出总施工费用 y (万元)的解析式，并求 y 的最小值【答案】解：（）由已知可得
8、 为等边三角形.因为 ，所以水下电缆的最短线路为 .过 作 于 E，可知地下电缆的最短线路为 、 . 3 分DEAB又 ，故该方案的总费用为 （万元） 6 分（）因为所以 . 7 分则 ， 9 分令 则 ， 10 分因为 ，所以 ，记当 ，即 时，当 ，即 时， ，所以 ，从而 ， 12 分此时 ，因此施工总费用的最小值为（ ）万元，其中 . 13 分【解析】略18椭圆 的离心率为 , 过点 , 记椭圆的左顶点为 .A（1）求椭圆的方程；（2）设垂直于 轴的直线 交椭圆于 两点, 试求 面积的最大值；y l B,C ABC（3）过点 作两条斜率分别为 的直线交椭圆于 两点，且 , 求证: 直线
9、恒过一个定点.【答案】 （1） x22 y21；（2） ；（3）直线 BC 恒过定点 .【解析】试题分析：（1）题意列出关于 、 、 的方程组，结合性质 a， 求出 、 、 ，即可得结果；（2）设 B(m，n)，C(m，n)，则 SbABC 2|m|n|m|n|， 根据点 在椭圆上与基本不等式可得结果；（3）AB：yk 1(x1) ，AC：yk 2(x1)，由 消去 y，得(12k )x24k x2k 10，可得 的坐标，从=1(+1)2+22=1而得 的方程，进而可得结果.试题解析：（1）由 ，解得所以椭圆 C 的方程为 x22 y21. （2） 解：设 B(m，n)，C(m， n)，则 S
10、ABC 2|m|n|m|n|，又 1m 22n 22 2 |m|n|，所以| m|n| ，当且仅当|m| |n|时取等号，从而 SABC ，即ABC 面积的最大值为 . 8 分（3）证明：因为 A(1,0)，所以 AB：yk 1(x1)， AC：yk 2(x1)，由 消去 y，得(12k )x24k x2k 10，解得 x1 或 点 ，同理，有 ，而 k1k22，C(1-2k221+2k22, 2k21+2k22) C(k21-88+k21,4k18+k21) 直线 BC 的方程为即 ，即 ，y- 2k11+2k12= 3k12(k21+2)(x-1-2k211+2k21)所以，得直线 BC
11、恒过定点 .19已知函数 ， .(1).当 时，求 的单调增区间；a=3(2)当 ，对于任意 ，都有 ，求实数 的取值范围；a1（3）若函数 的图象始终在直线 的下方，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） ；（3） .【解析】试题分析：（1）求出 ，由 得增区间， 得减区间；（2）原题等价于： ，在 上递增，只需(0,1上恒成立即可；（3）原题等价于 在上恒成立,从而可得 恒成立，求出 的最大值即可得结果.试题解析：（1）当 时， ， 令 ，解出： ， 所以 的单调增区间为 (2) 当 ，显然满足，以下讨论 的情况。当 时， ，a1，得到 ，即 在 上单调递增.(0,1对于任意 ，不妨设 ，则有 ，且 代入不等式，引入新函数： ， 所以问题转化为 上恒成立
