1、 理科数学第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，则 （ ）|31,|24AxBx或 RCABA B C D1,3,4,2.设 是虚数单位 ，如果复数 的实部与虚部是互为相反数，那么实数 的值为（ ）i 2aiaA B C3 D-333.若 ，则 （ ）2,1,/ababmA B2 C-2 D 124.若 ，则 （ ）cos3cosA B C D42979425.在 的展开式中，含 的项的系数是（ ）421x7xA60 B160 C180 D2406.下列有关命题的说法正确的是（ ）A命题“若
2、 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”24x224x2B命题“ ”的否定是“ ”,10R,10RxC命题“若 ，则 ”的逆否命题为假命题xysinxyD若“ 或 ”为真命题，则 至少有一个为真命题pq,pq7.直线 被圆 截得的弦长为 ，则直线的倾斜角为（ ）3k223423A B C D56或 3或 6或 68.若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图 1 所示，则此几何体的表面积是（ ）A B C D426262829.执行如图 2 的程序框图，若输出的结果是 ，则输入的 为（ ）15aA3 B4 C5 D610.正四棱锥的顶点都在
3、同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的体积为（ ）A B C D2168142711.给出定义：设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若方程fxyfxfxfx有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点” ，已知函数0fx00,y的拐点是 ，则点 （ ）34sincox0,MxfA在直线 上 B在直线 上 C在直线 D在直线 上y3y4yx4yx12.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 且与 轴垂直的直线交椭圆于210xab12,F1两点，直线 与椭圆的另一个交点为 ，若 ，则椭圆的离心率为（ ）AB、 2AF23ABCSA B C D531053第卷二、填空题（本大题共 4 小
4、题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.若 满足 ，则 的最小值为_ ,xy012zxy14.在 上随机取一个实数 ，能使函数 在 上有零点的概率为4,3m2fxmxR_ 15.函数 的部分图象如图 3 所示，则 的图象可由函数2sin0,2fxxfx的图象至少向右平移_个单位得到ig16.已知 中，角 成等差数列，且 的面积为 ，则 边的最小值是ABC3,2AABC12AB_ 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17.（本小题满分 12 分）已知数列 的前 项和为 ，且 nanS12n（1 ）求数列 的通项公式；（
5、2 ）设 ，求使 对任意 恒成立的实数 的取值2122logllogn nbaa 8nbknNk范围18.（本小题满分 12 分）质检部门从企业生产的产品中抽取 100 件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图 4 所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间 内的频率之比为：4：2 ：15,6,75,8（1）求这些产品质量指标值落在区间 内的频率 ；75,8（2 ）若将频率视概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取 3 件，记这 3 件产品中质量指标值位于区间 内的产品件数为 ，求 的分布列与数学期望45,7X19.（本小题满分 12 分）如图，已知四棱锥 中，底面 为菱形，且 ， 是边长
6、为 的正三角PABCDAB06DABPa形，且平面 平面 ，已知点 是 的中点MP（1）证明： 平面 ；/PBAMC（2 ）求直线 与平面 所成角的正弦值D20.（本小题满分 12 分）已知点 的坐标为 ， 是抛物线 上不同于原点 的相异的两个动点，且 C1,0,2yxO0OAB（1 ）求证：点 共线；AB（2 ）若 ，当 时，求动点 的轨迹方程QR0OQABQ21.（本小题满分 12 分）已知函数 2lnfxx（1 ）求函数 的单调区间；（2 ）证明当 时，关于 的不等式 恒成立；2ax21afxx（3 ）若正实数 满足 ，证明 12,x2121120fxfxx125x请考生在 22、23、
7、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 是参数） ，以原点 为极点， 轴正xOy1C3cos2inxtytOx半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 24si4（1 ）求曲线 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；2C（2 ）若曲线 与曲线 交于 两点，求 的最大值和最小值 12,AB23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 fxxa（1 ）若 ，解不等式 ；a2f（2 ）若 恒成立，求实数 的取值范围2fx参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5
8、 6 7 8 9 10 11 12答案 C C D B D D A C B A B A二、填空题13. 14 15 16212376三、解答题17.解：（1）因为 ，所以 2 分1nS12,nS所以当 时， ， 4 分2n12nnna由 对任意 恒成立，即使 对 恒成立 10 分8nbk*nN812nk*nN设 ，则当 或 4 时， 取得最小值为 -10，所12nc3nc以 12 分0k18解：（1）设区间 内的频率为 ，则区间 内的频率分别为75,8x5,6,7和 2 分4x2依题意得 4 分0.4.120.9.310421x解得 ，5所以区间 内的频率为 0.05 5 分7,8（2 ）从该
9、企业生产的该种产品中随机抽取 3 件，相当于进行了 3 次独立重复试验，所以 服从二项分布 ，其中 6 分X,Bnp由（1）得，区间 内的频率为 ，4570.2.10将频率视为概率得 7 分0.6P因为 的所有可能取值为 0， 1，2，3 ，且 ；X023.640.6PXC； ；1220.64.8PXC2230.64.3PXC 10 分3016所以 的分布列为：X0 1 2 3P0.064 0.288 0.432 0.216 11 分所以 的数学期望为 ，0.6410.28.4320.16.8EX（或直接根据二项分布的均值公式得到 ） 12 分EXnp19证明：（1）连结 交 于 ，连结 ，B
10、DACOM因为 为菱形， ，所以 ， 2 分AC/PB由直线 不在平面 内， 平面 ， 3 分PM所以 平面 4 分/（2 ）取 的中点 ，连结 ，则 ，ABN,PD09AN分别以 为 轴建立空间直角坐标系， 5 分,xyz则 ，则3333,0,0,0,a0,0,222224aaCPaMa， 7 分3,4AAM设平面 的法向量为 ，则 ， 8 分C,nxyz3024axyz令 ，则 ，3y31,xz即 ， 10 分,n又 ，3,02aBD设直线 与 所成的角为 ，则 ，n239cos1nPBA故直线 与平面 所成角的正弦值为 12 分BDAMC320解：（1）设 ，则 ，221122,0tBt
11、tt221,OAtBt 2 分因为 ，所以 ，又 ，所以 4 分0OA21t12,t12t因为 ， ，21,Ct2,BC且 ， 6 分221212120t tttt所以 ，又 都过点 ，所以三点 共线 7 分/A, ,ABC（2 ）由题意知，点 是直角三角形 斜边上的垂足，又定点 在直线 上， ，所QOAB09CQ以设动点 ，则 ，,xy,1,xyCxy又 ， 8 分0OCA所以 ，即 11 分21xy2104xyx动点 的轨迹方程为 12 分Q221.解：（1） ，由 ，得 ，2110xfx0fx210x 2 分又 ，所以 ，所以 的单调减区间为 ，函数 的增区间是 ， 40x1xfx1,f
12、x0,1分（2 ）令 ， 22ln1agxfxxax所以 5 分211xx因为 ，2a所以 ，令 ，得 ，所以当 ；当1xag0gx1a10,0xgxa时， ，1,xa0x因此函数 在 是增函数，在 是减函数， 6 分g1,a10,xa故函数 的最大值为 7x 21ln ln2g aa分令 ，因为 ，又因为 在 是减函数， 81lna2ha12ln04hh0,分所以当 时， ，即对于任意正数 总有 ，0xg所以关于 的不等式 恒成立； 9 分x21afx（3）由 ，即2121120ffx，21 2lnlnxx从而 10 分21112lnxA令 ， ，则由 得， ，可知 在区间 上单调递减，在区
13、间1txAtttt0,1上单调递增 11 分1,所以 ，所以 ，又 ，1t2112xx120x因此 成立 12 分125x22 （ 1）对于曲线 有 ，即 ，因此曲线 的直角2C4sincos424xy2C坐标方程为 ，其表示一个以 为圆心，半径为 2 的圆；2xy, 5 分（2 ）曲线 是过点 的直线，由 知点 在曲线 内，所以当1C3,P22343,2C直线 过圆心 时， 的最大为 4； 7 分2， AB当 为过点 且与 垂直时， 最小， ，最小值为AB， 2 2PC 10 分224343d23解：（1）当 时， ，即 ， 3 分1afx1x解得 5 分2x（2 ） ， 7 分22fxxa若 恒成立，只需 ，xa即 或 ， 9 分a2解得 或 10 分04
