1、盐城市 2017 届高三年级第一学期期中考试数 学 试 题(总分 160 分，考试时间 120 分钟)一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.1函数 的最小正周期是 2sinyx2设向量 ， ，若 ，则实数 (,6)a(1,)bm/abm3命题 是 命题（选填 “真”或“假”）200:pxRx4已知集合 ， ，则 = ,34A|32,ByxAB5函数 （ 且 ）的图象所经过的定点为 1xfa1a6在等比数列 中，已知 ， ，则 n1234910a7若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是 32()fxx,8已知 ，且 为钝角，
2、则 4sin9cos29在 中，已知 ，则此三角形的最大内角的大小为 ABCsin:i3:57ABC10已知 为奇函数，当 时， ，则曲线 在 处的切线斜率fx0x2xfeyfx1为 11若函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增，则实数1,()|afxx(,)a(,)aa的取值范围是 12在数列 中， ，且当 时， 恒成立，则数列n102a10n1023nnna的前 100 项和 10S13在 中，已知 ， ， ，点 在边 上，且 ，则ABC4C(,)42BDBC3ADB= D14. 设函数 ， ，若使得不等式2fxk32ln, 1,10xxga对一切正实数 恒成立的实数 存在且唯一，则实数
3、 的值为 fxgk二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分 14 分）设 ：实数 满足 ，其中 ； ：实数 满足 .px22430axaqx302（1）若 ，且 为真，求实数 的取值范围；apqx（2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.16（本小题满分14分）设函数 （ 为常数，且 ）的部分图象如图()sin()fxAx,A0,A所示.（1）求 的值；,（2）设 为锐角，且 ，求 的值.3()5f()6f17（本小题满分14分）如图，在四边形 中， ， ， 为 的中点.ABCD412BACE
4、A（1）若 ，求 的面积 ；12cos3S（2）若 ，求 的值.E18（本小题满分16分）如图所示，有一块矩形空地 ， km， = km，根据周边环境及地形实际，当ABCD2BC4地政府规划在该空地内建一个筝形商业区 ，筝形的顶点 为商业区的四个入EFG,AEFG口，其中入口 在边 上（不包含顶点），入口 分别在边 上，且满足点F,D恰好关于直线 对称，矩形内筝形外的区域均为绿化区. ,AEG（1）请确定入口 的选址范围；（2）设商业区的面积为 ，绿化区的面积为 ，商业区的环境舒适度指数为 ，则入口1S2S21S如何选址可使得该商业区的环境舒适度指数最大？F19（本小题满分16分）设函数 .l
5、nfxaR（1）若直线 是函数 图象的一条切线，求实数 的值；31yfxa（2）若函数 在 上的最大值为 （ 为自然对数的底数），求实数 的值；f2,e1aea（3）若关于 的方程 有且仅有唯一的实数根，求实数x 2l3lnttxt的取值范围.t20（本小题满分16分）若数列 中的项都满足 （ ），则称 为“阶梯数列”.na2121nna*Nna（1）设数列 是“阶梯数列”，且 ， （ ），求 ；bb219nb*2016b（2）设数列 是“阶梯数列”，其前 项和为 ，求证： 中存在连续三项成等差数列，ncS但不存在连续四项成等差数列；（3）设数列 是“ 阶梯数列 ”，且 ， （ ），记数列d1
6、d21nd*的前 项和为 . 问是否存在实数 ，使得 对任意的21nnTt10nntTt恒成立？若存在，请求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由.Nt数学参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分. 12 2. 3 3. 真 4. 5. 6. 16 7. 1,41,43a8. 9. 10. 11. 12. 13. 6 14. 212012e0二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分. 15解：（1）由 ，得 , 又 ,所以 ,22430xa(3)xa0a3xa当 时,1 ,即 为真时实数 的取值范围是 . 2 分ap13x为真时 等价于 ，得 , 4 分
7、q()2即 为真时实数 的取值范围是 .x23x若 为真，则实数 的取值范围是 . 7p分（2） 是 的必要不充分条件，等价于 且 ,qqpq设 , , 则 BA; 10 分|3Axa|Bx则 ， 所以实数 的取值范围是 . 1402,3与 不 同 时 取 等 号 a12a分16解：（1）由图像，得 , 23A分最小正周期 ， ， 447126T2T分，()3sin()fxx由 ，得 ， ，7127212kZ， ， ， . 753kZ03分（2）由 ，得 ，3()sin(2)5fsin(2)5， ，又 ，所以 ，0,4,0342,3， 102cos(2)1sin()335分 ()ii()6f
8、3sin(2)cos(2)sin33 . 14分1415017解：（1） ， ，2cos3ABC,， 2 分15sin122cos,3BBAC4 分13,AC. 7 分5in21BSAC（2）以E为原点，AC所在直线为 轴，建立如图所示平面直角坐标系，x则A(2,0) ，C(2,0) ，设D ，由 ，可得 ，,xy2BED(2,)Bxy则 12()(,)4Byx11分24,xy . 14分2,0xy18解：（1）以 A 为原点，AB 所在直线为 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则 ，x 0,A设 （ ），则 AF 的中点为 ，斜率为 ，2,Fa01,a而 ，故 的斜率为 ，EGa则 的方程为
9、，1yx令 ，得 ； 2 分0xGa令 ，得 ； 4 分y21E由 ，得 ，40xBF320a，231a即入口 的选址需满足 的长度范围是 （单位：km）. 6 分FBF423,（2）因为 ，1 112AEGSaa故该商业区的环境舒适度指数 ， 9 分121 18ABCDABCDSS所以要使 最大，只需 最小.21S设 10 分3,23,faa则 ，224222 23111aaaf 令 ，得 或 （舍）， 12 分0a3a的情况如下表：,f2332,3,11fa0 减 极小 增故当 ，即入口 满足 km 时，该商业区的环境舒适度指数最大. 16 分3aF23B19解：（1） ， ,lnfxax
10、1fax设切点横坐标为 ，则 2 分0001,l31,x消去 ，得 ，故 ，得 4alnx2.a分（2） 211,fex当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递增，2ae0f2fx21,e则 ，得 ,舍去; 5max 1fae22ae分当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递减，10fx2,fx1,则 ，得 ,舍去; 6max1faea分当 时，由 ，得 ；由 ，得 ，21ae201fxe1xa20fxe21xea故 在 上单调递增，在 上单调递减， fx,则 ，得 , 8 分maxlnfae2ln0设 ,则212l,ge21,gae当 时， , 单调递减，21,a0gae当 时 , 单调递增，,
11、e1ga故 , 的解为 .min0ga2ln0e1e综上， . 10分1（3）方程 可化为22l3lxtxtxt，1nn2t令 ，故原方程可化为 ， 12分1l2hxx 3hxhxt由（2）可知 在 上单调递增，故 有且仅有唯一实数根，0,20t即方程 （）在 上有且仅有唯一实数根， 13分2xt,t当 ，即 时，方程（）的实数根为 ，满足题意；4114124x当 ，即 时，方程（）有两个不等实数根，记为 不妨设0t 1,12,xt）若 代入方程（ ）得 ，得 或 ，1,x2,20ttt当 时方程（ ）的两根为 ，符合题意；t0,1当 时方程（ ）的两根为 ，不合题意，舍去；）若 设 ，则 ，
12、得 ；12,t2xtt2t综合，实数 的取值范围为 或 . 16 分420解：（1） ， ， 是以 为首项 为公比的等比数列，21219nnbb21n1b9， ，213n04253数列 是“阶梯数列” ， . 3 分16=（2）由数列 是“阶梯数列”得 ，故 ,nc2nc21221nnSS 中存在连续三项 成等差数列； 5 分S1,S（注：给出具体三项也可） 假设 中存在连续四项 成等差数列，nS123,kkS则 ，即 ，1213kk123kkcc当 时, ，*,mN212mmc当 时, ，13由数列 是“阶梯数列” 得 ，nc2123c与都矛盾，故假设不成立，即 中不存在连续四项成等差数列. 8 分nS（3） , , 是以 为首项 为公差的等差数列，21nd1d211d，又数列 是“阶梯数列”，故 ，n211nd, 10 分221 2kkkk当 时,*nN2132435462121k kkTdddd13521k, ,2 213k 132nT又 恒成立， 恒成立, . 13 分0nntTtnntTt当 时,*21kN2221112n kkkkTddk, ,43k3n又 恒成立， 恒成立, . 15 分10nntTtntT13t综上, 存在满足条件的实数 ，其取值范围是 . 16 分t1,注： 也可写成2, 2,14, 1,nknkNT 2,1,nTn 为正偶数，n 为正奇数.
