1、2017 届广西名校高三上学期第一次摸底考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集 ，若 ， ，则123456U， ， ， ， ， 12345AB， ， ， ， 345AB， ， UA不可能是（ ）A B C D6， ， 6， 6【答案】D【解析】试题分析：由已知得 可能为 ，故选 D.A3,45考点：集合的元素及交并补运算.2.复数 （ ）21iA B C Di i2i2i【答案】B考点：复数的运算.3.在等差数列 中， ，则此数列前 项的和 （ ）na147912324aa
2、1313SA13 B26 C52 D156【答案】B【解析】试题分析：由 ，得 ，于是147912()3()24aa104a，故选 B.31013)6S考点：等差数列的性质，等差数列求和.4.已知 ，则向量 与向量 的夹角是（ ）162abaA， ， abA B C D6432【答案】C考点：向量的数量积运算.5.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A B C.48 D80481732817【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知几何体是底面为正方形，侧面为等腰梯形的棱台，等腰梯形的上底为 ，下底为2，高为 ，另两个侧面为矩形，所以两等腰梯形面积和为 ，其余四面的面积为4
3、 242，所以几何体的表面积为 ，故选 A(2)41724817817考点：空间几何体四棱台的特征.6.动点 与定点 的连线的斜率之积为 ，则点 的轨迹方程是（ ）P10AB， ， ， 1PA B2xy 20xyxC D1x 21【答案】C考点：直接法求轨迹.【思路点晴】本题主要考察直接法求轨迹的方法，根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含 的等式就得到曲线的轨迹方程了.设出点 ,表示出两线的斜率,利用其乘积为 建立,xy ()Pxy 1方程化简即可得到点 的轨迹方程.7.某程序框图如
4、图所示，若输出的 ，则判断框内应填写（ ）57SA B C. D4?k5?k6?k7【答案】A【解析】试题分析：当 即当 退出循环，所以判断框内应2,4;3,1;4,26;5,7.kSkkSk5k填“ ”.故本题正确答案为 A.4?考点：算法的含义和程序框图.8.已知 ，则 （ ）cot3tan23A B C D1314334【答案】D【解析】试题分析：由 ，得 ，所以 ,故选 Dcot()3tan()363tan(2)tan2()364考点：诱导公式；二倍角的正切公式.9.已知 是定义在 上的偶函数，且 恒成立，当 时， ，fxR12fxfx3x， fx则当 时， （ ）20， fxA B
5、C D1x31x2x4【答案】B考点：函数的奇偶性；周期性；求函数的解析式.10.在 中，已知 ，若 最长边为 ，则最短边长为（ ）ABC 1310tancos2AB， ABC 10A B C. D2 52【答案】A【解析】试题分析：由 ，得 ，由 ， ，得1tan02A21cos,in5A3cos10B3cos01B，于是 ，即 为最大角，故sin10Bcs()csin2CBAC有 ，又 ，最短边为 ，于是由正弦定理 ，求得 ，故选cini,AbabsiibcB2bA.考点：正弦定理；同角三角函数间的基本关系.【方法点晴】根据 的值及 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出 的值，由 的值
6、，cosB sintanA利用同角三角函数间的基本关系求出 的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式表示出 ，sin,coA cosC由 的值为负数及 的范围得到 为钝角即最大角，即 ，又 ， 为cosCC10csii,Bb最小边，根据正弦定理，由 及 的值即可求出 的值sin,BCcb11.点 是椭圆 上一点， 是椭圆的右焦点， ，则点 到P2159yxF142OQPFOQ， P抛物线 的准线的距离为（ ）2yA B C. D14152150【答案】B考点：抛物线的定义；椭圆的参数方程.12.用 4 种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ）
7、A24 种 B48 种 C.64 种 D72 种【答案】D【解析】试题分析：法一：假设四种颜色为红、黑、白、黄，先考虑三点 的涂色方法，有 种方法，SAB、 、 432若 点与 不同色，则 、 点只有 种涂色的方法，有 种涂法，若 点与 同色，则 点有 种涂CACD124CD色的方法，共 种涂法，所以不同的涂法共有 种487法二：用 种颜色涂色时，即 同色，共有 种涂色的方法，用 种颜色时，有 和3ACBD、 342A4AD同色 种情况，共有 ，故共有 种,故选 DBC24287考点：分类计数原理，排列组合.【方法点晴】排列组合中的涂色问题是高考的一个难点，解决这类问题大致有两种方法：一是直接
8、法，一个区域一个区域的来解决，但要考虑先从哪个区域入手，往往是与其他区域都相邻的区域首先考虑，同时要注意这类题往往要求相邻区域不同色，所以在涂色的过程需要分类讨论；二是从颜色入手，条件中的颜色种数可能大于区域块数，也可能小于区域块数，但是不是所有颜色都用上，因此可以从颜色入手，分类讨论.第卷（非选择题共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分 ）13.计算： sin15cosin1cos【答案】 32【解析】试题分析： 230cos)15s)(sin15co(sin 考点：二倍角公式.14.已知变量 满足约束条件 ，则 的最大值为 .xy， 22101xy2zx
9、y【答案】 35考点：线性规划，数形结合.15.正三棱柱的底面边长为 ，高为 2，则它的外接球的表面积为 .【答案】 283考点：棱柱的几何特征，球的表面积，空间位置关系和距离.【方法点晴】解决本题的关键是确定球心的位置，进而确定半径.因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以过三角形的外心且垂直于此三角形的所在平面的垂线上的任意一点到次三角形三个顶点的距离相等，所以过该三角形的三个顶点的球的球心必在垂线上.所以本题中球心必在上下底面外心的连线上，进而利用球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形，即可算出.16.已知函数 ，则 在 上的最大值与最小3sin2icos4fxxxxf02
10、x，值之差为 【答案】【解析】试题分析： ，当 时，()3sin2i23sincos2in()6fxxxxx 0,2，故 ，即函数 的值域为 ，故答案为 72,6x1i(),6f1,3考点：二倍角公式，两角和公式，正弦函数的值域.【方法点晴】本题中主要考察了学生三角化简能力，涉及有二倍角公式和两角和公式，进而利用 的范围得到()3sin2i23sincos2in()6fxxxxx 02x，即为换元思想，把 看作一个整体，利用 的单调性即可得出最值，这72,66siny是解决 的常用做法.siniyaxb三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17
11、. (本小题满分 12 分)数列 满足下列条件： na *1122naaN， ， ，（1）设 ，求数列 的通项公式；1nbnb（2）若 ，求数列 的前 项和 2logncAcnS【答案】 （1） ；（2） nnq)1(1 211()()93n（2）由已知有 ，nnnbc)21(log2即 nnnS )21()()(3)1()(1 12 于是 1432 )()()21()()(2 nnn 得 1321 )2()1()()(23 nn 1)2()2(-nn12 分1239nnS考点：数列递推求通项公式；数列求和.18.（本小题满分 12 分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之
12、间的关系进行分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温度与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数，得到如下数据：日期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日 温差 （）x10 11 13 12 8发芽数 （颗）y23 25 30 26 16该农科所确定的研究方案是：先从这 5 组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验（）求选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 天数据的概率；（）若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至
13、12 月 4 日的数据，求 关于y的x线性回归方程 ；ybxa（）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（）中所得的线性回归方程是否可靠？（注： ） 1122nni iiii iixyxyb aybxA ，【答案】 （） ；（） ；（）可靠 5335xy3,2543973123 xbyaxybiii所以 关于 的线性回归方程为 8 分yxxy（）当 时， ，同样地，当 时，1023,235 8x，2167,3825y所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的12 分考点：回归分析的初步应用；等可能事件的概率.【方法点晴】（1
14、）考察了等可能事件的概率，根据组合的思想，从 组数据中选取 组数据共有 种情5210况，用正难则反的思想找到 种相邻的情况，根据等可能事件的概率得出结果；（2）利用题中所给出的回4归方程系数的公式，用第一个（第二个也可以）得到回归方程系数，写出线性回归方程；（3）根据题意，用检验数据利用回归方程算出估计值，判断误差即可.19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，已知PABCD，212ABCDABPD ， ， ， ，点 是 的中点.M（）证明： ；CMPAD 平 面（）求直线 与平面 所成角的正弦值【答案】 （）证明见解析；（） 10试题解析：（）证明：取 的中点 ，连接 ，有 平行且等于 ，PANMNAB21于是 平行且等于 ，所以四边形 是平行四边形，MNDCCD即 ，又 平面 ，故 平面 6 分C/PA
