1、2017 届广东省高三上学期阶段性测评（一）数学（理）试题一、选择题1设集合 ，则 （ ）1 ln2AxBxy， RACBA B 2， 2 ，C D1， 1 ，【答案】C【解析】试题分析： ， 2 2RABCB， ， ， ， ，.选 C1 2RAB，【考点】集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数
2、轴表示时要注意端点值的取舍2设函数 ，则 的值为（ ）123 log xef x， ， 2fA0 B1 C2 D3【答案】C【解析】试题分析： ，选 C03log12fffe【考点】分段函数求值3若实数 满足 ，则 的最小值为（ ） xy， 201xy2zxyA3 B C D53【答案】D【解析】试题分析：如图， 的最小值为 .选 D.2zxy2【考点】线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端
3、点或边界上取得.4在区间 上随机选取两个数 和 ，则 的概率为（ ）0 1， xy2xA. B C D123413【答案】A【解析】试题分析： 的概率为 .选 A.2yx124【考点】几何概型概率【方法点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率5已知命题： ；命题2: sin
4、10pxRx，.则下列命题中的真命题为（ ）: sinq， ，A B ppqC Dq【答案】B【解析】试题分析：， 为真命题.2 22 2:sin1sin1sisincos0pxxxp当 时， ， ， ，:q545i1i2 ， 为假命题， 为真命题.选 B.sinsinqpq【考点】命题真假6三棱柱 的侧棱垂直于底面，且 ， ，若该三1ABCABC12BA棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A B C D4832128【答案】C【解析】试题分析：如图，由题可知矩形 的中心 为该三棱柱外接球的球心，1ACO.2213OC该球的表面积为 .选 C241【考点】外接球表面积【思想点睛
5、】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a 2b 2c 2求解7已知向量 满足 ， 分别是 D， ， 2 1ABDA， ， EF，线段 的中点，若 ，则向量 与 的夹角为（ ） BC， 54EFA B C D632356【答案】B【解析】试题分析： ，22AABDEF，.2555444
6、ABBDEFD ， ， 与 的夹角为 .选 B.11cos 2AD， A3【考点】向量夹角【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ab|a|b|cos ；二是坐标公式 abx 1x2y 1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.8已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，且 为抛物线20 abb， 12 F， 2的焦点，设点 为两曲线的一个公共点，若 的面积为 ，则双曲24yxP2P 36线的方程为（ ）A B 2197xy2179xyC D66【答案】A【解析】试题分析：设
7、 点为第一象限点，且 ，P1 Pxy， ，12136PFSy 16y， ， ，故双曲线方程为 .选 A.19x12aF2 7ab，2197xy【考点】双曲线方程【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|PF 2|F 1F2|，双曲线的定义中要求|PF 1|PF 2|F 1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.9执行如图所示的程序框图，若 ，则 的最小值为（ 0 4xaby， ， ， ba）A2 B3 C4 D5【答案】A【解析】试题分析：程序框图的功能为求分段函数 的函数值，21 0
8、4xy， ，如图可知 ，当 或 时符合题意， .选 A.2 ab， 0 2b， ab， 2ba【考点】流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10若 ，则 的值为（ 7280112xaxax0127aa）A B C253 D12623【答案】C【解析】试题分析：令 ，得 ， ，1x01283aa78256.选 C078325aa【考点】赋值法求系数【方法点睛】赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普
9、遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb) n、(ax 2bxc)m(a，bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令 x1 即可；对形如(axby) n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 xy1 即可.11过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线交于 两点，若2:0CypxFl MN，则直线 的斜率为（ ）4MFNlA B 3223C D44【答案】D【解析】试题分析：不妨设 ，1112 0 MxyyNxy， ， ， ， ， ，又 ，4MFN124y2p ， .根据对称可得直线 的斜率为 .选 D.228pyx， 04382MNk l43【考点】直线与抛物线位置
10、关系12函数 的最小正周期为 ，当 时， 至少sin3cos1fxx xmn， fx有 12 个零点，则 的最小值为（ ）mA B 127C D6163【答案】D【解析】试题分析：由题知 ，2sin1 0 2sin133fxxfxx， ， .1sin23x由周期性可知 ， .选 D.653mmin163【考点】三角函数性质二、填空题13复数 在复平面内的对应点是 ，则 z1 ， z【答案】 1i【解析】试题分析： ， .zizi【考点】复数概念14定积分 的值为 120xd【答案】 4【解析】试题分析： ，由几何意义得11122000xdxd，又 .1204xd12100 .120x【考点】定
11、积分【方法点睛】1.求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和2利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数当图形的边界不同时，要分不同情况讨论15定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则Rfx2ffx01xfx等于 37.5f【答案】 0【解析】试题分析： ， 且 ，2fxfx4ffxffx时， ，01xf .1137.5.22ffff【考点】函数性质【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相
12、关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去 f“”，即将函数值的大小转化自变量大小关系16将一块边长为 的正方形纸片，先按如图（1）所示的阴影部分裁去四个全等的6cm等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥） ，将该四棱锥如图（2）放置，若其正视图为正三角形，则其体积为 cm【答案】863【解析】试题分析：由正视图为正三角形可知，图（1）
13、中 ，2PDC，2PD正三角形的边长为 ， .226POD四棱锥的体积为 .18633【考点】三视图【名师点睛】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析三、解答题17在 中，内角 所对的边分别是 ，已知ABC BC， ， abc， ，.60 5 4bc， ，（）求 ；a（）求 的值.sin【答案】 （） （）2157【解析】试题分析：（）已知两边一角求第三边，可用余弦定理求
14、解：（）由正弦定理得 ，代入解得22cosabAsinisinabcABC的值，因此可得 的值sin,BCinsBC试题解析：（）由余弦定理得：， .5 分22cos21abA21a（） ，28inaR .10 分25sin7bcBC【考点】正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18设等差数列 的公差为 ，且
15、.nad122 1naa，（）求数列 的通项公式；（）设 ，求数列 的前 项和 .2nbnbnS【答案】 （） （）*1naN23【解析】试题分析：（）求等差数列通项公式，一般方法为待定系数法，即列方程组求首项及公差： ，解得 ，最后代入11124ana1 2ad，通项公式即可（）因为 ，所以利用错位相减法求和，利用错位相减2nb法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以 1q试题解析：（）由题可得：，解得 .111242anana1 2ad， .5 分*ndN（） ，2nb . 231152n nnS .13得： .2311122n nS.23 2321
16、1232n nn nnn 12 分【考点】错位相减法求和19某市为了解各校国学课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为 A、B、C、D 四个等级.随机调阅了甲、乙两所学校各 60 名学生的成绩，得到如下的分布图：（）试确定图中 与 的值；ab（）规定等级 D 为“不合格” ，其他等级为“合格” ，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从甲、乙两校“合格”的学生中各选 1 名学生，求甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率.【答案】 （） （）15 0.ab，851【解析】试题分析：（）由频数分布条形图得 由频率分636015 aa，布条形图得
17、 （）甲、乙两校“合格”的学生分别有0.20.b54 人和 51 人，所以从甲、乙两校“合格”的学生中各选 1 名学生共有 种选法，4其中甲校学生成绩高于乙校学生成绩包含 种选法，因此所求概率42548为5481试题解析：） ；4 分5 0.ab，（）记 表示事件“甲校国学成绩等级为 A“，则 ； 表示事件“甲校1E1654PE2国学成绩等级为 B”，则 ；2154PE记 表示事件“乙校国学成绩等级为 B 或 C“，则 ； 表示事件“乙校国1F15F2学成绩等级为 C”，则 .215F其中 相互独立， 相互独立，所以 ，1 E， 2 E，12641528PE即为所求.12 分【考点】古典概型概
18、率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.20如图，三棱锥 中， ，底面 为正三角形.PABCPABC（）证明： ；ACPB（）若平面 ， ，求二面角 的余弦值.平 面 2ACPAPCB【答案】 （）详见解析（）5【解析】试题分析：（）证明线线垂直，一般通过线面垂直性质定理，即先证线面垂直，耳线面垂直的判定，往往从线
19、线垂直出发，其中线线垂直的寻找与论证往往利用平几知识：取 的中点 ，则由等腰三角形性质得 ， ，进而可ACOPOACB证线面垂直 （）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条PB平 面件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解试题解析：（）证明：取 的中点 ，连接 ， ， ，PAC ，O又 ，B ，平 面 .5 分（）平面 且交于 ， ，PACB平 面 ACPO ，则可建立如图所示的空间直角坐标系 .O平 面 xyz又 ， 为正三角形， 2PACP， ABC ，03 0 3 1 0， ， ， ， ， ， ， ，. B， ， ， ， ，设 为平面 的法向量，则 ， nxyz， ， PBC0nPBC ， ，303yx取 ，则 为平面 的一个法向量，1y 1 n， ， PBC又 为平面 的一个法向量，0 3 OB， ， A
