1、2017 届广西南宁二中等校高三 8 月联考数学（理）试题一、选择题1设集合 ， ，则 （ ）(1)30Sx0TxSTA B C D,3,)3,)(0,13)【答案】D【解析】试题分析： (1)0,Sxx或，选 D(0,13)ST【考点】集合的运算2已知 （ ） ，其中 为虚数单位，则 （ ）aib,aRiabA -1 B1 C.2 D3【答案】B【解析】试题分析：由题 ，故22120ibaiii1,21ab【考点】复数的概念及运算3已知 ， ， ，则向量 与 的夹角为（ ）()0ababA B C D56236【答案】C【解析】试题分析：由 ，向量 与 的22()001abababab夹角的
2、余弦 .则向量 与 的夹角为1cos,23【考点】向量的夹角4已知等比数列 中， ， ，则 （ ）na3461a9157aA2 B4 C8 D16【答案】B【解析】试题分析：， ，3a32 5465591,4,2816aa991925755q【考点】等比数列的性质5求 （ ）000sin6co34sin746A B C D123232【答案】A【解析】试题分析： 00000001sin16co34sin746sin1co46s1in46si16sin32【考点】诱导公式，两角差的正弦6设函数 ，求 （ ）31log(2),(),xxf 3(7)log12)ffA8 B15 C7 D16【答案】
3、C【解析】试题分析： ，3333log12l4logl41l12log3(7)l)77ff 【考点】分段函数，对数的运算7某同学寒假期间对其 30 位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下 列联2表：偏爱蔬菜 偏爱肉类 合计50 岁以下 4 8 1250 岁以上 16 2 18合计 20 10 30则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（ ）附：参考公式和临界值表22()(nadbcK2(Pk0.050 0.010 0.0013.841 6.635 10.828A90% B95% C99% D99.9%【答案】C【解析】试题分析：设 饮食习惯与年龄无关0H：因为2234168.635()
4、 ，所以有 的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关9%故选：C【考点】独立性检验8下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术 中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的 分别为 8，12，则输出的 （ ）,abaA 4 B2 C0 D14【答案】A【解析】试题分析：第一次运行 ，则 ；812,1284b第一次运行 ，则 ；84,4a输出 a【考点】程序框图9若双曲线 （ ）的左、右焦点分别为 ，且线段 被21xyb0,ab12,F12F抛物线 的焦点分成 的两段，则双曲线的离心率为（ ）245:3A B C D1513【答案】A【解析】试题分析：由题意，线段 被抛物线 的焦点分成 的两
5、段，12F24ybx5:3，即双曲线的离2216534,cbccbaa： ： ， ， 心率为 41故选 A【考点】双曲线的离心率10若二项式 的展开式中的常数项为 ，则 （ ）2651()xm21()xdA B C D133323【答案】D【解析】试题分析：二项式 的展开式中的通项公式为2651()x，令 ，66262 123165 5()r rr rrxTCCx0,4r则 42232323211 41()() 1mdxdx 【考点】二项式定理，定积分11已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ）A B C D481216【答案】A【解析】试题分析：由已知中三棱锥的高为 1 底面
6、为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为 1，则底面的外接圆半径为 1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等则三棱锥的外接球半径 为R1，则三棱锥的外接球表面积 选 A24SR【考点】三视图12设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有()fx(0,)()fx，则不等式 的解集为（ 22()f214(0)420xfx）A B C D(01,)(0,)(,6)(16,)【答案】D【解析】试题分析：函数 是定义在 上的可导函数，()fx(0,)，22()fxfx函数 在 上是增函32()0,xf（ ） ， 2yxf（ ） (0,)数， 2
7、 22(014)()4(0143xfxf ff （ ） （ ） （ ） ， 016， ，不等式的解集为 (2016,)故选 D 【考点】解不等式，函数的单调性，导数的应用【名师点睛】本题考查函数的单调性，解不等式，以及导数的应用，属中档题.解题时正确确定函数 在 上是增函数是解题的关键2yxf（ ） (0,)二、填空题13若 满足约束条件 ，那么 的最大值是 _.,xy206xyyx【答案】2【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 ） 设 ，则 的几何意义ABCykx为区域内的点到原点的斜率，由图象知 的斜率最大，由 ，解得O206，即 ，则 .即 的最大值是的最大值为
8、224xyA（ ， ） 42Akyx【考点】简单的线性规划14已知定义在 上的偶函数 在 上单调递减，且 ，则不等式R()f0,)(1)0f的解集是_.(2)0fx【答案】 3|1x或【解析】试题分析：偶函数 在 上为减函数， ，()f0,)(1)0f不等式 等价为 ，(2)0fx21xf即 ，21x即 或 ，即 ，3或故不等式的解集为 ，3|1x或【考点】不等式与单调性的综合15设当 时，函数 取得最大值，则 _()2sincofxcos【答案】 5【解析】试题分析： ,其中()2sinco5sinfxx，故当函数 取得最大值时，25cos,sin()f 5,cos2sinkZk【考点】辅助
9、角公式，三角函数的最值和值域16若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则yxbln1yxl(2)yx_.b【答案】 ln2【解析】试题分析：设 与 和 的切点分别为ykxlyxln()yx由导数的几何意义可得 ，得12xkbb（ ， ） 、 （ ， ） ； 12k再由切点也在各自的曲线上，可得 ，联立上述式子解12 122()xblnk得 lnb【考点】导数的几何意义【名师点睛】本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题，解题时利用直线 是曲线 的切线，也是曲线ykxbln1yx的切线得到 是解题的关键ln(2)yx12x三、解答题17 为数列的前 项和
10、，已知 ， .nS0na241nnaS（1 ）求 的通项公式；a（2 ）设 ，求数列 的前 项和 .1nbanbnT【答案】 （1） ；（ 2）n1n【解析】试题分析：（1）由题意当 时， ，当 时， a2n，因为11()()0nnaa0n ，即可求得 的通项公式；（2）因为2，利用裂项求和法即可求得数列 的前 项和 .()1nbnnbnT试题解析：（1）依题意有 2(1)4nnaS当 时， ，得 ；21()0当 时， n1nn有 得 ，1()(2)0aa因为 ， ，0n1nn(2)n 成等差数列，得 .（2 ） ，1()21nbn1 11( )()352221nTn 【考点】等差数列的通项公
11、式，裂项求和法18学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100 分制”打分的方式来计分，规定满意度不低于 98 分，则评价该教师为“优秀” ，现从某班学生中随机抽取 10 名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶） ；（1 ）指出这组数据的众数和中位数；（2 ）求从这 10 人中随机选取 3 人，至多有 1 人评价该教师是“优秀”的概率；（3 ）以这 10 人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选 3 人，记 表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求 的分布列及数学期望.【答案】 （1）众数：87 ；中位数：88.5；（2 ） ；49()60PA
12、（3 ）分布列见解析， .9E【解析】试题分析：（1）易得这组数据的众数和中位数；设 表示所取 3 人中有 个1Ai人评价该教师为“优秀” ，至多有 1 人评价该教师为“优秀 ”记为事件 ，则至多有 1人包括有 0 人和有 1 人两种情况，它们为互斥事件，由古典概型概率公式易求；（ 3）的可能取值为 0，1，2 ，3分别求出 ； ； ； ，可得 的分布列及数学期望()P()(2)P(3)试题解析：（1）众数：87 ； 中位数：88.5（2 ）设 表示所取 3 人中有 个人评价该教师为“优秀 ”，至多有 1 人评价该教师为1Ai“优秀”记为事件 ，则 ; 32770101984()()06CPA
13、（3 ） 的可能取值为 0，1 ，2 ，3； ；374(0)(P12374()()0； ；2389)10C30P分布列为0 1 2 3P340890271.01231E【考点】众数和中位数，古典概型，离散型随机变量的分布列及数学期望19如图,三棱柱 中, , ,平面1ABC12ABCB016AC平面 ， 与 相交于点 .11 D（1 ）求证： ；1BDAC（2 ）求二面角 的余弦值.1CAB【答案】 （1）见解析；（2）二面角 的余弦值是 .1CAB5【解析】试题分析：（1）更具体输入条件可证平面 平面 ，进一步证1C1A明 平面 即可得到 ；BD1A1D（2 ）建立空间直角坐标系，求出相应点
14、坐标，利用向量夹角公式可求二面角的余弦值1C试题解析：（1 ）已知侧面 是菱形， 是 的中点， ，1ACD1AC1BAC1DA平面 平面 ，且 平面 ，平面 平面BB1，1 平面 ， .（2）如图，以 为原点，以 ， ， 所D1AC1DADADBC在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，由已知可得 ，xzy 12， ，13B6BC ， ， ， ， ，(0,)D(,0)A(,)1(,0)(,30)设平面 的一个法向量是 ， ，C,mxyzA(,3)BC由 ， ,Bm得 ，可得30xzy(3,1)平面 平面 ， ， 平面 ，1AC111ACD1ABC平面 的一个法向量是 ,B(0) ，即二
15、面角 的余弦值是 .5cos,mD15【考点】线面垂直，面面垂直的判定和性质，利用空间向量求二面角的余弦值20已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 两点.24yxF,AB（1 ）若 ，求直线 的斜率；3AFBA（2 ）设点 在线段 上运动，原点 关于点 的对称点为 ，求四边形MOMC面积的最小值.OC【答案】 （1）斜率为 或 ；（2 ）四边形 的面积最小值为 4.3AB【解析】试题分析：（1）设直线 ，将直线 与抛物线联立消去 ，:1Bxmyx设 ， ，利用韦达定理和 ，可求直线 的斜率；（2）1(,)Axy2(,)B3F由题意 ， 根据（1）及韦达定理可得1212OCASOyy，易得四边形 面积的最小值.26ABmACB试题解析：（1）依题意可设直线 ，:xmy将直线 与抛物线联立 214y240设 ，1(,)Axy2(,)B由韦达定理得 124m ，133AFBy，斜率为 或 .2m（2 ） 221212112()4614OACBSOFyyym当 时，四边形 的面积最小，最小值为 4.0ACB【考点】直线与抛物线的位置关系
