1、2016-2017 学年江苏省泰州二中高三（上）期初数学试卷（理科）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应的位置上.1 （5 分）设集合 A=1，1，3，B=a +2，a 2+4，A B=3，则实数 a= 2 （5 分）已知全集 U=R，集合 M=x|x240，则 UM= 3 （5 分）命题“任意偶数是 2 的倍数”的否定是 4 （5 分）若“x 21” 是“xa”的必要不充分条件，则 a 的最大值为 5 （5 分）函数 y= 的定义域是 6 （5 分）函数 y= 的值域为 7 （5 分）已知 f（ +1）=lg x，则 f（x）= 8 （5 分
2、）若函数 f（x）=（p 2）x 2+（p1）x+2 是偶函数，则函数 f（x）的单调递减区间是 9 （5 分）若 f（x）表示2x+2 与2x 2+4x+2 中的较小者，则函数 f（x）的最大值为 10 （5 分）设函数 f（x）满足 f（x）=1+f（ ）log 2x，则 f（2）= 11 （5 分）函数 f（x）=x 22ax+2 在区间（，1上递减，则 a 的取值范围是 12 （5 分）若点 A（2，2）在矩阵 M= 对应变换的作用下得到的点为B（2，2） ，则矩阵 M 的逆矩阵为 13 （5 分）已知函数 ，则满足不等式 f（1x 2）f（2x）的 x 的范围是 14 （5 分）设函
3、数 f（x）=x|x|+bx+c ，给出下列四个命题：若 f（x）是奇函数，则 c=0b=0 时，方程 f（x）=0 有且只有一个实根f（x）的图象关于（0，c ）对称若 b0，方程 f（x）=0 必有三个实根其中正确的命题是 （填序号）二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15 （14 分）求下列函数的值域：（1） ； （2） 16 （14 分）已知矩阵 ，其中 aR，若点 P（1，1）在矩阵 A 的变换下得到点P（0， 3） ，（1）求实数 a 的值；（2）求矩阵 A 的特征值及特征向量17 （14 分）在极坐标系中
4、，圆 =2cos 与直线 3cos+4sin+a=0 相切，求实数 a 的值18 （16 分）已知二次函数 f（x）的图象顶点为 A（1，16 ） ，且图象在 x 轴上截得线段长为 8（1）求函数 f（x）的解析式；（2）当 x0，2时，关于 x 的函数 g（x）=f（x） （t x）x 3 的图象始终在 x 轴上方，求实数 t 的取值范围19 （16 分）已知函数 f（x） =|xm|和函数 g（x）=x|xm|+m 27m（1）若方程 f（x）=|m|在4，+）上有两个不同的解，求实数 m 的取值范围；（2）若对任意 x1（，4，均存在 x23，+） ，使得 f（x 1）g（x 2）成立，
5、求实数m 的取值范围20 （16 分）设函数 f（x）=x 2+ax+b（a，bR ） （）当 b= +1 时，求函数 f（x）在 1，1上的最小值 g（a）的表达式（）已知函数 f（x）在1，1上存在零点，0b2a 1，求 b 的取值范围2016-2017 学年江苏省泰州二中高三（上）期初数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应的位置上.1 （5 分） （2010 江苏）设集合 A=1，1，3，B= a+2， a2+4，AB=3，则实数 a= 1 【分析】根据交集的概念，知道元素 3 在集合 B 中，进而求 a
6、即可【解答】解：AB=33B，又a 2+43a+2=3 即 a=1故答案为 1【点评】本题属于以集合的交集为载体，考查集合的运算推理，求集合中元素的基础题，也是高考常会考的题型2 （5 分） （2010 奉贤区一模）已知全集 U=R，集合 M=x|x240，则 UM= x|x2或 x2 【分析】由题意全集 U=R，先化简集合 M，然后根据交集的定义“两个集合 A 和 B 的交集是含有所有既属于 A 又属于 B 的元素，而没有其他元素的集合”进行计算即可【解答】解：因为 M=x|x240=x|2x2，全集 U=R，所以 CUM=x|x2 或 x2，故答案为：x|x2 或 x2 【点评】本题考查集
7、合的补集运算、二次不等式的解法等基础知识，属基础题3 （5 分） （2014 天心区校级模拟）命题“任意偶数是 2 的倍数”的否定是 存在偶数不是2 的倍数 【分析】分别对题设和结论进行否定即可【解答】解：题设的否定为偶数，结论的否定为不是 2 的倍数原命题的否定为：存在偶数不是 2 的倍数【点评】本题考查了命题的否定，注意题设和结论否定时的写法4 （5 分） （2014 邳州市校级模拟）若“x 21”是“xa”的必要不充分条件，则 a 的最大值为 1 【分析】因 x21 得 x1 或 x1，又“x 21”是“xa”的必要不充分条件，知“ xa”可以推出“ x21” ，反之不成立由此可求出 a
8、 的最大值【解答】解：因 x21 得 x1 或 x1，又“x 21”是“xa”的必要不充分条件，知“x a”可以推出“ x21”，反之不成立则 a 的最大值为1故答案为1【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答5 （5 分） （2016 江苏）函数 y= 的定义域是 3，1 【分析】根据被开方数不小于 0，构造不等式，解得答案【解答】解：由 32xx20 得： x2+2x30，解得：x3，1，故答案为：3 ，1【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题6 （5 分） （2016 秋 泰州校级月考）函数 y= 的值域为 y
9、R |y3 【分析】当函数的是分数型结构函数时，并且分子分母都是一次函数时，求值域可以采用：反函数法和分离常数法【解答】分离常数法：解：化简函数y3所以：yR|y3故答案为：yR|y3反函数法：解：化简函数：y=y（x2）=3x +1x（y3）=1+ 2y分式中分母不等于 0，y3所以：yR|y3故答案为：yR|y3【点评】本题考查了函数值域的求法高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法要根据题意选择，要熟悉每种方法解什么题
10、型此题属于基础题7 （5 分） （2016 秋 泰州校级月考）已知 f（ +1）=lg x，则 f（x）= lg （x1） 【分析】用换元法令 +1=t（t1）解 x= 代入 f（ +1）=lg x 求得【解答】解：令 +1=t（t1） ，则 x= ，f（t）=lg ， f（ x）=lg （x1） 【点评】本题主要考查换元法求函数解析式8 （5 分） （2012 秋 靖江市期中）若函数 f（x）=（p2）x 2+（p1）x+2 是偶函数，则函数f（x）的单调递减区间是 （ 0，+） 【分析】由 f（x）=（p 2）x 2+（p1）x+2 是偶函数，可求 p，结合二次函数的性质可求函数的单调递减
11、区间【解答】解：函数 f（x）=（p 2）x 2+（p1）x+2 是偶函数，p1=0 即 p=1函数 f（x）= x2+2函数的单调递减区间是（0，+）故答案为（0，+）【点评】本题主要考查了偶函数的对称性的应用，及二次函数的单调区间的求解，属于基础试题9 （5 分） （2015 秋 丹阳市校级期中）若 f（x）表示2x+2 与2x 2+4x+2 中的较小者，则函数 f（x）的最大值为 2 【分析】先在直角坐标系中分别画出函数 y=2x+2 和 y=2x2+4x+2 的图象，再利用函数f（x）的定义，取函数图象靠下的部分作为函数 f（x）的图象，由图数形结合即可得f（x）的最大值【解答】解：如
12、图，虚线为函数 y=2x+2 和 y=2x2+4x+2 的图象，粗线为 f（x）的图象由图可知函数 f（x）在 x=0 时取得最大值 2故答案为 2【点评】本题考查了一次函数、二次函数图象的画法和新定义型函数图象的画法，数形结合求函数的最值10 （5 分） （2016 湖南二模）设函数 f（x）满足 f（x） =1+f（ ）log 2x，则 f（2）= 【分析】通过表达式求出 f（ ） ，然后求出函数的解析式，即可求解 f（2）的值【解答】解：因为 ，所以 ， = 故答案为： 【点评】本题考查函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力，灵活赋值的能力及观察判断的能力11 （5 分） （20
13、16 秋 泰州校级月考）函数 f（x）=x 22ax+2 在区间（，1上递减，则 a的取值范围是 a1 【分析】二次函数解析式配方变形后，利用二次函数的性质确定出 a 的范围即可【解答】解：函数 f（x）=x 22ax+2=x22ax+a2a2+2=（xa ） 2a2+2，二次函数图象开口向上，对称轴为直线 x=a，且在区间（，1上递减，a 的范围是 a1，故答案为：a1【点评】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键12 （5 分） （2016 秋 泰州校级月考）若点 A（2，2）在矩阵 M= 对应变换的作用下得到的点为 B（ 2，2） ，则矩阵 M 的逆矩阵为 【分析
14、】根据二阶矩阵与平面列向量的乘法，确定矩阵 M，再求矩阵的逆矩阵【解答】解：由题意， = ，sin=1，cos=0 ，M= =10，M 1= 故答案为： 【点评】本题考查矩阵的求法，考查矩阵的逆矩阵，属于基础题13 （5 分） （2010 江苏）已知函数 ，则满足不等式 f（1 x2）f（2x）的 x 的范围是 （ 1， 1） 【分析】由题意 f（x）在0， +）上是增函数，而 x0 时，f （x）=1，故满足不等式f（1 x2）f（2x）的 x 需满足 ，解出 x 即可【解答】解：由题意，可得故答案为：【点评】本题考查分段函数的单调性，利用单调性解不等式，考查利用所学知识分析问题解决问题的能
15、力14 （5 分） （2012 秋 徐州期中）设函数 f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：若 f（x）是奇函数，则 c=0b=0 时，方程 f（x）=0 有且只有一个实根f（x）的图象关于（0，c ）对称若 b0，方程 f（x）=0 必有三个实根其中正确的命题是 （填序号）【分析】由奇函数定义结合比较系数法，可得 f（x）是奇函数时 c=0，故 正确；当 b=0时，得 f（x）=x|x|+c 在 R 上为单调增函数，方程 f（x） =0 只有一个实根，故正确；利用函数图象关于点对称的定义，可证得函数 f（x）图象关于点（0，c）对称，故 正确；取 b=1，c=0 时，利用函数单调性
16、可证出方程 f（x）=0 只有一个实根，故错【解答】解：对于，若 f（x）是奇函数，则 f（x）=x|x|bx+c= f（x）对任意 xR 恒成立，可得 c=0，故正确；对于，b=0 时，得 f（x）=x|x|+c 在 R 上为单调增函数，且值域为 R，所以方程 f（x）=0 有且只有一个实根，故正确；对于，因为 f（x）= x|x|bx+c，所以 f（x）+f（x）=2c，可得函数 f（x）的图象关于点（0，c）对称，故正确；对于，当 b=1，c=0 时，f（x）=x|x|+x 在 R 上为增函数，此时方程 f（x）=0 有且只有一个实根，故错故答案为：【点评】本题以命题真假的判断为载体，考
17、查了函数的单调性、奇偶性、图象的对称性和函数零点与等知识，属于基础题二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15 （14 分） （2011 秋 泰兴市校级期中）求下列函数的值域：（1） ； （2） 【分析】 （1）由于函数 y=1 ，且 0 1，故有 01 1，由此求得函数的值域（2）由于函数 在它的定义域x|x 1内是增函数，当 x=1 时，函数有最小值等于2，当 X 趋于+时，y 趋于+，从而得到函数的值域【解答】解：（1）由于 = =1 ，0 1，01 1，故函数 的值域为 0，1） （2）由于函数 的定义域为x|x
18、 1，且函数在其定义域内是增函数，故当 x=1 时，函数有最小值等于2，当 X 趋于+时，y 趋于 +，故函数的值域为2，+） 【点评】本题主要考查利用常数分离法求函数的值域，以及利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题16 （14 分） （2014 武进区校级三模）已知矩阵 ，其中 aR，若点 P（1，1）在矩阵 A 的变换下得到点 P（0， 3） ，（1）求实数 a 的值；（2）求矩阵 A 的特征值及特征向量【分析】 （1）根据点 P 在矩阵 A 的变化下得到的点 P（0 ， 3） ，写出题目的关系式，列出关于 a 的等式，解方程即可（2）写出矩阵的特征多项式，令多项式等于 0，得到矩阵的
19、特征值，对于两个特征值分别解二元一次方程，得到矩阵 A 的属于特征值1 的一个特征向量和矩阵 A 的属于特征值 3 的一个特征向量【解答】解：（1）由 = ，得 a+1=3a=4（2）由（1）知 ，则矩阵 A 的特征多项式为令 f（） =0，得矩阵 A 的特征值为1 或 3当 =1 时二元一次方程矩阵 A 的属于特征值1 的一个特征向量为当 =3 时，二元一次方程矩阵 A 的属于特征值 3 的一个特征向量为 【点评】本题考查二阶矩阵，考查二阶矩阵的特征值的求法，考查二阶矩阵的特征向量的求法，因为是高等数学的内容，考查的比较简单，是一个中档题17 （14 分） （2014 春 如皋市校级期末）在
20、极坐标系中，圆 =2cos 与直线3cos+4sin+a=0 相切，求实数 a 的值【分析】先圆 =2cos 与直线 3cos+4sin+a=0，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用 cos=x， sin=y， 2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可【解答】解：p 2=2pcos，圆 =2cos 的普通方程为：x 2+y2=2x， （x 1） 2+y2=1，直线 3cos+4sin+a=0 的普通方程为：3x+4y+a=0，又圆与直线相切，所以 =1，解得：a=2，或 a=8【点评】本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力18 （16 分） （20
21、13 秋 徐州期中）已知二次函数 f（x）的图象顶点为 A（1，16） ，且图象在 x 轴上截得线段长为 8（1）求函数 f（x）的解析式；（2）当 x0，2时，关于 x 的函数 g（x）=f（x） （t x）x 3 的图象始终在 x 轴上方，求实数 t 的取值范围【分析】 （1）由题意可得函数的对称轴为 x=1，结合已知函数在 x 轴上截得线段长为 8，可得抛物线与 x 轴的交点坐标为（3，0） ， （5，0） ，可设函数为 f（x）=a（x+3） （x5）（a0） ，将（1，16）代入可求（2）g（x）=f（x）（t x）x3=（2 t）x+12，x0，2，结合题意可得 ，代入可求【解答】解：（1）二次函数图象顶点为（1，16） ，函数的对称轴为 x=1在 x 轴上截得线段长为 8，抛物线与 x 轴的交点坐标为（3，0） ， （5，0） ，（2 分）
